रॉबिन्स बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, रॉबिंस बीजगणित सार्वभौमिक बीजगणित मूल विचार है जिसमें एकल बाइनरी संक्रियक होता है, जिसे सामान्यतः $\lor$ द्वारा दर्शाया जाता है, और एकल एकअंगी संक्रियक सामान्यतः $\neg$ द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार से ये संक्रियक निम्नलिखित सार्वभौमिक बीजगणित समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

सभी अवयवों a, b, और c के लिए:

1. सहयोगिता: $a\lor \left(b\lor c\right)=\left(a\lor b\right)\lor c$
2. परिवर्तनशीलता: $a\lor b=b\lor a$
3. रॉबिन्स समीकरण: $\neg \left(\neg \left(a\lor b\right)\lor \neg \left(a\lor \neg b\right)\right)=a$

अतः कई वर्षों तक, यह अनुमान लगाया गया था, परन्तु अप्रमाणित है, कि सभी रॉबिन्स बीजगणित बूलियन बीजगणित (संरचना) हैं। यह 1996 में सिद्ध हो गया था, इसलिए रॉबिन्स बीजगणित शब्द अब मात्र बूलियन बीजगणित का पर्याय बन गया है।

इतिहास

इस प्रकार से 1933 में, एडवर्ड हटिंगटन ने बूलियन बीजगणित के लिए स्वयंसिद्धों का नवीन समुच्चय प्रस्तावित किया, जिसमें उपरोक्त (1) और (2) के अतिरिक्त:

• हंटिंगटन का समीकरण: $\neg (\neg a\lor b)\lor \neg (\neg a\lor \neg b)=a.$

अतः इन स्वयंसिद्धों से, हंटिंगटन ने बूलियन बीजगणित के सामान्य स्वयंसिद्धों को प्राप्त किया था।

इसके तुरंत बाद, हर्बर्ट रॉबिंस ने रॉबिंस अनुमान प्रस्तुत किया, अर्थात् हंटिंगटन समीकरण को रॉबिन्स समीकरण कहे जाने वाले समीकरण से परिवर्तित किया जा सकता है, और परिणाम अभी भी बूलियन बीजगणित (संरचना) होगा। इस प्रकार से $\lor$ बूलियन योग बीजगणित (संरचना) परिभाषा और $\neg$ बूलियन पूरक की व्याख्या करेगा। बूलियन मिलान और स्थिरांक 0 और 1 को रॉबिन्स बीजगणित आदिम से सरलता से परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार से अनुमान के सत्यापन तक, "रॉबिन्स की प्रणाली" को "रॉबिन्स बीजगणित" कहा गया था।

इस प्रकार से रॉबिंस अनुमान को सत्यापित करने के लिए हंटिंगटन के समीकरण, या बूलियन बीजगणित के कुछ अन्य स्वयंसिद्धीकरण को रॉबिंस बीजगणित के प्रमेय के रूप में सिद्ध करना आवश्यक है। अतः हंटिंगटन, रॉबिंस, अल्फ्रेड टार्स्की और अन्य लोगों ने समस्या पर काम किया, परन्तु कोई प्रमाण या प्रति-उदाहरण खोजने में असफल रहे।

विलियम मैकक्यून ने 1996 में समीकरणात्मक सिद्ध करने वाले स्वचालित प्रमेय का उपयोग करके अनुमान को सिद्ध किया था। सुसंगत संकेतन में रॉबिन्स अनुमान के पूर्ण प्रमाण के लिए और मैकक्यून को स्पष्टता से अनुसरण करने के लिए, मान (2003) देखें। इस प्रकार से डाहन (1998) ने मैकक्यून के मशीन प्रमाण को सरल बनाया गया था।

यह भी देखें

• बीजगणितीय संरचना
• बूलियन बीजगणित के लिए न्यूनतम स्वयंसिद्ध

संदर्भ

• Dahn, B. I. (1998) Abstract to "Robbins Algebras Are Boolean: A Revision of McCune's Computer-Generated Solution of Robbins Problem," Journal of Algebra 208(2): 526–32.
• Mann, Allen (2003) "A Complete Proof of the Robbins Conjecture."
• William McCune, "Robbins Algebras Are Boolean," With links to proofs and other papers.