नियमित माप

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक नियमित माप एक माप (गणित) है जिसके लिए प्रत्येक मापने योग्य सेट को ऊपर से खुले मापने योग्य सेटों द्वारा और नीचे से कॉम्पैक्ट मापने योग्य सेटों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

परिभाषा

मान लीजिए (X, T) एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और Σ को X पर एक सिग्मा बीजगणित|σ-बीजगणित होने देता है। मान लीजिए μ (X, Σ) पर एक माप है। X के मापने योग्य उपसमुच्चय A को 'आंतरिक नियमित' कहा जाता है यदि

$\mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compact and measurable}}\}$

और कहा गया है कि यदि बाहरी नियमित हो

$\mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ open and measurable}}\}$

• एक माप को आंतरिक नियमित माप कहा जाता है यदि प्रत्येक मापने योग्य सेट आंतरिक नियमित है। कुछ लेखक एक अलग परिभाषा का उपयोग करते हैं: एक माप को आंतरिक नियमित कहा जाता है यदि प्रत्येक खुला मापनीय सेट आंतरिक नियमित है।
• एक माप को बाहरी नियमित कहा जाता है यदि प्रत्येक मापने योग्य सेट बाहरी नियमित है।
• किसी माप को नियमित कहा जाता है यदि वह बाहरी नियमित और आंतरिक नियमित हो।

उदाहरण

नियमित उपाय

• वास्तविक रेखा पर लेब्सेग माप एक नियमित माप है: लेब्सेग माप के लिए नियमितता प्रमेय देखें।
• किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट σ-कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर कोई भी बेयर माप संभाव्यता माप एक नियमित माप है।
• अपनी टोपोलॉजी, या कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस, या रेडॉन स्पेस के लिए गणनीय आधार के साथ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर कोई भी बोरेल माप संभाव्यता माप नियमित है।

आंतरिक नियमित उपाय जो बाहरी नियमित नहीं हैं

• अपनी सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक रेखा पर माप का एक उदाहरण जो बाहरी नियमित नहीं है वह माप μ है जहां $\mu (\emptyset )=0$, $\mu \left(\{1\}\right)=0\,\,$, और $\mu (A)=\infty \,\,$ किसी अन्य सेट के लिए $A$.
• तल पर बोरेल माप जो किसी भी बोरेल सेट को उसके क्षैतिज खंडों के (1-आयामी) मापों का योग निर्दिष्ट करता है, आंतरिक नियमित है लेकिन बाहरी नियमित नहीं है, क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट में अनंत माप होता है। इस उदाहरण का एक रूप लेबेस्ग माप के साथ वास्तविक रेखा की अनगिनत प्रतियों का असंयुक्त संघ है।
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर बोरेल माप μ का एक उदाहरण जो आंतरिक नियमित, σ-परिमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है लेकिन बाहरी नियमित नहीं है, द्वारा दिया गया है Bourbaki (2004, Exercise 5 of section 1) निम्नलिखित नुसार। टोपोलॉजिकल स्पेस²) m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ। टोपोलॉजी इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n²) सभी खुले सेट हैं। बिंदु (0,y) के पड़ोस का आधार वेजेज द्वारा दिया जाता है जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु शामिल होते हैं |v − y| ≤|यू| ≤ 1/n एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए। यह स्पेस एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। माप μ को y-अक्ष का माप 0 मानकर और बिंदु (1/n,m/n) देकर दिया जाता है²) का माप 1/एन है³. यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, लेकिन बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी खुले सेट में अनंत माप होता है।

बाहरी नियमित उपाय जो आंतरिक नियमित नहीं हैं

• यदि पिछले उदाहरण में μ आंतरिक नियमित माप है, और M, M(S) = inf द्वारा दिया गया माप है_U⊇Sμ(यू) जहां बोरेल सेट एस वाले सभी खुले सेटों पर जानकारी ली जाती है, तो एम स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर एक बाहरी नियमित स्थानीय परिमित बोरेल माप है जो मजबूत अर्थों में आंतरिक नियमित नहीं है, हालांकि सभी खुले सेट हैं आंतरिक नियमित इसलिए यह कमजोर अर्थ में आंतरिक नियमित है। माप M और μ सभी खुले सेटों, सभी कॉम्पैक्ट सेटों और उन सभी सेटों पर मेल खाते हैं जिन पर M का माप सीमित है। Y-अक्ष में अनंत M-माप है, हालांकि इसके सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का माप 0 है।
• असतत टोपोलॉजी के साथ एक मापने योग्य कार्डिनल में बोरेल संभाव्यता माप होता है जैसे कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का माप 0 होता है, इसलिए यह माप बाहरी नियमित है लेकिन आंतरिक नियमित नहीं है। मापने योग्य कार्डिनल्स के अस्तित्व को ZF सेट सिद्धांत में साबित नहीं किया जा सकता है, लेकिन (2013 तक) इसे इसके अनुरूप माना जाता है।

ऐसे उपाय जो न तो आंतरिक और न ही बाहरी नियमित हैं

• सभी ऑर्डिनल्स का स्थान अधिकतम पहले बेशुमार ऑर्डिनल Ω के बराबर, खुले अंतरालों द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी के साथ, एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस है। वह माप जो गणनीय ऑर्डिनल्स के एक असंबद्ध बंद उपसमुच्चय वाले बोरेल सेटों को माप 1 प्रदान करता है और अन्य बोरेल सेटों को 0 प्रदान करता है, एक बोरेल संभाव्यता माप है जो न तो आंतरिक नियमित है और न ही बाहरी नियमित है।

यह भी देखें

• बोरेल नियमित माप
• रेडॉन माप
• लेबेस्ग्यू माप के लिए नियमितता प्रमेय

संदर्भ

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41129-1.
• Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR2169627 (See chapter 2)
• Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall.