गणनीय विकल्प का सिद्धांत

सेटों के गणनीय क्रम में प्रत्येक सेट (एस_i)= एस₁, एस₂, एस₃, ... में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक ​​कि बेशुमार) तत्वों की संख्या शामिल है। गणनीय विकल्प का सिद्धांत हमें प्रत्येक सेट से मनमाने ढंग से तत्व का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे तत्वों का संगत अनुक्रम बनता है (x_i)=x₁, एक्स₂, एक्स₃, ...

गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध या गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध, AC को निरूपित करता है_ω, स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत का सिद्धांत है जो बताता है कि खाली सेट | गैर-रिक्त सेट (गणित) के प्रत्येक गणनीय संग्रह में विकल्प फ़ंक्शन होना चाहिए। अर्थात्, फ़ंक्शन N के डोमेन के साथ फ़ंक्शन (गणित) A दिया गया है (जहाँ N प्राकृतिक संख्याओं के सेट को दर्शाता है) जैसे कि A(n) गैर-रिक्त सेट है प्रत्येक n ∈N के लिए, डोमेन N के साथ फ़ंक्शन f मौजूद है जैसे कि f(n) ∈A(n) for प्रत्येक एन ∈ एन.

अवलोकन

गणनीय विकल्प का सिद्धांत (एसी_ω) निर्भर पसंद के सिद्धांत (डीसी) से सख्ती से कमजोर है, (Jech 1973) जो बदले में पसंद के सिद्धांत (एसी) से कमजोर है। पॉल कोहेन (गणितज्ञ) ने वह ए.सी. दिखाया_ω पसंद के सिद्धांत के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) में सिद्ध नहीं किया जा सकता है (Potter 2004). एसी_ω कोकिला मॉडल में है।

जेडएफ+एसी_ω यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि गणनीय अनेक गणनीय समुच्चयों का मिलन गणनीय है। यह सिद्ध करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है|डेडेकाइंड-अनंत (समतुल्य: गणनीय अनंत उपसमुच्चय है)।

एसी_ω गणितीय विश्लेषण के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम वास्तविक संख्याओं के सेट के गणनीय संग्रह के लिए विकल्प फ़ंक्शन पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए कि सेट S ⊆ 'R' का प्रत्येक संचय बिंदु x, S \ {x} के तत्वों के कुछ अनुक्रम की सीमा (गणित) है, किसी को गणनीय के स्वयंसिद्ध (एक कमजोर रूप) की आवश्यकता है पसंद। जब मनमाना मीट्रिक रिक्त स्थान के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किया जाता है, तो कथन एसी के बराबर हो जाता है_ω. AC के समतुल्य अन्य कथनों के लिए_ω, देखना Herrlich (1997) और Howard & Rubin (1998).

एक आम ग़लतफ़हमी यह है कि गणनीय विकल्प में गणितीय प्रेरण प्रकृति होती है और इसलिए इसे प्रेरण द्वारा प्रमेय (जेडएफ, या समान, या यहां तक ​​​​कि कमजोर प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। बहरहाल, मामला यह नहीं; यह ग़लतफ़हमी आकार n के परिमित सेट (मनमाना n के लिए) के लिए परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद वाला परिणाम है (जो कॉम्बिनेटरिक्स में प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। हालाँकि, गैर-रिक्त सेटों के कुछ अनगिनत अनंत सेटों को पसंद के सिद्धांत के किसी भी रूप के बिना ZF में विकल्प फ़ंक्शन साबित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वी_ω− {Ø} में विकल्प फ़ंक्शन है, जहां V_ω वंशानुगत रूप से परिमित सेट का सेट है, यानी गैर-परिमित रैंक के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में पहला सेट। चॉइस फ़ंक्शन (तुच्छ रूप से) सुव्यवस्थित क्रम में सबसे कम तत्व है। अन्य उदाहरण तर्कसंगत समापन बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और बंधे हुए खुले अंतरालों का सेट है।

उपयोग

एसी के अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में_ω, यहां प्रमाण है (जेडएफ+एसी से_ω) कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है:

मान लीजिए कि X अनंत है। प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, मान लीजिए A_n सभी 2 का समुच्चय होⁿ-X का तत्व उपसमुच्चय। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक A_n गैर-रिक्त है. एसी का पहला अनुप्रयोग_ω अनुक्रम उत्पन्न करता है (बी_n : n = 0,1,2,3,...) जहां प्रत्येक B_n 2 के साथ X का उपसमुच्चय हैⁿतत्व.

सेट बी_n आवश्यक रूप से असंयुक्त नहीं हैं, लेकिन हम परिभाषित कर सकते हैं

सी₀ = बी₀

सी_n = बी के बीच का अंतर_n और सभी सी का मिलन_j, जे < एन.

स्पष्ट रूप से प्रत्येक सेट सी_n कम से कम 1 और अधिकतम 2 हैⁿतत्व, और समुच्चय C_n जोड़ीवार असंयुक्त हैं. एसी का दूसरा अनुप्रयोग_ω अनुक्रम उत्पन्न करता है (सी_n: n = 0,1,2,...) c के साथ_n सी_n.

तो सभी सी_n भिन्न हैं, और X में गणनीय समुच्चय है। वह फ़ंक्शन जो प्रत्येक c को मैप करता है_n से सी_n+1 (और एक्स के अन्य सभी तत्वों को स्थिर छोड़ देता है) एक्स से एक्स तक 1-1 मानचित्र है जो चालू नहीं है, यह साबित करता है कि एक्स डेडेकाइंड-अनंत है।

संदर्भ

• Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland. pp. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8.
• Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.
• Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432.

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