प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति

संभाव्यता सिद्धांत में, प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति (या विनियमित ब्राउनियन गति,दोनों परिवर्णी शब्द आरबीएम के साथ) सीमाओं को प्रतिबिंबित करने वाले अंतरिक्ष में एक वीनर प्रक्रिया है। भौतिकी साहित्य में, यह प्रक्रिया एक सीमित स्थान में विसरण का वर्णन करती है और इसे अक्सर सीमित ब्राउनियन गति कहा जाता है। उदाहरण के लिए यह दो दीवारों के बीच सीमित पानी में कठोर गोले की गति का वर्णन कर सकता है। आरबीएम को भारी ट्रैफिक सन्निकटन का अनुभव करने वाले कतारबद्ध मॉडल का वर्णन करने के लिए दिखाया गया हैजैसा कि पहले जॉन किंगमैन द्वारा प्रस्तावित किया गया था और इगलहार्ट और वार्ड व्हिट द्वारा सिद्ध किया गया।

परिभाषा

एक डी-आयामी प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति जेड एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $\mathbb {R} _{+}^{d}$ द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

• एक डी-आयामी बहाव वेक्टर μ
• a d×d गैर-विलक्षण सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ और
• ए डी × डी प्रतिबिंब मैट्रिक्स आर।

जहां एक्स (टी) एक अनियंत्रित एक प्रकार कि गति है और::$Z(t)=X(t)+RY(t)$ वाई (टी) एक डी-आयामी वेक्टर के साथ जहां

• Y लगातार है और Y(0) = 0 के साथ घटता नहीं है
• य_j केवल उसी समय बढ़ता है जिसके लिए Z_j= 0 जे के लिए = 1,2,..., डी
• जेड (टी) ∈$\mathbb {R} _{+}^{d}$, टी ≥ 0।

प्रतिबिंब मैट्रिक्स सीमा व्यवहार का वर्णन करता है। के भीतरी भाग में $\scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}$ प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया की तरह व्यवहार करती है; सीमा पर मोटे तौर पर बोलते हुए, Z को दिशा R में धकेल दिया जाता है^j जब भी सीमा सतह $\scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}$ मारा जाता है, जहां आर^j मैट्रिक्स R का jवां स्तंभ है।

स्थिरता की स्थिति

स्थिरता की स्थिति 1, 2 और 3 आयामों में आरबीएम के लिए जानी जाती है। SRBMs के लिए चार और उच्च आयामों में पुनरावृत्ति वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है। विशेष मामले में जहां आर एक एम-मैट्रिक्स है तो स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं# आर एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और

1. आर^-1μ<0.

सीमांत और स्थिर वितरण

एक आयाम

0 से शुरू होने वाली एक-आयामी ब्राउनियन गति का सीमांत वितरण (क्षणिक वितरण) ड्रिफ्ट μ और विचरण σ के साथ सकारात्मक मानों (0 पर एक एकल परावर्तक अवरोध) तक सीमित है² है

$\mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)$

सभी t ≥ 0 के लिए, (Φ के साथ सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन) जो देता है (μ < 0 के लिए) जब t → ∞ एक घातीय वितरण लेते हैं

$\mathbb {P} (Z<z)=1-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}.$

निश्चित टी के लिए, जेड (टी) का वितरण ब्राउनियन गति के चल रहे अधिकतम एम (टी) के वितरण के साथ मेल खाता है,

$Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).$

लेकिन ध्यान रखें कि संपूर्ण रूप से प्रक्रियाओं का वितरण बहुत भिन्न होता है। विशेष रूप से, M(t) t में बढ़ रहा है, जो Z(t) के मामले में नहीं है।

परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए ऊष्मा कर्नेल $p_{b}$:

$f(x,p_{b})={\frac {e^{-((x-u)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}$ ऊपर के विमान के लिए $x\geq p_{b}$

एकाधिक आयाम

कई आयामों में परिलक्षित ब्राउनियन गति का स्थिर वितरण विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल होता है जब कोई उत्पाद स्थिर वितरण होता है, जो तब होता है जब प्रक्रिया स्थिर होती है और

$2\Sigma =RD+DR'$

जहां डी = विकर्ण मैट्रिक्स (Σ)। इस स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन है::$p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}$ कहाँ η_k= 2मी_kγ_k/एस_kk और γ = आर^-1μ. उन स्थितियों के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियां जहां उत्पाद फॉर्म की स्थिति पकड़ में नहीं आती है, सिमुलेशन अनुभाग में नीचे वर्णित अनुसार संख्यात्मक रूप से गणना की जा सकती है।

सिमुलेशन

एक आयाम

एक आयाम में सिम्युलेटेड प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया का पूर्ण मूल्य है। निम्न MATLAB प्रोग्राम एक नमूना पथ बनाता है।

% rbm.m
n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;
X = zeros(1, n+1); M=X; B=X;
B(1)=3; X(1)=3;
for k=2:n+1
    Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1);
    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;
    M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;
    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);
end
subplot(2, 1, 1)
plot(t, X, 'k-');
subplot(2, 1, 2)
plot(t, X-B, 'k-');

असतत सिमुलेशन में शामिल त्रुटि की मात्रा निर्धारित की गई है।

एकाधिक आयाम

QNET स्टेडी स्टेट आरबीएम के अनुकरण की अनुमति देता है।

अन्य सीमा शर्तें

फेलर ने प्रक्रिया के लिए संभावित सीमा स्थिति का वर्णन किया

• अवशोषणया मार डाला ब्राउनियन गति, एक डिरिचलेट सीमा स्थिति
• तात्कालिक प्रतिबिंब,जैसा कि एक न्यूमैन सीमा स्थिति के ऊपर वर्णित है
• लोचदार प्रतिबिंब, एक रॉबिन सीमा की स्थिति
• विलंबित प्रतिबिंब(सीमा पर बिताया गया समय प्रायिकता एक के साथ धनात्मक है)
• आंशिक प्रतिबिंबजहां प्रक्रिया या तो तुरंत परिलक्षित होती है या अवशोषित हो जाती है
• चिपचिपा ब्राउनियन गति।

यह भी देखें

• स्कोरोखोड समस्या