इकाई (रिंग सिद्धांत)

बीजगणित में, वलय की एक इकाई या व्युत्क्रमणीय तत्व^{[lower-alpha 1]} वलय के गुणन के लिए एक व्युत्क्रमणीय तत्व है। अर्थात्, वलय $R$ का एक तत्व $u$ एक इकाई है यदि $R$ में $v$ उपस्थित है जैसे कि

vu=uv=1,

जहां 1 गुणात्मक पहचान है; तत्व v इस गुण के लिए अद्वितीय है और इसे

u

का गुणक व्युत्क्रम कहा जाता है^[1]^[2]

R

की इकाइयों का समुच्चय गुणन के अंतर्गत एक समूह

R \times

बनाता है, जिसे इकाइयों का समूह या R का इकाई समूह कहा जाता है।^{[lower-alpha 2]} इकाई समूह के लिए अन्य संकेतन

R *

, U(R) और

E(R)

हैं। जर्मन शब्द आइन्हेइट)।

कम सामान्यतः ईकाई शब्द का प्रयोग कभी-कभी वलय के तत्व 1 को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, ईकाई या ईकाई वलय के साथ वलय और ईकाई आव्यूह जैसे भावों में। इस अस्पष्टता के कारण, 1 को सामान्यतः "एकता" या वलय की "पहचान" कहा जाता है और वाक्यांश "एकता के साथ वलय" या "पहचान के साथ वलय" का उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए किया जा सकता है कि कोई एक आरएनजी (बीजगणित) के बजाय एक वलय पर विचार कर रहा है।

उदाहरण

गुणक सर्वसमिका 1 और इसका योगात्मक व्युत्क्रम -1 सदैव इकाइयाँ हैं। अधिक सामान्यतः, वलय R में एकता का कोई भी मूल एक इकाई है: यदि $r n = 1$ है, तो $r n - 1$ $r$ का गुणक व्युत्क्रम है। एक गैर-शून्य वलय में, तत्व 0 एक इकाई नहीं है, इसलिए $R \times$ जोड़ के तहत बंद नहीं है। एक अशून्य वलय R जिसमें प्रत्येक अशून्य तत्व एक इकाई है (अर्थात, $R \times = R -{0}$ ) को एक विभाजन वलय (या एक तिरछा क्षेत्र) कहा जाता है। क्रमविनिमेय विभाजन वलय को क्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या R के क्षेत्र का इकाई समूह $R - {0}$ है।

पूर्णांक वलय

पूर्णांक $Z$ के वलय में, एकमात्र इकाइयाँ 1 और −1 हैं।

पूर्णांक मॉड्यूलो n के वलय $Z / n Z$ में, इकाइयाँ सर्वांगसम वर्ग $(mod n)$ हैं जो $n$ के पूर्णांक सहअभाज्य द्वारा दर्शाए जाते हैं। वे पूर्णांक मॉड्यूलो $n$ के गुणक समूह का गठन करते हैं।

किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय

द्विघात पूर्णांक $\sqrt 3$ को $Z$ से जोड़कर प्राप्त वलय $Z [\sqrt 3]$ में, एक के पास $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ है, इसलिए $2 + \sqrt 3$ एक इकाई है, और इसकी शक्तियां भी हैं , इसलिए $Z [\sqrt 3]$ में अपरिमित रूप से कई इकाइयाँ हैं।

संख्या क्षेत्र $F$ में पूर्णांक $R$ के वलय के लिए अधिक सामान्यतः, डिरिक्लेट की इकाई प्रमेय में कहा गया है कि $R \times$ समूह के लिए समरूपी है

\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}

जहाँ

\mu _{R}

R

और

n

में एकता की जड़ों का (परिमित, चक्रीय) समूह है, इकाई समूह की पद है

n=r_{1}+r_{2}-1,

जहां

r_{1},r_{2}

क्रमशः वास्तविक एम्बेडिंग की संख्या और

F

के जटिल एम्बेडिंग के जोड़े की संख्या है।

यह $Z [\sqrt 3]$ उदाहरण को पुनः प्राप्त करता है: एक वास्तविक द्विघात क्षेत्र का इकाई समूह (पूर्णांकों का वलय) $r_{1}=2,r_{2}=0$ के बाद से पद 1 का अनंत है

बहुपद और घात श्रृंखला

क्रमविनिमेय वलय $R$ के लिए, बहुपद वलय $R [x]$ की इकाइयाँ बहुपद हैं

p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

जैसे कि

a_{0}

R

में एक इकाई है और शेष गुणांक

a_{1},\dots ,a_{n}

शून्य हैं, यानी, कुछ N के लिए

a_{i}^{N}=0

को संतुष्ट करते हैं।^[4] विशेष रूप से, यदि

R

एक डोमेन है (या अधिक सामान्यतः कम किया गया है), तो

R [x]

की इकाइयाँ

R

की इकाइयाँ हैं। शक्ति श्रृंखला वलय

R[[x]]

की इकाइयाँ शक्ति श्रृंखला हैं

p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

जैसे कि

a_{0}

R

में एक इकाई है।^[5]

आव्यूह वलय

वलय R के ऊपर $n \times n$ आव्यूहों के वलय $M n (R)$ का इकाई समूह व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समूह $GL n (R)$ है। क्रमविनिमेय वलय R के लिए, $M n (R)$ का एक तत्व $A$ व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि $A$ का निर्धारक $R$ में व्युत्क्रमणीय है। उस स्थिति में, $A -1$ को स्पष्ट रूप से सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में दिया जा सकता है।

सामान्यतः

वलय $R$ में तत्वों $x$ और $y$ के लिए, यदि $1-xy$ व्युत्क्रमणीय है, तो $1-yx$ व्युत्क्रम $1+y(1-xy)^{-1}x$ के साथ व्युत्क्रमणीय है;^[6] इस सूत्र का अनुमान लगाया जा सकता है, किंतु गैर-अनुवांशिक शक्ति श्रृंखला की वलय में निम्नलिखित गणना द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है:

(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.

समान परिणामों के लिए हुआ की पहचान देखें।

इकाइयों का समूह

एक क्रमविनिमेय वलय एक स्थानीय वलय है यदि $R - R \times$ एक अधिकतम आदर्श है.

जैसा कि यह पता चला है, यदि $R - R \times$ एक आदर्श है, तो यह आवश्यक रूप से एक अधिकतम आदर्श है और R स्थानीय है क्योंकि अधिकतम आदर्श $R \times$ से असंयुक्त है।

यदि R एक परिमित क्षेत्र है, तो $R \times$ क्रम $|R|-1$ का एक चक्रीय समूह है।

प्रत्येक वलय समरूपता $f : R \to S$ एक समूह समरूपता $R \times \to S \times$ को प्रेरित करता है, क्योंकि $f$ इकाइयों को इकाइयों में मैप करता है। वास्तव में, इकाई समूह का गठन वलय की श्रेणी से लेकर समूहों की श्रेणी तक एक फ़नकार को परिभाषित करता है। इस फ़नकार में एक बायाँ जोड़ है जो अभिन्न समूह वलय निर्माण है।^[7]

समूह योजना $\operatorname {GL} _{1}$ गुणक समूह योजना के लिए समरूपी है $\mathbb {G} _{m}$ किसी भी आधार पर, किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए $R$ , समूह $\operatorname {GL} _{1}(R)$ और $\mathbb {G} _{m}(R)$ विहित रूप से समरूपी हैं $U(R)$ . ध्यान दें कि फ़नकार $\mathbb {G} _{m}$ (वह है, $R\mapsto U(R)$ ) इस अर्थ में प्रस्तुत करने योग्य है: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ क्रमविनिमेय छल्लों के लिए $R$ (उदाहरण के लिए, यह समूह वलय निर्माण के साथ उपर्युक्त सहायक संबंध से अनुसरण करता है)। स्पष्ट रूप से इसका मतलब यह है कि वलय होमोमोर्फिज्म के सेट के बीच एक प्राकृतिक आपत्ति है $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ और इकाई तत्वों का सेट $R$ (इसके विपरीत, $\mathbb {Z} [t]$ योगात्मक समूह का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbb {G} _{a}$ , क्रमविनिमेय वलय की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी तक भुलक्कड़ फ़नकार)।

समूह योजना $\operatorname {GL} _{1}$ किसी भी आधार पर गुणक समूह योजना $\mathbb {G} _{m}$ के लिए समरूपी है, इसलिए किसी भी क्रमविनिमेय वलय $R$ के लिए, समूह $\operatorname {GL} _{1}(R)$ और $\mathbb {G} _{m}(R)$ विहित रूप से $U(R)$ के लिए समरूपी हैं। . ध्यान दें कि फ़ैक्टर $\mathbb {G} _{m}$ (अर्थात, $R\mapsto U(R)$ इस अर्थ में प्रतिनिधित्व योग्य है: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ क्रमविनिमेय वलय $R$ के लिए (उदाहरण के लिए यह समूह वलय निर्माण के साथ उपर्युक्त सहायक संबंध से अनुसरण करता है)। स्पष्ट रूप से इसका मतलब यह है कि वलय होमोमोर्फिज्म $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ के सेट और $R$ के इकाई तत्वों के सेट के बीच एक प्राकृतिक आपत्ति है (इसके विपरीत, $\mathbb {Z} [t]$ एडिटिव ग्रुप $\mathbb {G} _{a}$ का प्रतिनिधित्व करता है, जो कम्यूटिव की श्रेणी से भूलने वाला फ़ैक्टर है। एबेलियन समूहों की श्रेणी में आता है)।

संबद्धता

मान लीजिए कि R क्रमविनिमेय है। $R$ के तत्व r और s को सहयोगी कहा जाता है यदि $R$ में एक इकाई $u$ मौजूद है जैसे कि $r = us$ ; फिर $r \sim s$ लिखें. किसी भी वलय में, योगात्मक व्युत्क्रम तत्वों के जोड़े^{[lower-alpha 3]} $x$ और $- x$ सहयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और −6 $Z$ में सहयोगी हैं। सामान्य तौर पर, $~$ $R$ पर एक तुल्यता संबंध है।

संबद्धता को गुणन के माध्यम से R पर $R \times$ की क्रिया के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है: R के दो तत्व सहयोगी हैं यदि वे एक ही $R \times$ -कक्षा में हैं।

एक अभिन्न डोमेन में, किसी दिए गए गैर-शून्य तत्व के सहयोगियों के सेट में $R \times$ के समान प्रमुखता होती है।

तुल्यता संबंध ~ को ग्रीन के अर्धसमूह संबंधों में से किसी एक के रूप में देखा जा सकता है जो क्रमविनिमेय वलय $R$ के गुणक अर्धसमूह के लिए विशिष्ट है।

यह भी देखें

↑ The use of "invertible element" without specifying the operation is not ambiguous in the case of rings, since all elements of a ring are invertible for addition.
↑ The notation $R \times$ , introduced by André Weil, is commonly used in number theory, where unit groups arise frequently.^[3] The symbol × is a reminder that the group operation is multiplication. Also, a superscript × is not frequently used in other contexts, whereas a superscript * often denotes dual.
↑ $x$ and $- x$ are not necessarily distinct. For example, in the ring of integers modulo 6, one has $3 = -3$ even though $1 \neq -1$ .

उद्धरण

↑ Dummit & Foote 2004.
↑ Lang 2002.
↑ Weil 1974.
↑ Watkins (2007, Theorem 11.1)
↑ Watkins (2007, Theorem 12.1)
↑ Jacobson 2009, § 2.2. Exercise 4.
↑ Exercise 10 in § 2.2. of Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

स्रोत

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). सार बीजगणित (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). बुनियादी बीजगणित 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). बीजगणित. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
Weil, André (1974). मूल संख्या सिद्धांत. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.

श्रेणी:1 (संख्या) श्रेणी:बीजगणितीय संख्या सिद्धांत श्रेणी:समूह सिद्धांत श्रेणी:वलय सिद्धांत श्रेणी:तत्वों के बीजगणितीय गुण

[1] The use of "invertible element" without specifying the operation is not ambiguous in the case of rings, since all elements of a ring are invertible for addition.

[5] The notation $R \times$ , introduced by André Weil, is commonly used in number theory, where unit groups arise frequently.^[3] The symbol × is a reminder that the group operation is multiplication. Also, a superscript × is not frequently used in other contexts, whereas a superscript * often denotes dual.

[10] $x$ and $- x$ are not necessarily distinct. For example, in the ring of integers modulo 6, one has $3 = -3$ even though $1 \neq -1$ .

[FOOTNOTEDummitFoote2004-2] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTELang2002-3] Lang 2002.

[FOOTNOTEWeil1974-4] Weil 1974.

[6] Watkins (2007, Theorem 11.1)

[7] Watkins (2007, Theorem 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-8] Jacobson 2009, § 2.2. Exercise 4.

[9] Exercise 10 in § 2.2. of Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6. Zbl 1006.00001.

[lower-alpha 1]

[1]

[2]

[lower-alpha 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[lower-alpha 3]

[3]

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