होशचाइल्ड होमोलॉजी

गणित में, होशचाइल्ड होमोलॉजी (और कोहोमोलॉजी) रिंग (गणित) पर साहचर्य बीजगणित (रिंग सिद्धांत) के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत है। कुछ फ़ंक्शनलर्स की होशचाइल्ड समरूपता के लिए एक सिद्धांत भी है। होशचाइल्ड कोहोमोलॉजी की शुरुआत किसके द्वारा की गई थी? Gerhard Hochschild (1945) एक क्षेत्र (गणित) पर बीजगणित के लिए, और अधिक सामान्य रिंगों पर बीजगणित तक विस्तारित Henri Cartan and Samuel Eilenberg (1956).

बीजगणित की होशचाइल्ड समरूपता की परिभाषा

मान लीजिए कि k एक फ़ील्ड है, A एक साहचर्य k-बीजगणित (रिंग सिद्धांत) है, और M एक A-बिमॉड्यूल है। A का आवरण बीजगणित टेंसर उत्पाद है $A^{e}=A\otimes A^{o}$ A का इसके विपरीत वलय के साथ। ए पर बिमॉड्यूल अनिवार्य रूप से ए के आवरण बीजगणित पर मॉड्यूल के समान हैं, इसलिए विशेष रूप से ए और एम को ए माना जा सकता है^ई-मॉड्यूल. Cartan & Eilenberg (1956) ने टोर काम करता है और एक्सट ऑपरेटर के संदर्भ में एम में गुणांक के साथ ए के होशचाइल्ड होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी समूह को परिभाषित किया

$HH_{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)$

$HH^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)$

होच्सचाइल्ड कॉम्प्लेक्स

मान लीजिए कि k एक वलय है, A एक साहचर्य k-बीजगणित (रिंग सिद्धांत) है जो एक प्रक्षेप्य k-मॉड्यूल है, और M एक A-बिमॉड्यूल है। हम लिखेंगे $A^{\otimes n}$ ए ओवर के के एन-फोल्ड टेंसर उत्पाद के लिए। होशचाइल्ड होमोलॉजी को जन्म देने वाली श्रृंखला कॉम्प्लेक्स द्वारा दी गई है

$C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}$

सीमा संचालक के साथ $d_{i}$ द्वारा परिभाषित

${\begin{aligned}d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}\\d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\\d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}\end{aligned}}$

कहाँ $a_{i}$ सभी के लिए ए में है $1\leq i\leq n$ और $m\in M$. अगर हम जाने देंगे

$b=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},$

तब $b\circ b=0$, इसलिए $(C_{n}(A,M),b)$ एक श्रृंखला परिसर है जिसे होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, और इसकी समरूपता एम में गुणांक के साथ ए की होशचाइल्ड समरूपता है।

टिप्पणी

मानचित्र $d_{i}$ मॉड्यूल के परिवार को बनाने वाले चेहरे के नक्शे हैं (गणित) $(C_{n}(A,M),b)$ एक फेस मैप#के-मॉड्यूल की श्रेणी (गणित) में सरल वस्तुएं, यानी, एक फ़ंक्टर Δ^o → k-mod, जहां Δ सिंप्लेक्स श्रेणी है और k-mod, k-मॉड्यूल की श्रेणी है। यहाँ Δ^oΔ का द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) है। अधःपतन मानचित्रों को परिभाषित किया गया है

$s_{i}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}\otimes 1\otimes a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}.$

होशचाइल्ड होमोलॉजी इस सरल मॉड्यूल की होमोलॉजी है।

बार कॉम्प्लेक्स के साथ संबंध

ऐसा ही एक दिखने वाला कॉम्प्लेक्स है $B(A/k)$ इसे बार कॉम्प्लेक्स कहा जाता है जो औपचारिक रूप से होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स के समान दिखता है^{पृष्ठ 4-5}. वास्तव में, होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स $HH(A/k)$ बार कॉम्प्लेक्स से बरामद किया जा सकता है

$$HH(A/k)\cong A\otimes _{A\otimes A^{op}}B(A/k)$$

एक स्पष्ट समरूपता दे रहा है।

एक व्युत्पन्न स्व-प्रतिच्छेदन के रूप में

कम्यूटेटिव रिंगों के मामले में होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स की एक और उपयोगी व्याख्या है, और अधिक सामान्यतः, कम्यूटेटिव रिंग्स के ढेरों के लिए: इसका निर्माण व्युत्पन्न योजना से किया गया है | एक योजना (गणित) (या यहां तक ​​कि व्युत्पन्न योजना) के व्युत्पन्न स्व-प्रतिच्छेदन से। $X$ कुछ आधार योजना पर $S$. उदाहरण के लिए, हम योजनाओं का व्युत्पन्न फाइबर उत्पाद बना सकते हैं

$$X\times _{S}^{\mathbf {L} }X$$

जिसमें व्युत्पन्न छल्लों का समूह है ${\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}$. फिर, यदि एम्बेड करें $X$ विकर्ण मानचित्र के साथ

$$\Delta :X\to X\times _{S}^{\mathbf {L} }X$$

होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स का निर्माण विकर्ण उत्पाद योजना में विकर्ण के व्युत्पन्न स्व-प्रतिच्छेदन के पुलबैक के रूप में किया गया है

$$HH(X/S):=\Delta ^{*}({\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X})$$

इस व्याख्या से, यह स्पष्ट होना चाहिए कि होशचाइल्ड होमोलॉजी का काहलर अंतर से कुछ संबंध होना चाहिए $\Omega _{X/S}$ चूंकि काहलर अंतर|काहलर अंतर को विकर्ण से स्व-प्रतिच्छेदन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, या अधिक सामान्यतः, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$ चूँकि यह काहलर अंतरों के लिए व्युत्पन्न प्रतिस्थापन है। हम क्रमविनिमेय के होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स की मूल परिभाषा को पुनः प्राप्त कर सकते हैं $k$-बीजगणित $A$ व्यवस्थित करके

$$S={\text{Spec}}(k)$$

और

$$X={\text{Spec}}(A)$$

फिर, होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स अर्ध-समरूपता|अर्ध-समरूपी है

$$HH(A/k)\simeq _{qiso}A\otimes _{A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A}^{\mathbf {L} }A$$

अगर $A$ एक फ्लैट है $k$-बीजगणित, फिर समरूपता की श्रृंखला है

$$A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A\cong A\otimes _{k}A\cong A\otimes _{k}A^{op}$$

होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स की एक वैकल्पिक लेकिन समकक्ष प्रस्तुति दे रहा हूँ।

फ़ंक्टरों की होशचाइल्ड समरूपता

सरल वृत्त $S^{1}$ श्रेणी में एक सरल वस्तु है $\operatorname {Fin} _{*}$ परिमित नुकीले सेटों का, यानी, एक फ़ैक्टर $\Delta ^{o}\to \operatorname {Fin} _{*}.$ इस प्रकार, यदि F एक फ़नकार है $F\colon \operatorname {Fin} \to k-\mathrm {mod}$, हमें F के साथ रचना करके एक सरल मॉड्यूल मिलता है $S^{1}$.

$\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}}.$

इस सरल मॉड्यूल की समरूपता फ़ंक्टर एफ की होशचाइल्ड समरूपता है। क्रमविनिमेय बीजगणित के होशचाइल्ड समरूपता की उपरोक्त परिभाषा एक विशेष मामला है जहां एफ लोडे फ़ैक्टर है।

लोडे फ़ैक्टर

परिमित नुकीले सेटों की श्रेणी के लिए एक कंकाल (श्रेणी सिद्धांत) वस्तुओं द्वारा दिया गया है

$n_{+}=\{0,1,\ldots ,n\},$

जहां 0 आधारबिंदु है, और रूपवाद (श्रेणी सिद्धांत) सेट मानचित्रों को संरक्षित करने वाला आधारबिंदु है। मान लीजिए A एक क्रमविनिमेय k-बीजगणित है और M एक सममित A-बिमॉड्यूल है. लोडे फ़नकार $L(A,M)$ में वस्तुओं पर दिया गया है $\operatorname {Fin} _{*}$ द्वारा

$n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.$

एक रूपवाद

$f:m_{+}\to n_{+}$

रूपवाद को भेजा जाता है $f_{*}$ द्वारा दिए गए

$f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{m})=b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{n}$

कहाँ

$\forall j\in \{0,\ldots ,n\}:\qquad b_{j}={\begin{cases}\prod _{i\in f^{-1}(j)}a_{i}&f^{-1}(j)\neq \emptyset \\1&f^{-1}(j)=\emptyset \end{cases}}$

बीजगणित की होशचाइल्ड समरूपता का एक और विवरण

एक सममित ए-बिमॉड्यूल एम में गुणांक के साथ एक क्रमविनिमेय बीजगणित ए की होशचाइल्ड समरूपता रचना से जुड़ी समरूपता है

$\Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}},$

और यह परिभाषा उपरोक्त से सहमत है।

उदाहरण

होशचाइल्ड होमोलॉजी गणनाओं के उदाहरणों को होमोलॉजी समूहों और होमोलॉजी रिंग की संरचना का वर्णन करने वाले काफी सामान्य प्रमेयों के साथ कई अलग-अलग मामलों में स्तरीकृत किया जा सकता है। $HH_{*}(A)$ एक साहचर्य बीजगणित के लिए $A$. क्रमविनिमेय बीजगणित के मामले में, विशेषता 0 पर गणनाओं का वर्णन करने वाले कई प्रमेय हैं जो होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी की गणना की सीधी समझ प्रदान करते हैं।

क्रमविनिमेय विशेषता 0 मामला

क्रमविनिमेय बीजगणित के मामले में $A/k$ कहाँ $\mathbb {Q} \subseteq k$होशचाइल्ड होमोलॉजी में चिकने बीजगणित और अधिक सामान्य गैर-सपाट बीजगणित से संबंधित दो मुख्य प्रमेय हैं $A$; लेकिन, दूसरा पहले का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है। चिकने मामले में, यानी चिकने बीजगणित के लिए $A$, होशचाइल्ड-कोस्टेंट-रोसेनबर्ग प्रमेय^{पृष्ठ 43-44} बताता है कि एक समरूपता है

$$\Omega _{A/k}^{n}\cong HH_{n}(A/k)$$

हरएक के लिए $n\geq 0$. इस समरूपता को एंटी-सिमेट्रिज़ेशन मानचित्र का उपयोग करके स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। यानी एक अंतर $n$-फॉर्म में नक्शा है

$$a\,db_{1}\wedge \cdots \wedge db_{n}\mapsto \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sign} (\sigma )a\otimes b_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma (n)}.$$

यदि बीजगणित $A/k$ चिकना या सपाट भी नहीं है, तो कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का उपयोग करते हुए एक अनुरूप प्रमेय है। एक सरल समाधान के लिए $P_{\bullet }\to A$, हमलोग तैयार हैं $\mathbb {L} _{A/k}^{i}=\Omega _{P_{\bullet }/k}^{i}\otimes _{P_{\bullet }}A$. फिर, वहाँ एक अवरोहण मौजूद है $\mathbb {N}$-छानने का काम $F_{\bullet }$ पर $HH_{n}(A/k)$ जिनके श्रेणीबद्ध टुकड़े समरूपी हैं

$${\frac {F_{i}}{F_{i+1}}}\cong \mathbb {L} _{A/k}^{i}[+i].$$

ध्यान दें कि यह प्रमेय न केवल सुचारु बीजगणित के लिए, बल्कि स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन बीजगणित के लिए भी होशचाइल्ड समरूपता की गणना करना सुलभ बनाता है। इस मामले में एक प्रेजेंटेशन दिया $A=R/I$ के लिए $R=k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स दो-टर्म कॉम्प्लेक्स है $I/I^{2}\to \Omega _{R/k}^{1}\otimes _{k}A$.

परिमेय पर बहुपद वलय

एक सरल उदाहरण बहुपद वलय की होशचाइल्ड समरूपता की गणना करना है $\mathbb {Q}$ साथ $n$-जनरेटर। एचकेआर प्रमेय समरूपता देता है

$$HH_{*}(\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}])=\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\otimes \Lambda (dx_{1},\dotsc ,dx_{n})$$

जहां बीजगणित $\bigwedge (dx_{1},\ldots ,dx_{n})$ मुक्त एंटीसिमेट्रिक बीजगणित खत्म हो गया है $\mathbb {Q}$ में $n$-जनरेटर। इसकी उत्पाद संरचना वैक्टर के वेज उत्पाद द्वारा दी गई है

$${\begin{aligned}dx_{i}\cdot dx_{j}&=-dx_{j}\cdot dx_{i}\\dx_{i}\cdot dx_{i}&=0\end{aligned}}$$

के लिए $i\neq j$.

क्रमविनिमेय विशेषता पी केस

विशिष्ट पी मामले में, होशचाइल्ड-कोस्टेंट-रोसेनबर्ग प्रमेय का एक उपयोगी प्रति-उदाहरण है जो होशचाइल्ड होमोलॉजी को परिभाषित करने के लिए सरल बीजगणित से परे एक सिद्धांत की आवश्यकता को स्पष्ट करता है। इसपर विचार करें $\mathbb {Z}$-बीजगणित $\mathbb {F} _{p}$. हम एक संकल्प की गणना कर सकते हैं $\mathbb {F} _{p}$ मुक्त अंतर श्रेणीबद्ध बीजगणित के रूप में

$$\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p} \mathbb {Z}$$

व्युत्पन्न प्रतिच्छेदन दे रहा है $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ कहाँ ${\text{deg}}(\varepsilon )=1$ और अंतर शून्य मानचित्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम उपरोक्त कॉम्प्लेक्स को केवल टेंसर करते हैं $\mathbb {F} _{p}$, डिग्री में जनरेटर के साथ एक औपचारिक परिसर दे रहा है $1$ कौन सा वर्ग है $0$. फिर, होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स द्वारा दिया गया है

$$\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}$$

इसकी गणना करने के लिए, हमें समाधान करना होगा $\mathbb {F} _{p}$ एक के रूप में $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$-बीजगणित. बीजगणित संरचना का निरीक्षण करें

$\mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})\to \mathbb {F} _{p}$ ताकतों $\varepsilon \mapsto 0$. यह संकुल का डिग्री शून्य पद देता है। फिर, क्योंकि हमें कर्नेल को हल करना है $\varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$, हम इसकी एक प्रति ले सकते हैं $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$ डिग्री में स्थानांतरित $2$ और इसे मैप करें $\varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$, डिग्री में कर्नेल के साथ $3$$\varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}={\text{Ker}}({\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\to {\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}).$हम विभाजित शक्ति बीजगणित के अंतर्निहित मॉड्यूल को प्राप्त करने के लिए इसे पुनरावर्ती रूप से निष्पादित कर सकते हैं

$$(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})\langle x\rangle ={\frac {(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})[x_{1},x_{2},\ldots ]}{x_{i}x_{j}={\binom {i+j}{i}}x_{i+j}}}$$

साथ $dx_{i}=\varepsilon \cdot x_{i-1}$ और की डिग्री $x_{i}$ है $2i$, अर्थात् $|x_{i}|=2i$. इस बीजगणित को टेन्सर करते हुए $\mathbb {F} _{p}$ ऊपर $\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}$ देता है

$$HH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle$$

तब से $\varepsilon$ किसी भी तत्व के साथ गुणा किया गया $\mathbb {F} _{p}$ शून्य है. बीजगणित संरचना विभाजित शक्ति बीजगणित और विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित पर सामान्य सिद्धांत से आती है। ध्यान दें कि इस गणना को रिंग के कारण एक तकनीकी कलाकृति के रूप में देखा जाता है $\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle$ अच्छा व्यवहार नहीं है. उदाहरण के लिए, $x^{p}=0$. इस समस्या का एक तकनीकी जवाब टोपोलॉजिकल होशचाइल्ड होमोलॉजी के माध्यम से है, जहां बेस रिंग होती है $\mathbb {Z}$ गोलाकार स्पेक्ट्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $\mathbb {S}$.

टोपोलॉजिकल होशचाइल्ड होमोलॉजी

Main article: Topological Hochschild homology

होशचाइल्ड कॉम्प्लेक्स के उपरोक्त निर्माण को अधिक सामान्य स्थितियों के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, अर्थात् (कॉम्प्लेक्स) की श्रेणी को प्रतिस्थापित करके।$k$-एक अनन्त श्रेणी द्वारा मॉड्यूल|∞-श्रेणी (एक टेंसर उत्पाद से सुसज्जित) ${\mathcal {C}}$, और$A$इस श्रेणी में साहचर्य बीजगणित द्वारा। इसे श्रेणी में लागू करना ${\mathcal {C}}={\textbf {Spectra}}$ स्पेक्ट्रम की (टोपोलॉजी), और $A$ एक साधारण रिंग से जुड़ा ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रम होना $R$ टोपोलॉजिकल होशचाइल्ड होमोलॉजी उत्पन्न करता है, जिसे दर्शाया गया है $THH(R)$. ऊपर प्रस्तुत (गैर-टोपोलॉजिकल) होशचाइल्ड होमोलॉजी को इन पंक्तियों के साथ पुनः व्याख्या की जा सकती है${\mathcal {C}}=D(\mathbb {Z} )$की व्युत्पन्न श्रेणी $\mathbb {Z}$-मॉड्यूल (∞-श्रेणी के रूप में)।

गोलाकार स्पेक्ट्रम पर टेंसर उत्पादों को टेंसर उत्पादों से प्रतिस्थापित करना $\mathbb {Z}$ (या ईलेनबर्ग-मैकलेन-स्पेक्ट्रम $H\mathbb {Z}$) एक प्राकृतिक तुलना मानचित्र की ओर ले जाता है $THH(R)\to HH(R)$. यह 0, 1, और 2 डिग्री में समरूप समूहों पर एक समरूपता उत्पन्न करता है। सामान्य तौर पर, हालांकि, वे भिन्न होते हैं, और$THH$एचएच की तुलना में सरल समूह उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए,

$THH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[x],$

$HH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle$

एक चर में विभाजित शक्तियों की अंगूठी की तुलना में, बहुपद अंगूठी (डिग्री 2 में x के साथ) है।

Lars Hesselholt (2016) ने दिखाया कि हास्से-वेइल ज़ेटा फ़ंक्शन एक सुचारू उचित किस्म का है $\mathbb {F} _{p}$ टोपोलॉजिकल होशचाइल्ड होमोलॉजी से जुड़े कार्यात्मक निर्धारक का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

• चक्रीय समरूपता

संदर्भ

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956), Homological algebra, Princeton Mathematical Series, vol. 19, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480
• Govorov, V.E.; Mikhalev, A.V. (2001) [1994], "Cohomology of algebras", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Hesselholt, Lars (2016), Topological Hochschild homology and the Hasse-Weil zeta function, Contemporary Mathematics, vol. 708, pp. 157–180, arXiv:1602.01980, doi:10.1090/conm/708/14264, ISBN 9781470429119, S2CID 119145574
• Hochschild, Gerhard (1945), "On the cohomology groups of an associative algebra", Annals of Mathematics, Second Series, 46 (1): 58–67, doi:10.2307/1969145, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969145, MR 0011076
• Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0
• Richard S. Pierce, Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
• Pirashvili, Teimuraz (2000). "Hodge decomposition for higher order Hochschild homology". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 33 (2): 151–179. doi:10.1016/S0012-9593(00)00107-5.

बाहरी संबंध

परिचयात्मक लेख

• डायलन जी.एल. एलेग्रेट्टी, नॉनकम्यूटेटिव स्पेस पर डिफरेंशियल फॉर्म। गैर-अनुवांशिक ज्यामिति का एक प्रारंभिक परिचय जो विभेदक रूपों को सामान्यीकृत करने के लिए होशचाइल्ड होमोलॉजी का उपयोग करता है)।
• Ginzburg, Victor (2005). "नॉनकम्यूटेटिव ज्योमेट्री पर व्याख्यान". arXiv:math/0506603.
• अंकगणित ज्यामिति में टोपोलॉजिकल होशचाइल्ड होमोलॉजी
• Hochschild cohomology at the nLab

क्रमविनिमेय मामला

• Antieau, Benjamin; Bhatt, Bhargav; Mathew, Akhil (2019). "विशेषता पी में होशचाइल्ड-कोस्टेंट-रोसेनबर्ग के प्रतिउदाहरण". arXiv:1909.11437 [math.AG].

नॉनकम्यूटेटिव केस

• Richard, Lionel (2004). "होशचाइल्ड होमोलॉजी और कुछ शास्त्रीय और क्वांटम गैर-अनुवांशिक बहुपद बीजगणित की सह-होमोलॉजी". Journal of Pure and Applied Algebra. 187 (1–3): 255–294. doi:10.1016/S0022-4049(03)00146-4.
• Quddus, Safdar (2020). "क्वांटम टोरस ऑर्बिफोल्ड्स पर गैर-कम्यूटेटिव पॉइसन संरचनाएं". arXiv:2006.00495 [math.KT].
• Yashinski, Allan (2012). "गॉस-मैनिन कनेक्शन और नॉनकम्यूटेटिव टोरी". arXiv:1210.4531 [math.KT].

श्रेणी:रिंग सिद्धांत श्रेणी:होमोलॉजिकल बीजगणित