होमोटोपी

Not to be confused with homotopy.

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, गणित का एक क्षेत्र, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक होमोटोपी समूह उस स्थान के होमियोमोर्फिज्म|स्व-होमोमोर्फिज्म के समूह का एक होमोटोपी समूह है।

परिभाषा

होमोटॉपी समूह ऑपरेटर $\pi _{k}$ प्रत्येक पथ से जुड़े टोपोलॉजिकल स्पेस को असाइन करें $X$ समूह $\pi _{k}(X)$ सतत मानचित्रों के समरूप वर्ग $S^{k}\to X.$ किसी स्थान पर एक और निर्माण $X$ होमियोमोर्फिज्म समूह है|सभी स्व-होमियोमोर्फिज्म का समूह $X\to X$, निरूपित ${\rm {Homeo}}(X).$ यदि एरेन्स ऐसा कहते हैं ${\rm {Homeo}}(X)$ वास्तव में कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी के तहत एक टोपोलॉजिकल समूह होगा।

उपरोक्त धारणाओं के तहत, होमोटोपी समूह के लिए $X$ परिभाषित किया गया है:

$HME_{k}(X)=\pi _{k}({\rm {Homeo}}(X)).$

इस प्रकार $HME_{0}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))=MCG^{*}(X)$ के लिए वर्ग समूह का मानचित्रण है $X.$ दूसरे शब्दों में, मैपिंग क्लास समूह जुड़े हुए घटकों का समूह है ${\rm {Homeo}}(X)$ जैसा कि फ़ैक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $\pi _{0}.$

उदाहरण

डेन-नील्सन प्रमेय के अनुसार, यदि $X$ तब यह एक बंद सतह है $HME_{0}(X)={\rm {Out}}(\pi _{1}(X)),$ यानी, किसी स्थान के ऑटोमोर्फिज्म का शून्यवाँ होमोटॉपी समूह उसके मौलिक समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह के समान है।

संदर्भ

• McCarty, G.S. (1963). "Homeotopy groups" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 106 (2): 293–304. doi:10.1090/S0002-9947-1963-0145531-9. JSTOR 1993771.
• Arens, R. (1946). "Topologies for homeomorphism groups". American Journal of Mathematics. 68 (4): 593–610. doi:10.2307/2371787. JSTOR 2371787.