संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, व्युत्क्रम गामा वितरण सकारात्मक वास्तविक रेखा पर निरंतर संभाव्यता वितरण की एक दो-पैरामीटर श्रेणी होती है, जो गामा वितरण के अनुसार वितरित चर के गुणक व्युत्क्रम का वितरण होता है।
संभवतः व्युत्क्रम गामा वितरण का मुख्य उपयोग बायेसियन सांख्यिकी में है, जहां वितरण एक सामान्य वितरण के अज्ञात विचरण के लिए सीमांत पश्च वितरण के रूप में उत्पन्न होता है, यदि एक गैर-सूचनात्मक पूर्व का उपयोग किया जाता है, और एक विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल संयुग्म पूर्व के रूप में, यदि एक सूचनात्मक है पूर्व आवश्यक है कुछ बायेसियनों के बीच परिशुद्धता (सांख्यिकी) के संदर्भ में सामान्य वितरण के एक वैकल्पिक सांख्यिकीय पैरामीटर पर विचार करना आम बात है, जिसे विचरण के पारस्परिक के रूप में परिभाषित किया गया है, जो गामा वितरण को सीधे संयुग्मित पूर्व के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है। अन्य बायेसियन व्युत्क्रम गामा वितरण को स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण के रूप में अलग ढंग से पैरामीट्रिज करना पसंद करते हैं।
विशेषता संभावना घनत्व फलन व्युत्क्रम गामा वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन को समर्थन (गणित) पर परिभाषित किया गया है x > 0 {\displaystyle x>0}
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) ( 1 / x ) α + 1 exp ( − β / x ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)} आकार पैरामीटर के साथ α {\displaystyle \alpha } स्केल पैरामीटर β {\displaystyle \beta } [1] Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} गामा फलन को दर्शाता है।
गामा वितरण के विपरीत, जिसमें कुछ हद तक समान घातांकीय शब्द सम्मलित होता है, β {\displaystyle \beta }
f ( x ; α , β ) = f ( x / β ; α , 1 ) β {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}} संचयी वितरण फलन संचयी वितरण फलन नियमित गामा फलन होता है
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β x ) Γ ( α ) = Q ( α , β x ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!} जहां भिन्न के ऊपर का अंक अपूर्ण गामा फलन है और प्रत्येक गामा फलन है। कई गणित पैकेज सीधे गणना की अनुमति देते हैं Q {\displaystyle Q}
क्षण उसे उपलब्ध कराया α > n {\displaystyle \alpha >n} [2] E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − 1 ) ⋯ ( α − n ) . {\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}
विशेषता कार्य K α ( ⋅ ) {\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )} बेसेल फलन होता है।
गुण के लिए α > 0 {\displaystyle \alpha >0} β > 0 {\displaystyle \beta >0}
E [ ln ( X ) ] = ln ( β ) − ψ ( α ) {\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,} और
E [ X − 1 ] = α β , {\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,} सूचना एन्ट्रापी होती है
H ( X ) = E [ − ln ( p ( X ) ) ] = E [ − α ln ( β ) + ln ( Γ ( α ) ) + ( α + 1 ) ln ( X ) + β X ] = − α ln ( β ) + ln ( Γ ( α ) ) + ( α + 1 ) ln ( β ) − ( α + 1 ) ψ ( α ) + α = α + ln ( β Γ ( α ) ) − ( α + 1 ) ψ ( α ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}} जहाँ ψ ( α ) {\displaystyle \psi (\alpha )} डिगामा फलन है।
व्युत्क्रम-गामा (αp , βp ) से व्युत्क्रम-गामा (αq , βq αp , βp )से गामा (αq , βq ) के केएल-विचलन के समान है:
D K L ( α p , β p ; α q , β q ) = E [ log ρ ( X ) π ( X ) ] = E [ log ρ ( 1 / Y ) π ( 1 / Y ) ] = E [ log ρ G ( Y ) π G ( Y ) ] , {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}
जहाँ ρ , π {\displaystyle \rho ,\pi } ρ G , π G {\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}} Y {\displaystyle Y} αp , βp ) वितरित होता है।
D K L ( α p , β p ; α q , β q ) = ( α p − α q ) ψ ( α p ) − log Γ ( α p ) + log Γ ( α q ) + α q ( log β p − log β q ) + α p β q − β p β p . {\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}} संबंधित वितरण यदि X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )} k X ∼ Inv-Gamma ( α , k β ) {\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,} k > 0 {\displaystyle k>0}
यदि X ∼ Inv-Gamma ( α , 1 2 ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})} X ∼ Inv- χ 2 ( 2 α ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,} व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण )
यदि X ∼ Inv-Gamma ( α 2 , 1 2 ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})} X ∼ Scaled Inv- χ 2 ( α , 1 α ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,} स्केल्ड-उलटा-ची-वर्ग वितरण )
यदि X ∼ Inv-Gamma ( 1 2 , c 2 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})} X ∼ Levy ( 0 , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}
यदि X ∼ Inv-Gamma ( 1 , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)} 1 X ∼ Exp ( c ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,} घातांकी रूप से वितरण )
यदि X ∼ Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,} β {\displaystyle \beta } 1 X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}
ध्यान दें कि यदि X ∼ Gamma ( k , θ ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )} θ {\displaystyle \theta } 1 / X ∼ Inv-Gamma ( k , 1 / θ ) {\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )} पियर्सन वितरण का एक विशेष स्थिति होती है।
व्युत्क्रम-गामा वितरण का एक बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर सामान्यीकरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण है।
स्वतंत्र उल्टे गामा चरों के योग के वितरण के लिए विटकोवस्की (2001) देखें गामा वितरण से व्युत्पत्ति मान लेते है X ∼ Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}
f X ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}} x > 0 {\displaystyle x>0} ध्यान दें कि β {\displaystyle \beta }
परिवर्तन को परिभाषित करें Y = g ( X ) = 1 X {\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}} Y {\displaystyle Y}
f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | d d y g − 1 ( y ) | = β α Γ ( α ) ( 1 y ) α − 1 exp ( − β y ) 1 y 2 = β α Γ ( α ) ( 1 y ) α + 1 exp ( − β y ) = β α Γ ( α ) ( y ) − α − 1 exp ( − β y ) {\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}} ध्यान दें कि β {\displaystyle \beta } β {\displaystyle \beta }
f β ( y / β ) β = 1 β β α Γ ( α ) ( y β ) − α − 1 exp ( − y ) = 1 Γ ( α ) ( y ) − α − 1 exp ( − y ) = f β = 1 ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{\beta }(y/\beta )}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&=f_{\beta =1}(y)\end{aligned}}} घटना यह भी देखें गामा वितरण
व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण
सामान्य वितरण
पियर्सन वितरण संदर्भ Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
Witkovsky, V. (2001). "Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables". Kybernetika . 37 (1): 79–90. MR 1825758 . Zbl 1263.62022 .
Discrete
with finite with infinite
Continuous
supported on a supported on a supported with support
Mixed
Multivariate Directional Degenerate singular Families
