असामान्‍य गोला (एक्जाॅटिक स्फीयर)

गणित के एक क्षेत्र में जिसे विभेदक टोपोलॉजी कहा जाता है, एक विदेशी क्षेत्र एक अलग-अलग मैनिफोल्ड एम है जो होम्योमॉर्फिक है लेकिन मानक यूक्लिडियन एन-स्फीयर|एन-स्फीयर से भिन्न नहीं है। अर्थात्, एम अपने सभी टोपोलॉजिकल गुणों के दृष्टिकोण से एक क्षेत्र है, लेकिन एक चिकनी संरचना रखता है जो परिचित नहीं है (इसलिए इसका नाम विदेशी है)।

प्रथम विदेशी क्षेत्रों का निर्माण किसके द्वारा किया गया था? John Milnor (1956) आयाम में $n=7$ जैसा $S^{3}$-फाइबर बंडल खत्म $S^{4}$. उन्होंने दिखाया कि 7-गोले पर कम से कम 7 भिन्न संरचनाएँ हैं। किसी भी आयाम में Milnor (1959) दिखाया गया है कि उन्मुख विदेशी क्षेत्रों के भिन्नता वर्ग जुड़े हुए योग के तहत एक एबेलियन मोनॉयड के गैर-तुच्छ तत्वों का निर्माण करते हैं, जो एक परिमित समूह एबेलियन समूह है यदि आयाम 4 नहीं है। द्वारा विदेशी क्षेत्रों का वर्गीकरण Michel Kervaire and Milnor (1963)दिखाया गया कि 7-गोले से परे उन्मुखता जुड़ा हुआ योग के संचालन के तहत क्रम 28 के चक्रीय समूह के गैर-तुच्छ तत्व हैं।

विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि इस समूह के तत्व (एन ≠ 4) एस पर चिकनी संरचनाओं के समतुल्य वर्ग हैंⁿ, जहां दो संरचनाओं को समतुल्य माना जाता है यदि एक संरचना को दूसरी संरचना पर ले जाने वाली भिन्नता को संरक्षित करने वाला एक अभिविन्यास है। समूह संचालन को [x] + [y] = [x + y] द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां x और y अपने समतुल्य वर्गों के मनमाने प्रतिनिधि हैं, और x + y चिकने S पर चिकनी संरचना को दर्शाता हैⁿ यह x और y का जुड़ा हुआ योग है। यह दिखाना आवश्यक है कि ऐसी परिभाषा चुने गए विकल्पों पर निर्भर नहीं करती है; वास्तव में यह दिखाया जा सकता है।

परिचय

इकाई n-क्षेत्र, $S^{n}$, सभी टुपल्स का सेट है|(n+1)-ट्यूपल्स $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ वास्तविक संख्याओं का, जैसे कि योग $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1$. उदाहरण के लिए, $S^{1}$ जबकि, एक वृत्त है $S^{2}$ 3 आयामों में से एक त्रिज्या की एक साधारण गेंद की सतह है। टोपोलॉजिस्ट एक स्थान, उलटा) ढंग। उदाहरण के लिए, त्रिज्या r के n-गोले पर एक बिंदु x को मूल बिंदु से इसकी दूरी को समायोजित करके इकाई n-गोले के एक बिंदु के साथ मिलान किया जा सकता है $1/r$. इसी प्रकार, किसी भी त्रिज्या के n-घन को लगातार n-गोले में परिवर्तित किया जा सकता है।

विभेदक टोपोलॉजी में, समानता की प्रासंगिक धारणा को एक भिन्नता द्वारा देखा जाता है, जो अतिरिक्त शर्त के साथ एक होमोमोर्फिज्म है कि यह सुचारू कार्य है, अर्थात, इसमें हर जगह सभी आदेशों का व्युत्पन्न होना चाहिए। यौगिक की गणना करने के लिए, किसी को एक्स में लगातार परिभाषित स्थानीय समन्वय प्रणालियों की आवश्यकता होती है। गणितज्ञों को 1956 में आश्चर्य हुआ जब मिल्नोर ने दिखाया कि लगातार समन्वय प्रणालियों को 7-गोले पर दो अलग-अलग तरीकों से स्थापित किया जा सकता है जो निरंतर अर्थ में समतुल्य थे, लेकिन भिन्न अर्थ में नहीं. मिल्नोर और अन्य ने यह पता लगाने की कोशिश की कि प्रत्येक आयाम में ऐसे कितने विदेशी क्षेत्र मौजूद हो सकते हैं और यह समझने की कोशिश की जा सकती है कि वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं। 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- या 61-गोले पर कोई विदेशी संरचना संभव नहीं है। कुछ उच्च-आयामी क्षेत्रों में केवल दो संभावित भिन्न संरचनाएं होती हैं, अन्य में हजारों होती हैं। क्या विदेशी 4-गोले मौजूद हैं, और यदि हां तो कितने, यह गणित में अनसुलझी समस्याओं की एक सूची है।

वर्गीकरण

एन-गोले पर चिकनी संरचनाओं का मोनोइड उन्मुख चिकनी एन-मैनिफोल्ड्स का संग्रह है जो एन-गोले के लिए होमोमोर्फिक हैं, जो अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नता तक ले जाया जाता है। मोनॉइड ऑपरेशन जुड़ा हुआ योग है। बशर्ते $n\neq 4$, यह मोनॉइड एक समूह है और समूह के लिए समरूपी है $\Theta _{n}$ एच-कोबॉर्डिज्म|एच-कोबॉर्डिज्म वर्गों की ओरिएंटेड होमोटोपी क्षेत्र|होमोटॉपी एन-स्फीयर, जो परिमित और एबेलियन है। आयाम 4 में चिकने गोले के मोनोइड के बारे में लगभग कुछ भी ज्ञात नहीं है, इस तथ्य से परे कि यह परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, और एबेलियन है, हालांकि इसके अनंत होने का संदेह है; विदेशी क्षेत्र#4-आयामी विदेशी क्षेत्र और ग्लक ट्विस्ट्स पर अनुभाग देखें। सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान के अनुसार सभी समरूप एन-गोले एन-गोले के समरूप हैं, जिसे स्टीफन स्माले ने 4 से बड़े आयामों में, माइकल फ्रीडमैन ने आयाम 4 में, और त्वरित पेरेलमैन ने आयाम 3 में साबित किया है। आयाम 3 में, एडविन ई. मोइस ने साबित किया है प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से अद्वितीय चिकनी संरचना होती है (मोइस की प्रमेय देखें), इसलिए 3-गोले पर चिकनी संरचनाओं का मोनोइड तुच्छ है।

समानांतर अनेक गुना

समूह $\Theta _{n}$ एक चक्रीय उपसमूह है

$bP_{n+1}$

एन-गोले द्वारा दर्शाया गया है जो समानांतर कई गुनाओं को बांधता है। की संरचनाएँ $bP_{n+1}$ और भागफल

$\Theta _{n}/bP_{n+1}$

पेपर में अलग से वर्णित किया गया है (Kervaire & Milnor 1963), जो सर्जरी सिद्धांत के विकास में प्रभावशाली था। वास्तव में, इन गणनाओं को सर्जरी के सटीक अनुक्रम के संदर्भ में आधुनिक भाषा में तैयार किया जा सकता है, जैसा कि सर्जरी के सटीक अनुक्रम#उदाहरणों में दर्शाया गया है।

समूह $bP_{n+1}$ एक चक्रीय समूह है, और मामले को छोड़कर तुच्छ या क्रम 2 है $n=4k+3$, जिस स्थिति में यह बड़ा हो सकता है, इसका क्रम बर्नौली संख्याओं से संबंधित है। यदि n सम है तो यह तुच्छ है। यदि n 1 मॉड 4 है तो इसका क्रम 1 या 2 है; विशेष रूप से इसका क्रम 1 है यदि n 1, 5, 13, 29, या 61 है, और William Browder (1969) सिद्ध कर दिया कि इसका क्रम 2 है यदि $n=1$ मॉड 4 फॉर्म का नहीं है $2^{k}-3$. यह अब लगभग पूरी तरह से हल हो चुकी कर्वैयर अपरिवर्तनीय समस्या से पता चलता है कि इसमें 126 से बड़े सभी n के लिए क्रम 2 है; मामला $n=126$ अभी भी खुला है. के लिए $bP_{4k}$ के लिए $k\geq 2$ है

$2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,$

जहाँ B का अंश है $4B_{2k}/k$, और $B_{2k}$ एक बर्नौली संख्या है. (टोपोलॉजिकल साहित्य में सूत्र थोड़ा भिन्न है क्योंकि टोपोलॉजिस्ट बर्नौली संख्याओं के नामकरण के लिए एक अलग परंपरा का उपयोग करते हैं; यह लेख संख्या सिद्धांतकारों की परंपरा का उपयोग करता है।)

भागफल के बीच मानचित्र

भागफल समूह $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ जे-समरूपता की छवि मॉड्यूलो क्षेत्रों के स्थिर समरूप समूहों के संदर्भ में एक विवरण है; यह या तो भागफल या सूचकांक 2 के बराबर है। अधिक सटीक रूप से एक इंजेक्शन मानचित्र है

$\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,$

कहाँ $\pi _{n}^{S}$ गोले का nवाँ स्थिर समरूप समूह है, और J, J-समरूपता की छवि है। साथ ही $bP_{n+1}$, जे की छवि एक चक्रीय समूह है, और मामले को छोड़कर तुच्छ या क्रम 2 है $n=4k+3$, जिस स्थिति में यह बड़ा हो सकता है, इसका क्रम बर्नौली संख्याओं से संबंधित है। भागफल समूह $\pi _{n}^{S}/J$ गोले के स्थिर समरूप समूहों का कठिन हिस्सा है, और तदनुसार $\Theta _{n}/bP_{n+1}$ विदेशी क्षेत्रों का कठिन हिस्सा है, लेकिन लगभग पूरी तरह से क्षेत्रों के समरूप समूहों की गणना करने के लिए कम हो जाता है। नक्शा या तो एक समरूपता है (छवि संपूर्ण समूह है), या एक उपसमूह 2 के सूचकांक के साथ एक इंजेक्शन मानचित्र है। उत्तरार्द्ध मामला है अगर और केवल अगर केरवायर इनवेरिएंट 1 के साथ एक एन-आयामी फ़्रेमयुक्त मैनिफोल्ड मौजूद है, जो है केरवायर इनवेरिएंट समस्या के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार विदेशी क्षेत्रों के वर्गीकरण में 2 का कारक केरवायर अपरिवर्तनीय समस्या पर निर्भर करता है।

As of 2012, केवल मामले के साथ, केरवायर इनवेरिएंट समस्या लगभग पूरी तरह से हल हो गई है $n=126$ खुला रहना; विवरण के लिए वह लेख देखें. यह मुख्यतः का कार्य है Browder (1969), जिससे साबित हुआ कि ऐसी विविधताएँ केवल आयाम में ही मौजूद थीं $n=2^{j}-2$, और Hill, Hopkins & Ravenel (2016), जिससे साबित हुआ कि आयाम के लिए ऐसे कई गुना नहीं थे $254=2^{8}-2$ और ऊपर दिए गए। केरवायर इनवेरिएंट 1 के साथ मैनिफोल्ड्स का निर्माण आयाम 2, 6, 14, 30 और 62 में किया गया है, लेकिन आयाम 126 खुला है, जिसमें कोई भी मैनिफोल्ड न तो निर्मित किया गया है और न ही अस्वीकृत किया गया है।

Θ का क्रम_n

समूह का क्रम $\Theta _{n}$ इस तालिका में दिया गया है (sequence A001676 in the OEIS) से (Kervaire & Milnor 1963) (सिवाय इसके कि प्रविष्टि के लिए $n=19$ उनके पेपर में 2 गुना ग़लत है; खंड III पृष्ठ में सुधार देखें। मिल्नोर के एकत्रित कार्यों में से 97)।

Dim n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
order $\Theta _{n}$	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
$bP_{n+1}$	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
$\Theta _{n}/bP_{n+1}$	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
$\pi _{n}^{S}/J$	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
index	–	2	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–	–	2	–	–	–	–	–	–

ध्यान दें कि मंद के लिए $n=4k-1$, तब $\theta _{n}$ हैं $28=2^{2}(2^{3}-1)$, $992=2^{5}(2^{5}-1)$, $16256=2^{7}(2^{7}-1)$, और $523264=2^{10}(2^{9}-1)$. इस तालिका में आगे की प्रविष्टियों की गणना ऊपर दी गई जानकारी के साथ-साथ गोले के स्थिर समरूप समूहों की तालिका से की जा सकती है।

गोले के स्थिर समरूप समूहों की गणना द्वारा, Wang & Xu (2017) सिद्ध करता है कि गोला S⁶¹ की एक अद्वितीय चिकनी संरचना है, और यह इस संपत्ति के साथ अंतिम विषम-आयामी क्षेत्र है - केवल वही हैं S¹, S³, S⁵, और S⁶¹.

विदेशी क्षेत्रों के स्पष्ट उदाहरण

When I came upon such an example in the mid-50s, I was very puzzled and didn't know what to make of it. At first, I thought I'd found a counterexample to the generalized Poincaré conjecture in dimension seven. But careful study showed that the manifold really was homeomorphic to $S^{7}$. Thus, there exists a differentiable structure on $S^{7}$ not diffeomorphic to the standard one.

John Milnor (2009, p.12)

मिल्नोर का निर्माण

Main article: Milnor's sphere

द्वारा खोजे गए विदेशी क्षेत्र के पहले उदाहरणों में से एक Milnor (1956, section 3) निम्नलिखित था. मान लीजिए $B^{4}$ यूनिट बॉल है गणित>\R^4</math>, और चलो $S^{3}$ इसकी सीमा (टोपोलॉजी) हो - एक 3-गोला जिसे हम इकाई चतुर्भुज के समूह के साथ पहचानते हैं। अब इसकी दो प्रतियाँ लें $B^{4}\times S^{3}$, प्रत्येक सीमा के साथ $S^{3}\times S^{3}$, और पहचान कर उन्हें एक साथ चिपका दें $(a,b)$ के साथ पहली सीमा में $(a,a^{2}ba^{-1})$ दूसरी सीमा में. परिणामी मैनिफ़ोल्ड में एक प्राकृतिक चिकनी संरचना होती है और यह होमियोमॉर्फिक होती है $S^{7}$, लेकिन इससे भिन्न नहीं है $S^{7}$. मिल्नोर ने दिखाया कि यह लुप्त हो रही चौथी बेट्टी संख्या के साथ किसी भी चिकनी 8-गुना की सीमा नहीं है, और इसमें स्वयं के लिए कोई अभिविन्यास-उलट भिन्नता नहीं है; इनमें से किसी भी गुण का तात्पर्य यह है कि यह मानक 7-गोला नहीं है। मिल्नोर ने दिखाया कि इस मैनिफोल्ड में केवल दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) के साथ एक मोर्स फ़ंक्शन है, दोनों गैर-पतित, जिसका अर्थ है कि यह स्थलीय रूप से एक क्षेत्र है।

ब्रिस्कोर्न गोले

जैसा कि दिखाया गया है Egbert Brieskorn (1966, 1966b) (यह सभी देखें (Hirzebruch & Mayer 1968)) बिंदुओं के जटिल समूह का प्रतिच्छेदन $\mathbb {C} ^{5}$ संतुष्टि देने वाला

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\$

मूल के चारों ओर एक छोटे से गोले के साथ $k=1,2,\ldots ,28$ उन्मुख 7-गोले पर सभी 28 संभावित चिकनी संरचनाएं देता है। समान मैनिफोल्ड्स को ब्रिस्कोर्न गोले कहा जाता है।

मुड़े हुए गोले

एक (अभिविन्यास-संरक्षण) भिन्नता को देखते हुए $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$, मानक डिस्क की दो प्रतियों की सीमाओं को चिपकाना $D^{n}$ एफ के साथ मिलकर एक मैनिफोल्ड प्राप्त होता है जिसे मुड़ा हुआ गोला कहा जाता है (मोड़ एफ के साथ)। यह मानक एन-क्षेत्र के समतुल्य समरूपता है क्योंकि ग्लूइंग मानचित्र पहचान के लिए समरूप है (एक अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नता, इसलिए डिग्री 1), लेकिन मानक क्षेत्र के लिए सामान्य रूप से भिन्न नहीं है। (Milnor 1959b) सेटिंग $\Gamma _{n}$ मुड़े हुए n-गोले का समूह होने के लिए (कनेक्ट योग के तहत), कोई सटीक अनुक्रम प्राप्त करता है

$\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.$

के लिए $n>5$, प्रत्येक विदेशी एन-गोलाकार एक मुड़े हुए गोले से भिन्न होता है, स्टीफन स्माले द्वारा सिद्ध परिणाम जिसे एच-कोबॉर्डिज्म #एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय के सटीक कथन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है|एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय। (इसके विपरीत, टुकड़े-टुकड़े रैखिक कई गुना सेटिंग में सबसे बाईं ओर का नक्शा अलेक्जेंडर ट्रिक#रेडियल एक्सटेंशन के माध्यम से चालू होता है: प्रत्येक पीसवाइज-लीनियर-ट्विस्टेड गोला मानक है।) समूह $\Gamma _{n}$ मुड़े हुए गोले हमेशा समूह के लिए समरूपी होते हैं $\Theta _{n}$. नोटेशन अलग-अलग हैं क्योंकि पहले यह ज्ञात नहीं था कि वे समान हैं $n=3$ या 4; उदाहरण के लिए, मामला $n=3$ पोंकारे अनुमान के समतुल्य है।

1970 में जॉन डियर ने स्यूडोआइसोटोपी प्रमेय को सिद्ध किया जिसका तात्पर्य यह है $\pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})$ प्रदान किया गया तुच्छ समूह है $n\geq 6$, इसलिए $\Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})$ बशर्ते $n\geq 6$.

अनुप्रयोग

यदि एम एक टुकड़ा-वार रैखिक मैनिफोल्ड है तो एम पर संगत चिकनी संरचनाओं को खोजने की समस्या समूहों के ज्ञान पर निर्भर करती है Γ_k = Θ_k. अधिक सटीक रूप से, किसी भी सुचारु संरचना के अस्तित्व में बाधाएँ समूहों में निहित होती हैं H_k+1(M, Γ_k) k के विभिन्न मानों के लिए, जबकि यदि ऐसी कोई चिकनी संरचना मौजूद है तो ऐसी सभी चिकनी संरचनाओं को समूहों का उपयोग करके वर्गीकृत किया जा सकता है H_k(M, Γ_k). विशेष रूप से समूह Γ_k गायब हो जाओ अगर k < 7, इसलिए अधिकतम 7 आयाम वाले सभी पीएल मैनिफोल्ड में एक चिकनी संरचना होती है, जो अनिवार्य रूप से अद्वितीय होती है यदि मैनिफोल्ड का आयाम अधिकतम 6 हो।

निम्नलिखित परिमित एबेलियन समूह मूलतः समान हैं:

• समूह Θ_n उन्मुख होमोटॉपी एन-क्षेत्रों के एच-कोबॉर्डिज़्म वर्गों की।
• उन्मुख एन-क्षेत्रों के एच-कोबॉर्डिज़्म वर्गों का समूह।
• समूह Γ_n मुड़े हुए उन्मुख एन-गोले का।
• होमोटॉपी समूह π_n(पीएल/डीआईएफएफ)
• अगर n ≠ 3, होमोटॉपी समूह π_n(शीर्ष/अंतर) (यदि n = 3 इस समूह का क्रम 2 है; किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट देखें)।
• एक उन्मुख पीएल एन-गोले की चिकनी संरचनाओं का समूह।
• अगर n ≠ 4, एक उन्मुख टोपोलॉजिकल एन-क्षेत्र की चिकनी संरचनाओं का समूह।
• अगर n ≠ 5, एस के सभी अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नताओं के समूह के घटकों का समूहⁿ⁻¹.

4-आयामी विदेशी क्षेत्र और ग्लक ट्विस्ट

4 आयामों में यह ज्ञात नहीं है कि 4-गोले पर कोई विदेशी चिकनी संरचनाएं हैं या नहीं। यह कथन कि उनका अस्तित्व नहीं है, सुचारु पोंकारे अनुमान के रूप में जाना जाता है, और इसकी चर्चा की जाती है Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) जो कहते हैं कि यह झूठ माना जाता है।

विदेशी 4-क्षेत्रों के लिए प्रस्तावित कुछ उम्मीदवार कैपेल-शेनसन क्षेत्र हैं (Sylvain Cappell and Julius Shaneson (1976)) और ग्लुक ट्विस्ट द्वारा व्युत्पन्न (Gluck 1962). ग्लक ट्विस्ट गोले का निर्माण एस में 2-गोले एस के एक ट्यूबलर पड़ोस को काटकर किया जाता है⁴और इसकी सीमा S की भिन्नता का उपयोग करके इसे वापस चिपका दिया गया²×S¹. परिणाम सदैव S के समरूपी होता है⁴. पिछले कुछ वर्षों में कई मामलों को सुचारु 4 आयामी पोंकारे अनुमान के संभावित प्रतिउदाहरण के रूप में खारिज कर दिया गया था। उदाहरण के लिए, Cameron Gordon (1976), José Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto & Yamada (2000), Selman Akbulut (2010), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017).

यह भी देखें

• मिल्नोर का क्षेत्र
• एटलस (टोपोलॉजी)
• क्लचिंग निर्माण
• विदेशी आर4|विदेशी आर⁴
• सेर्फ़ सिद्धांत
• सात-आयामी अंतरिक्ष

संदर्भ

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• Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), "The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres", Annals of Mathematics, 186 (2): 501–580, arXiv:1601.02184, doi:10.4007/annals.2017.186.2.3, MR 3702672, S2CID 119147703.
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Milnor sphere", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Exotic spheres on the Manifold Atlas
• Exotic sphere home page on the home page of Andrew Ranicki. Assorted source material relating to exotic spheres.
• An animation of exotic 7-spheres Video from a presentation by Niles Johnson at the Second Abel conference in honor of John Milnor.
• The Gluck construction on the Manifold Atlas