परिमित माप

माप सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक परिमित माप या पूर्णतः परिमित माप एक विशेष माप (गणित) है जो सदैव सीमित मान लेता है। परिमित मापों में संभाव्यता माप हैं। अधिक सामान्य मापों की तुलना में परिमित मापों को संभालना अक्सर आसान होता है और वे जिस सेट (गणित) पर परिभाषित होते हैं, उसके आधार पर विभिन्न प्रकार के विभिन्न गुण दिखाते हैं।

परिभाषा

एक माप (गणित) $\mu$ मापने योग्य स्थान पर $(X,{\mathcal {A}})$ यदि यह संतुष्ट करता है तो इसे एक सीमित माप कहा जाता है

$\mu (X)<\infty .$

उपायों की एकरसता से, इसका तात्पर्य है

$\mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.$

यदि $\mu$ एक परिमित माप है, माप स्थान $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ इसे परिमित माप स्थान या पूर्णतः परिमित माप स्थान कहा जाता है।

गुण

सामान्य मामला

किसी भी मापने योग्य स्थान के लिए, परिमित माप कुल भिन्नता मानदंड के साथ हस्ताक्षरित उपायों के बानाच स्थान में एक उत्तल शंकु बनाते हैं। परिमित मापों के महत्वपूर्ण उपसमुच्चय उप-संभाव्यता माप हैं, जो एक उत्तल सेट बनाते हैं, और संभाव्यता माप, जो हस्ताक्षरित उपायों और परिमित उपायों के मानक स्थान में इकाई क्षेत्र का प्रतिच्छेदन हैं।

टोपोलॉजिकल स्पेस

यदि $X$ एक हॉसडॉर्फ़ स्थान है और ${\mathcal {A}}$ इसमें बोरेल सेट | बोरेल सम्मलित है $\sigma$-बीजगणित तो प्रत्येक परिमित माप एक स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप भी है।

मीट्रिक रिक्त स्थान

यदि $X$ एक मीट्रिक स्थान है और ${\mathcal {A}}$ फिर से बोरेल है $\sigma$-बीजगणित, उपायों के कमजोर अभिसरण को परिभाषित किया जा सकता है। संबंधित टोपोलॉजी को कमजोर टोपोलॉजी कहा जाता है और यह सभी बंधे हुए निरंतर कार्यों की प्रारंभिक टोपोलॉजी है $X$. कमजोर टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण में कमज़ोर* टोपोलॉजी से मेल खाती है। यदि $X$ वियोज्य स्थान भी है, कमजोर अभिसरण को लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मीट्रिक किया जाता है।

पोलिश रिक्त स्थान

यदि $X$ एक पोलिश स्थान है और ${\mathcal {A}}$ बोरेल है $\sigma$-बीजगणित, तो प्रत्येक परिमित माप एक नियमित माप है और इसलिए एक रेडॉन माप है। यदि $X$ पोलिश है, तो कमजोर टोपोलॉजी के साथ सभी परिमित उपायों का सेट भी पोलिश है।