होमोटोपी

Not to be confused with होमोटॉपी.

बीजगणितीय सांस्थितिकी में गणित का एक क्षेत्र सांस्थितिक समष्टि का एक होमोटोपी समूह उस समष्टि के स्व-होमियोमोर्फिज्म के समूह का एक होमोटॉपी समूह है।

परिभाषा

होमोटोपी समूह गुणांक $\pi _{k}$ प्रत्येक समूह से संबद्ध सांस्थितिक समष्टि $X$ को निरंतर मानचित्र $S^{k}\to X$ के होमोटॉपी वर्गों के समूह $\pi _{k}(X)$ को निर्दिष्ट करता है। समष्टि $X$ पर अन्य निर्मित सभी स्व-होमियोमोर्फिज्म समूह $X\to X$ के समूह है, जिसे ${\rm {Homeo}}(X)$ द्वारा दर्शाया गया है यदि $X$ एक स्थानीय रूप से संक्षिप्त स्थानीय संबद्ध हॉसडॉर्फ समष्टि है तो आर.एरेन्स का एक मौलिक परिणाम कहता है कि वास्तव में संक्षिप्त विवृत सांस्थितिक के अंतर्गत ${\rm {Homeo}}(X)$ एक सांस्थितिक समूह है।

उपरोक्त धारणाओं के अंतर्गत $X$ के लिए होमोटोपी समूहों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$HME_{k}(X)=\pi _{k}({\rm {Homeo}}(X)).$

इस प्रकार $HME_{0}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))=MCG^{*}(X)$ के लिए मानचित्रण वर्ग समूह $X$ है। दूसरे शब्दों में मानचित्रण वर्ग समूह ${\rm {Homeo}}(X)$ से संबद्ध घटकों का समूह है, जैसा कि गुणांक $\pi _{0}$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

उदाहरण

डेन-नील्सन प्रमेय के अनुसार यदि $X$ एक सवृत सतह है तो $HME_{0}(X)={\rm {Out}}(\pi _{1}(X)),$ अर्थात, किसी समष्टि के स्वसमाकृतिकता का शून्यवाँ होमोटॉपी समूह उसके मौलिक समूह के बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह के समान होता है।

संदर्भ

• McCarty, G.S. (1963). "Homeotopy groups" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 106 (2): 293–304. doi:10.1090/S0002-9947-1963-0145531-9. JSTOR 1993771.
• Arens, R. (1946). "Topologies for homeomorphism groups". American Journal of Mathematics. 68 (4): 593–610. doi:10.2307/2371787. JSTOR 2371787.