बाहरी माप

माप सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक बाहरी माप या बाहरी माप एक फ़ंक्शन (गणित) है जो किसी दिए गए सेट (गणित) के सभी उपसमुच्चय पर परिभाषित होता है, जिसमें कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने वाली विस्तारित वास्तविक रेखा में मान होते हैं। मापने योग्य सेट और सिग्मा योगात्मक उपायों के सिद्धांत के लिए एक अमूर्त आधार प्रदान करने के लिए बाहरी उपायों के सिद्धांत को पहली बार कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी द्वारा पेश किया गया था। बाहरी मापों पर कैराथोडोरी के काम को माप-सैद्धांतिक सेट सिद्धांत में कई अनुप्रयोग मिले (उदाहरण के लिए बाहरी मापों का उपयोग मौलिक कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है), और एक आयाम-जैसे मीट्रिक अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने के लिए फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा एक आवश्यक तरीके से उपयोग किया गया था। (गणित) को अब हॉसडॉर्फ आयाम कहा जाता है। बाहरी माप आमतौर पर ज्यामितीय माप सिद्धांत के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं।

माप लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन का सामान्यीकरण हैं, लेकिन अंतराल की तुलना में बहुत अधिक अमूर्त और अनियमित सेटों के लिए उपयोगी होते हैं $\mathbb {R}$ या गेंदों में $\mathbb {R} ^{3}$. कोई सामान्यीकृत मापन फ़ंक्शन को परिभाषित करने की अपेक्षा कर सकता है $\varphi$ पर $\mathbb {R}$ जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:

1. वास्तविकता का कोई अंतराल $[a,b]$ माप है $b-a$
2. मापने का कार्य $\varphi$ के सभी उपसमूहों के लिए परिभाषित एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है $\mathbb {R}$.
3. अनुवाद अपरिवर्तनीयता: किसी भी सेट के लिए $A$ और कोई वास्तविक $x$, सेट $A$ और $A+x=\{a+x:a\in A\}$ एक ही माप है
4. गणनीय संयोजकता: किसी भी अनुक्रम के लिए $(A_{j})$ जोड़ीवार असंयुक्त सेट का $\mathbb {R}$

$\varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).$

यह पता चला है कि ये आवश्यकताएँ असंगत स्थितियाँ हैं; गैर-मापने योग्य सेट देखें। के सभी उपसमूहों पर एक बाहरी माप के निर्माण का उद्देश्य $X$ उपसमुच्चय का एक वर्ग (मापने योग्य कहा जाने वाला) इस प्रकार चुनना है ताकि गणनीय योगात्मकता गुण को संतुष्ट किया जा सके।

बाहरी उपाय

एक सेट दिया गया $X,$ होने देना $2^{X}$ के सत्ता स्थापित को निरूपित करें $X,$ खाली सेट सहित $\varnothing .$ पर एक बाहरी माप $X$ एक फ़ंक्शन सेट करें है

$$\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$$

ऐसा है कि

• null empty set: $\mu (\varnothing )=0$
• countably subadditive: मनमाने उपसमुच्चय के लिए $A,B_{1},B_{2},\ldots$ का $X,$
  $${\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$$

ध्यान दें कि इस परिभाषा में अनंत योग के बारे में कोई सूक्ष्मता नहीं है। चूँकि सभी सारांशों को गैर-ऋणात्मक माना जाता है, आंशिक योगों का क्रम केवल बिना किसी सीमा के बढ़ते हुए ही भिन्न हो सकता है। अतः परिभाषा में दिखाई देने वाला अनंत योग हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित तत्व होगा $[0,\infty ].$ यदि, इसके बजाय, किसी बाहरी माप को नकारात्मक मान लेने की अनुमति दी जाती है, तो गैर-अभिसरण अनंत रकम की संभावना को ध्यान में रखते हुए इसकी परिभाषा को संशोधित करना होगा।

एक वैकल्पिक और समकक्ष परिभाषा. कुछ पाठ्यपुस्तकें, जैसे हेल्मोस (1950), इसके बजाय एक बाहरी माप को परिभाषित करती हैं $X$ एक समारोह होना $\mu :2^{X}\to [0,\infty ]$ ऐसा है कि

• null empty set: $\mu (\varnothing )=0$
• monotone: अगर $A$ और $B$ के उपसमुच्चय हैं $X$ साथ $A\subseteq B,$ तब $\mu (A)\leq \mu (B)$
• मनमाने उपसमुच्चय के लिए $B_{1},B_{2},\ldots$ का $X,$
  $$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).$$

Proof of equivalence. Suppose that $\mu$ is an outer measure in sense originally given above. If $A$ and $B$ are subsets of $X$ with $A\subseteq B,$ then by appealing to the definition with $B_{1}=B$ and $B_{j}=\varnothing$ for all $j\geq 2,$ one finds that $\mu (A)\leq \mu (B).$ The third condition in the alternative definition is immediate from the trivial observation that $\cup _{j}B_{j}\subseteq \cup _{j}B_{j}.$

Suppose instead that $\mu$ is an outer measure in the alternative definition. Let $A,B_{1},B_{2},\ldots$ be arbitrary subsets of $X,$ and suppose that

$$A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}.$$

One then has

$$\mu (A)\leq \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}),$$

with the first inequality following from the second condition in the alternative definition, and the second inequality following from the third condition in the alternative definition. So $\mu$ is an outer measure in the sense of the original definition.

बाहरी माप के सापेक्ष सेट की मापनीयता

होने देना $X$ बाहरी माप के साथ एक सेट बनें $\mu .$ एक कहता है कि एक उपसमुच्चय $E$ का $X$ है$\mu$-मापने योग्य (कभी-कभी कैराथोडोरी-मापनीय सेट कहा जाता है|कैराथोडोरी-मापनीय के सापेक्ष $\mu ,$गणितज्ञ कैराथोडोरी के बाद) यदि और केवल यदि

$$\mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)$$

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A$ का $X.$ अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि ए $\mu$-मापने योग्य उपसमुच्चय वह है जिसका उपयोग बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में किया जा सकता है, जो किसी भी अन्य उपसमुच्चय को टुकड़ों में तोड़ देता है (अर्थात्, वह टुकड़ा जो मापने योग्य सेट के अंदर है और वह टुकड़ा जो मापने योग्य सेट के बाहर है)। माप सिद्धांत की प्रेरणा के संदर्भ में, कोई यह अपेक्षा करेगा कि क्षेत्र, उदाहरण के लिए, समतल पर एक बाहरी माप होना चाहिए। तब कोई उम्मीद कर सकता है कि अपेक्षित सिद्धांत का पालन करते हुए विमान के प्रत्येक उपसमूह को मापने योग्य माना जाएगा

$$\operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)$$

जब कभी भी $A$ और $B$ समतल के असंयुक्त उपसमुच्चय हैं। हालाँकि, सिद्धांत के औपचारिक तार्किक विकास से पता चलता है कि स्थिति अधिक जटिल है। पसंद के स्वयंसिद्ध का एक औपचारिक निहितार्थ यह है कि बाहरी माप के रूप में क्षेत्र की किसी भी परिभाषा के लिए जिसमें एक विशेष मामले के रूप में एक आयत के क्षेत्र के लिए मानक सूत्र शामिल है, विमान के उपसमुच्चय होने चाहिए जो मापने योग्य होने में विफल होते हैं। विशेष रूप से, उपरोक्त अपेक्षित सिद्धांत गलत है, बशर्ते कि कोई व्यक्ति पसंद के सिद्धांत को स्वीकार करे।

बाहरी माप से संबद्ध माप स्थान

की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना सरल है $\mu$-उसे देखने की मापनीयता

• अगर $A\subseteq X$ है $\mu$-मापने योग्य तो इसका पूरक (सेट सिद्धांत) $X\setminus A\subseteq X$ ई आल्सो $\mu$-मापने योग्य.

निम्नलिखित स्थिति को गणनीय सिग्मा योगात्मकता के रूप में जाना जाता है $\mu$ मापने योग्य उपसमुच्चय पर.

• अगर $A_{1},A_{2},\ldots$ हैं $\mu$-के मापने योग्य उपसमुच्चय $X$ और $A_{i}\cap A_{j}$ जब भी खाली होता है $i\neq j,$ तो किसी के पास है
  $$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).$$

Proof of countable additivity. One automatically has the conclusion in the form "$\,\leq \,$" from the definition of outer measure. So it is only necessary to prove the "$\,\geq \,$" inequality. One has

$$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}$$

for any positive number $N,$ due to the second condition in the "alternative definition" of outer measure given above. Suppose (inductively) that

$$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{N-1}\mu (A_{j})$$

Applying the above definition of $\mu$-measurability with $A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{N}$ and with $E=A_{N},$ one has

$${\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu (A_{N})+\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}\end{aligned}}$$

which closes the induction. Going back to the first line of the proof, one then has

$$\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu (A_{j})$$

for any positive integer $N.$ One can then send $N$ to infinity to get the required "$\,\geq \,$" inequality.

एक समान प्रमाण से पता चलता है कि:

• अगर $A_{1},A_{2},\ldots$ हैं $\mu$-के मापने योग्य उपसमुच्चय $X,$ फिर संघ $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$ और चौराहा $A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$ भी हैं $\mu$-मापने योग्य.

यहां दिए गए गुणों को निम्नलिखित शब्दावली द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है:

Given any outer measure $\mu$ on a set $X,$ the collection of all $\mu$-measurable subsets of $X$ is a σ-algebra. The restriction of $\mu$ to this $\sigma$-algebra is a measure.

इस प्रकार एक पर माप स्थान संरचना होती है $X,$ किसी बाहरी माप के विनिर्देशन से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होना $X.$ इस माप स्थान में पूर्ण माप की अतिरिक्त संपत्ति है, जो निम्नलिखित कथन में निहित है:

• प्रत्येक उपसमुच्चय $A\subseteq X$ ऐसा है कि $\mu (A)=0$ है $\mu$-मापने योग्य.

बाहरी माप की वैकल्पिक परिभाषा में दूसरी संपत्ति का उपयोग करके इसे साबित करना आसान है।

बाहरी माप का प्रतिबंध और आगे बढ़ना

होने देना $\mu$ सेट पर एक बाहरी उपाय बनें $X$.

पुशफॉरवर्ड

एक और सेट दिया गया $Y$ और एक नक्शा $f:X\to Y$ परिभाषित करना $f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]$ द्वारा

${\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.$

कोई भी इसकी परिभाषाओं से सीधे पुष्टि कर सकता है $f_{\sharp }\mu$ पर एक बाहरी माप है $Y$.

प्रतिबंध

होने देना B का एक उपसमुच्चय बनें X. परिभाषित करना μ_B : 2^X→[0,∞] द्वारा

$\mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).$

कोई भी सीधे परिभाषाओं से इसकी जांच कर सकता है μ_B एक और बाहरी माप है X.

पुशफॉरवर्ड या प्रतिबंध के सापेक्ष सेट की मापनीयता

यदि एक उपसमुच्चय A का X है μ-मापने योग्य, तो यह भी है μ_B-किसी भी उपसमुच्चय के लिए मापने योग्य B का X.

एक नक्शा दिया f : X→Y और एक उपसमुच्चय A का Y, अगर f ⁻¹(A) है μ-तब मापने योग्य A है f_# μ-मापने योग्य. आम तौर पर अधिक, f ⁻¹(A) है μ-मापने योग्य यदि और केवल यदि A है f_# (μ_B)-प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए मापने योग्य B का X.

नियमित बाहरी उपाय

नियमित बाहरी माप की परिभाषा

एक सेट दिया गया X, एक बाहरी माप μ पर X को नियमित कहा जाता है यदि किसी उपसमुच्चय का अनुमान 'बाहर से' लगाया जा सकता है μ-मापने योग्य सेट। औपचारिक रूप से, इसके लिए निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी एक की आवश्यकता होती है:

• किसी भी उपसमुच्चय के लिए A का X और कोई भी सकारात्मक संख्या ε, वहाँ एक मौजूद है μ-मापने योग्य उपसमुच्चय B का X जिसमें है A और साथ μ(B) < μ(A) + ε.
• किसी भी उपसमुच्चय के लिए A का X, वहाँ एक मौजूद है μ-मापने योग्य उपसमुच्चय B का X जिसमें है A और ऐसा कि μ(B) = μ(A).

यह स्वचालित है कि दूसरी स्थिति पहली का तात्पर्य करती है; पहला उपसमुच्चय के न्यूनतम अनुक्रम के प्रतिच्छेदन पर विचार करके दूसरे का तात्पर्य करता है।

किसी बाहरी माप से संबद्ध नियमित बाहरी माप

एक बाहरी माप दिया गया μ एक सेट पर X, परिभाषित करना ν : 2^X→[0,∞] द्वारा

$\nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.$

तब ν एक नियमित बाहरी माप है X जो समान माप निर्दिष्ट करता है μ सेवा में, सभी ग् μ-मापनयोग्य उपसमुच्चय X. प्रत्येक μ-मापने योग्य उपसमुच्चय भी है ν-मापने योग्य, और प्रत्येक ν-परिमित का मापने योग्य उपसमुच्चय ν-माप भी है μ-मापने योग्य.

तो माप क्षेत्र से संबंधित ν में संबंधित माप स्थान की तुलना में बड़ा σ-बीजगणित हो सकता है μ. के प्रतिबंध ν और μ छोटे σ-बीजगणित के समान हैं। बड़े σ-बीजगणित के तत्व जो छोटे σ-बीजगणित में शामिल नहीं हैं, अनंत हैं ν-माप और परिमित μ-उपाय।

इस नजरिए से, ν का विस्तार माना जा सकता है μ.

बाहरी माप और टोपोलॉजी

कल्पना करना (X, d) एक मीट्रिक स्थान है और φ एक बाहरी माप पर X. अगर φ के पास वह संपत्ति है

$\varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)$

जब कभी भी

$d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,$

तब φ को मीट्रिक बाहरी माप कहा जाता है।

प्रमेय. अगर φ एक मीट्रिक बाहरी माप है X, फिर प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय X है φ-मापने योग्य. (बोरेल बीजगणित) X सबसे छोटे के तत्व हैं σ-खुले सेटों द्वारा उत्पन्न बीजगणित।)

बाहरी मापों का निर्माण

See also: Valuation (measure theory)

किसी सेट पर बाहरी माप बनाने की कई प्रक्रियाएँ हैं। नीचे दिया गया क्लासिक मुनरो संदर्भ दो विशेष रूप से उपयोगी का वर्णन करता है जिन्हें विधि I और विधि II कहा जाता है।

विधि I

होने देना X एक सेट हो, C के उपसमुच्चय का एक परिवार X जिसमें खाली सेट है और p एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन C जो खाली सेट पर गायब हो जाता है।

प्रमेय. मान लीजिए परिवार C और फ़ंक्शन p उपरोक्तानुसार हैं और परिभाषित करते हैं

$\varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.$

अर्थात्, अनंत सभी अनुक्रमों पर फैला हुआ है {A_i} के तत्वों का C जो कवर करता है E, इस परंपरा के साथ कि यदि ऐसा कोई अनुक्रम मौजूद नहीं है तो अनंत अनंत है। तब φ एक बाहरी माप है X.

विधि II

दूसरी तकनीक मीट्रिक स्थानों पर बाहरी मापों के निर्माण के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि इससे मीट्रिक बाहरी माप प्राप्त होते हैं। कल्पना करना (X, d) एक मीट्रिक स्थान है. ऊपरोक्त अनुसार C के उपसमुच्चय का एक परिवार है X जिसमें खाली सेट है और p एक गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन C जो खाली सेट पर गायब हो जाता है। प्रत्येक के लिए δ > 0, होने देना

$C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}$

और

$\varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.$

ज़ाहिर तौर से, φ_δ ≥ φ_δ' कब δ ≤ δ' चूंकि इन्फ़िमम को एक छोटे वर्ग के रूप में लिया जाता है δ घट जाती है. इस प्रकार

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]$

मौजूद है (संभवतः अनंत)।

प्रमेय. φ₀ एक मीट्रिक बाहरी माप है X.

यह वह निर्माण है जिसका उपयोग मीट्रिक स्थान के लिए हॉसडॉर्फ़ माप की परिभाषा में किया जाता है।

यह भी देखें

• आंतरिक माप

संदर्भ

• Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2006). Infinite Dimensional Analysis (3rd ed.). Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 3-540-29586-0.
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• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1970). Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman transl. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61226-0.

बाहरी संबंध

• Outer measure at Encyclopedia of Mathematics
• Caratheodory measure at Encyclopedia of Mathematics