परिमित माप

माप सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक परिमित माप या पूर्णतः परिमित माप एक विशेष माप (गणित) है जो सदैव सीमित मान लेता है। परिमित मापों में संभाव्यता माप हैं। अधिक सामान्य मापों की तुलना में परिमित मापों को संभालना प्रायः आसान होता है और वे जिस समुच्चय (गणित) पर परिभाषित होते हैं, उसके आधार पर विभिन्न प्रकार के विभिन्न गुण दिखाते हैं।

परिभाषा

एक माप (गणित) $\mu$ मापने योग्य समष्टि पर $(X,{\mathcal {A}})$ यदि यह संतुष्ट करता है तो इसे एक सीमित माप कहा जाता है

$\mu (X)<\infty .$

उपायों की एकरसता से, इसका तात्पर्य है

$\mu (A)<\infty {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}.$

यदि $\mu$ एक परिमित माप है, माप समष्टि $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ इसे परिमित माप समष्टि या पूर्णतः परिमित माप समष्टि कहा जाता है।

गुण

सामान्य मामला

किसी भी मापने योग्य समष्टि के लिए, परिमित माप कुल भिन्नता मानदंड के साथ हस्ताक्षरित उपायों के बानाच समष्टि में एक उत्तल शंकु बनाते हैं। परिमित मापों के महत्वपूर्ण उपसमुच्चय उप-संभाव्यता माप हैं, जो एक उत्तल समुच्चय बनाते हैं, और संभाव्यता माप, जो हस्ताक्षरित उपायों और परिमित उपायों के मानक समष्टि में इकाई क्षेत्र का प्रतिच्छेदन हैं।

टोपोलॉजिकल समष्टि

यदि $X$ एक हॉसडॉर्फ़ समष्टि है और ${\mathcal {A}}$ इसमें बोरेल सम्मलित है $\sigma$-बीजगणित तो प्रत्येक परिमित माप एक समष्टिीय रूप से परिमित माप बोरेल माप भी है।

मीट्रिक रिक्त समष्टि

यदि $X$ एक मीट्रिक समष्टि है और ${\mathcal {A}}$ फिर से बोरेल है $\sigma$-बीजगणित, उपायों के अशक्त अभिसरण को परिभाषित किया जा सकता है। संबंधित टोपोलॉजी को अशक्त टोपोलॉजी कहा जाता है और यह सभी बंधे हुए निरंतर कार्यों की प्रारंभिक टोपोलॉजी है $X$. अशक्त टोपोलॉजी कार्यात्मक विश्लेषण में अशक्त* टोपोलॉजी से मेल खाती है। यदि $X$ वियोज्य समष्टि भी है, अशक्त अभिसरण को लेवी-प्रोखोरोव मीट्रिक द्वारा मीट्रिक किया जाता है।

पोलिश रिक्त समष्टि

यदि $X$ एक पोलिश समष्टि है और ${\mathcal {A}}$ बोरेल है $\sigma$-बीजगणित, तो प्रत्येक परिमित माप एक नियमित माप है और इसलिए एक रेडॉन माप है। यदि $X$ पोलिश है, तो अशक्त टोपोलॉजी के साथ सभी परिमित उपायों का समुच्चय भी पोलिश है।