अवकल समीकरणों की प्रणाली

गणित में, अंतर समीकरणों की एक प्रणाली अंतर समीकरणों का एक सीमित सेट है। ऐसी प्रणाली या तो रैखिक अंतर समीकरण या गैर-रेखीय अंतर समीकरण | गैर-रेखीय हो सकती है। साथ ही, ऐसी प्रणाली या तो साधारण अंतर समीकरणों की प्रणाली या आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली हो सकती है।

विभेदक समीकरणों की रैखिक प्रणाली

Main article: Linear differential equation

समीकरणों की किसी भी प्रणाली की तरह, रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को अतिनिर्धारित प्रणाली कहा जाता है यदि अज्ञात की तुलना में अधिक समीकरण हों।

किसी अतिनिर्धारित प्रणाली का समाधान पाने के लिए उसे अनुकूलता शर्तों को पूरा करना होगा। उदाहरण के लिए, सिस्टम पर विचार करें:

${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.$

फिर सिस्टम के समाधान के लिए आवश्यक शर्तें हैं:

${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.$

यह भी देखें: कॉची समस्या और एरेनपेरिस मौलिक सिद्धांत।

अवकल समीकरणों की अरैखिक प्रणाली

Main article: Nonlinear differential equation

अंतर समीकरणों की गैर-रेखीय प्रणाली का शायद सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नेवियर-स्टोक्स समीकरण है। रैखिक मामले के विपरीत, एक गैर-रेखीय प्रणाली के समाधान का अस्तित्व एक कठिन समस्या है (cf. नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और चिकनाई।)

यह भी देखें: एच-सिद्धांत।

विभेदक प्रणाली

एक विभेदक प्रणाली, विभेदक रूपों और वेक्टर क्षेत्रों जैसे ज्यामितीय विचारों का उपयोग करके आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन करने का एक साधन है।

उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली की अनुकूलता स्थितियों को विभेदक रूपों के संदर्भ में संक्षेप में बताया जा सकता है (यानी, एक रूप सटीक होने के लिए, इसे बंद करने की आवश्यकता है)। अधिक जानकारी के लिए विभेदक प्रणालियों के लिए एकीकृतता स्थितियाँ देखें।

यह भी देखें: :श्रेणी:विभेदक प्रणालियाँ।

यह भी देखें

• अभिन्न ज्यामिति
• कार्टन-कुरान लम्बाई प्रमेय

संदर्भ

• L. Ehrenpreis, The Universality of the Radon Transform, Oxford Univ. Press, 2003.
• Gromov, M. (1986), Partial differential relations, Springer, ISBN 3-540-12177-3
• M. Kuranishi, "Lectures on involutive systems of partial differential equations" , Publ. Soc. Mat. São Paulo (1967)
• Pierre Schapira, Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren der Math- ematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985.

अग्रिम पठन

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold