संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, व्युत्क्रम गामा वितरण सकारात्मक वास्तविक रेखा पर निरंतर संभाव्यता वितरण का एक दो-पैरामीटर परिवार है, जो गामा वितरण के अनुसार वितरित एक चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण है।
शायद व्युत्क्रम गामा वितरण का मुख्य उपयोग बायेसियन सांख्यिकी में है, जहां वितरण एक सामान्य वितरण के अज्ञात विचरण के लिए सीमांत पश्च वितरण के रूप में उत्पन्न होता है, यदि एक गैर-सूचनात्मक पूर्व का उपयोग किया जाता है, और एक विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल संयुग्म पूर्व के रूप में, यदि एक सूचनात्मक है पूर्व आवश्यक है. कुछ बायेसियनों के बीच परिशुद्धता (सांख्यिकी) के संदर्भ में सामान्य वितरण के एक वैकल्पिक सांख्यिकीय पैरामीटर पर विचार करना आम बात है, जिसे विचरण के पारस्परिक के रूप में परिभाषित किया गया है, जो गामा वितरण को सीधे संयुग्मित पूर्व के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है। अन्य बायेसियन व्युत्क्रम गामा वितरण को स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण के रूप में अलग ढंग से पैरामीट्रिज करना पसंद करते हैं।
विशेषता संभावना घनत्व फ़ंक्शन व्युत्क्रम गामा वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को समर्थन (गणित) पर परिभाषित किया गया है x > 0 {\displaystyle x>0}
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) ( 1 / x ) α + 1 exp ( − β / x ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)} आकार पैरामीटर के साथ α {\displaystyle \alpha } स्केल पैरामीटर β {\displaystyle \beta } [1] Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है।
गामा वितरण के विपरीत, जिसमें कुछ हद तक समान घातांकीय शब्द शामिल है, β {\displaystyle \beta }
f ( x ; α , β ) = f ( x / β ; α , 1 ) β {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}
संचयी वितरण फलन संचयी वितरण फ़ंक्शन अपूर्ण गामा फ़ंक्शन#नियमित गामा फ़ंक्शन और पॉइसन यादृच्छिक चर है
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β x ) Γ ( α ) = Q ( α , β x ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!} जहां अंश ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन है और हर गामा फ़ंक्शन है। कई गणित पैकेज सीधे गणना की अनुमति देते हैं Q {\displaystyle Q}
क्षण उसे उपलब्ध कराया α > n {\displaystyle \alpha >n} n {\displaystyle n} [2] E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − 1 ) ⋯ ( α − n ) . {\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}
विशेषता कार्य K α ( ⋅ ) {\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )} बेसेल फ़ंक्शन है।
गुण के लिए α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0}
E [ ln ( X ) ] = ln ( β ) − ψ ( α ) {\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,} और
E [ X − 1 ] = α β , {\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,} सूचना एन्ट्रापी है
H ( X ) = E [ − ln ( p ( X ) ) ] = E [ − α ln ( β ) + ln ( Γ ( α ) ) + ( α + 1 ) ln ( X ) + β X ] = − α ln ( β ) + ln ( Γ ( α ) ) + ( α + 1 ) ln ( β ) − ( α + 1 ) ψ ( α ) + α = α + ln ( β Γ ( α ) ) − ( α + 1 ) ψ ( α ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}} कहाँ ψ ( α ) {\displaystyle \psi (\alpha )} डिगामा फ़ंक्शन है।
कुल्बैक-लीब्लर विचलन|कुल्बैक-लीब्लर विचलन व्युत्क्रम-गामा(α)p , बीp ) व्युत्क्रम-गामा(α) सेq , बीq p , बीp ) गामा(α) सेq , बीq ):
D K L ( α p , β p ; α q , β q ) = E [ log ρ ( X ) π ( X ) ] = E [ log ρ ( 1 / Y ) π ( 1 / Y ) ] = E [ log ρ G ( Y ) π G ( Y ) ] , {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],} ρ , π {\displaystyle \rho ,\pi } ρ G , π G {\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}} Y {\displaystyle Y} p , बीp ) वितरित।
D K L ( α p , β p ; α q , β q ) = ( α p − α q ) ψ ( α p ) − log Γ ( α p ) + log Γ ( α q ) + α q ( log β p − log β q ) + α p β q − β p β p . {\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}
संबंधित वितरण अगर X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )} k X ∼ Inv-Gamma ( α , k β ) {\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,} k > 0 {\displaystyle k>0}
अगर X ∼ Inv-Gamma ( α , 1 2 ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})} X ∼ Inv- χ 2 ( 2 α ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,} व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण )
अगर X ∼ Inv-Gamma ( α 2 , 1 2 ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})} X ∼ Scaled Inv- χ 2 ( α , 1 α ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,} स्केल्ड-उलटा-ची-वर्ग वितरण )
अगर X ∼ Inv-Gamma ( 1 2 , c 2 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})} X ∼ Levy ( 0 , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}
अगर X ∼ Inv-Gamma ( 1 , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)} 1 X ∼ Exp ( c ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,} घातांकी रूप से वितरण )
अगर X ∼ Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,} β {\displaystyle \beta } 1 X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}
ध्यान दें कि यदि X ∼ Gamma ( k , θ ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )} θ {\displaystyle \theta } 1 / X ∼ Inv-Gamma ( k , 1 / θ ) {\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )} पियर्सन वितरण का एक विशेष मामला है
व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर सामान्यीकरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण है।
स्वतंत्र उल्टे गामा चरों के योग के वितरण के लिए विटकोवस्की (2001) देखें गामा वितरण से व्युत्पत्ति होने देना X ∼ Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}
f X ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}} x > 0 {\displaystyle x>0} ध्यान दें कि β {\displaystyle \beta }
परिवर्तन को परिभाषित करें Y = g ( X ) = 1 X {\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}} Y {\displaystyle Y}
f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | d d y g − 1 ( y ) | = β α Γ ( α ) ( 1 y ) α − 1 exp ( − β y ) 1 y 2 = β α Γ ( α ) ( 1 y ) α + 1 exp ( − β y ) = β α Γ ( α ) ( y ) − α − 1 exp ( − β y ) {\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}} ध्यान दें कि β {\displaystyle \beta } β {\displaystyle \beta }
f β ( y / β ) β = 1 β β α Γ ( α ) ( y β ) − α − 1 exp ( − y ) = 1 Γ ( α ) ( y ) − α − 1 exp ( − y ) = f β = 1 ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{\beta }(y/\beta )}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&=f_{\beta =1}(y)\end{aligned}}}
घटना वीनर प्रक्रिया का प्रहार का समय वितरण लेवी वितरण का अनुसरण करता है, जो व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक विशेष मामला है α = 0.5 {\displaystyle \alpha =0.5} [3]
यह भी देखें गामा वितरण
व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण
सामान्य वितरण
पियर्सन वितरण संदर्भ Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
Witkovsky, V. (2001). "Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables". Kybernetika . 37 (1): 79–90. MR 1825758 . Zbl 1263.62022 .
Discrete
with finite with infinite
Continuous
supported on a supported on a supported with support
Mixed
Multivariate Directional Degenerate singular Families
