संशोधनीय समुच्चय (रेक्टिफिएबल सेट)

This article is about rectifiable sets in measure theory. For rectifiable curves, see Arc length.

गणित में, एक सुधार योग्य सेट एक ऐसा सेट होता है जो एक निश्चित माप सिद्धांत | माप-सैद्धांतिक अर्थ में सुचारू होता है। यह सुधार योग्य वक्र के विचार का उच्च आयामों तक विस्तार है; मोटे तौर पर कहें तो, एक सुधार योग्य सेट एक टुकड़ा-वार चिकनी सेट का एक कठोर सूत्रीकरण है। इस प्रकार, इसमें चिकनी कई गुना के कई वांछनीय गुण हैं, जिनमें स्पर्शरेखा स्थान भी शामिल हैं जो लगभग हर जगह परिभाषित हैं। ज्यामितीय माप सिद्धांत में सुधार योग्य सेट अध्ययन का अंतर्निहित उद्देश्य हैं।

परिभाषा

एक बोरेल सेट $E$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष का $\mathbb {R} ^{n}$ बताया गया$m$-सुधार योग्य सेट यदि $E$ हॉसडॉर्फ आयाम का है $m$, और वहाँ एक गणनीय संग्रह मौजूद है $\{f_{i}\}$ लगातार अलग-अलग मानचित्रों का

$f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

ऐसे कि $m$-हौसडॉर्फ माप ${\mathcal {H}}^{m}$ का

$E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)$

शून्य है. यहां बैकस्लैश सेट अंतर को दर्शाता है। समान रूप से, $f_{i}$ परिभाषा में बदलाव किए बिना लिप्सचिट्ज़ निरंतर माना जा सकता है। अन्य लेखकों की अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, उदाहरण के लिए, आवश्यकता नहीं $E$ होना $m$-आयामी, लेकिन इसके बजाय इसकी आवश्यकता है $E$ सेटों का एक गणनीय संघ है जो कि कुछ बंधे हुए उपसमुच्चय से लिप्सचिट्ज़ मानचित्र की छवि है $\mathbb {R} ^{n}$. एक सेट $E$ विशुद्ध रूप से कहा जाता है $m$-यदि प्रत्येक के लिए सुधार योग्य नहीं है (निरंतर, अवकलनीय) $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, किसी के पास

${\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.$

दो आयामों में विशुद्ध रूप से 1-असुधार्य सेट का एक मानक उदाहरण स्मिथ-वोल्टेरा-कैंटर सेट समय का क्रॉस-उत्पाद है।

मीट्रिक स्थानों में सुधार योग्य सेट

Federer (1969, pp. 251–252) सामान्य मीट्रिक स्थान X में m-सुधार योग्य सेट E के लिए निम्नलिखित शब्दावली देता है।

1. ई है '$m$ लिप्सचिट्ज़ मानचित्र मौजूद होने पर इसे सुधारा जा सकता है $f:K\to E$ कुछ परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $K$ का $\mathbb {R} ^{m}$ पर $E$.
2. ई 'गिनती योग्य' है $m$ सुधार योग्य जब ई एक गणनीय परिवार के मिलन के बराबर हो $m$ सुधार योग्य सेट.
3. ई 'गिनती योग्य' है $(\phi ,m)$ जब सुधार योग्य हो $\phi$ X पर एक माप है और एक गणनीय है $m$ सुधार योग्य समुच्चय F इस प्रकार है $\phi (E\setminus F)=0$.
4. ई है '$(\phi ,m)$ सुधार योग्य जब ई गणनीय हो $(\phi ,m)$ सुधार योग्य और $\phi (E)<\infty$
5. ई 'विशुद्ध रूप से' है $(\phi ,m)$ जब ठीक नहीं किया जा सकता $\phi$ X पर एक माप है और E में संख्या शामिल है $m$ सुधार योग्य सेट एफ के साथ $\phi (F)>0$.

परिभाषा 3 के साथ $\phi ={\mathcal {H}}^{m}$ और $X=\mathbb {R} ^{n}$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उपसमुच्चय के लिए उपरोक्त परिभाषा के सबसे करीब आता है।

संदर्भ

• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
• T.C.O'Neil (2001) [1994], "Geometric measure theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, vol. 3, Canberra: Centre for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University, pp. VII+272 (loose errata), ISBN 0-86784-429-9, Zbl 0546.49019

बाहरी संबंध

• Rectifiable set at Encyclopedia of Mathematics