मोस्टो कठोरता सिद्धांत

गणित में, मोस्टो कठोरता सिद्धांत हमें अनिवार्य रूप से यह बताता है कि दो से अधिक आयामों के पूर्ण होने तथा साथ ही परिमित-आयतन वाले अतिशयोक्तिपूर्ण मान को अनेक गुना करके उसकी ज्यामिति संरचना के आधार पर मौलिक समूह द्वारा निर्धारित की जाती है और इसलिए यह अद्वितीय होती है। इस प्रमेय को विवृत मैनिफोल्ड्स के लिए सिद्ध किया गया था, और माॅस्टो (1968) द्वारा इस परिमित मात्रा को कई गुना तक बढ़ाया गया था, इसके आधार पर ही मार्डेन (1974) ने 3 आयामों में और प्रसाद (1973) के द्वारा सभी आयामों में कम से कम 3 आयामों को ग्रोमोव (1981) के ग्रोमोव मानदंड का उपयोग करके वैकल्पिक प्रमाण दिया गया था। बेसन, कौउर्टोस & गैलोट (1996) के लिए यह सबसे सरल उपलब्ध प्रमाण दिया गया था।

जबकि इस प्रमेय से पता चलता है कि परिमित मात्रा हाइपरबोलिक होने पर पूर्ण रूप से हाइपरबोलिक संरचनाओं का विरूपण स्थान $n$-कई गुना करने के लिए $n>2$ जीनस (गणित) की अतिशयोक्तिपूर्ण सतह के लिए $g>1$ बिंदु पर आधारित है, इस प्रकार आयामों का यह संरचनात्मक स्थान $6g-6$ है, जो निरंतर वक्रता की विभिन्नता के सभी आव्यूह को मानकीकृत करता है, जो टेइचमुलर सिद्धांत के लिए आवश्यक तथ्य है। इस प्रकार तीन आयामों में अनंत आयतन पर अतिशयोक्तिपूर्ण संरचनाओं के विरूपण स्थानों का समृद्ध सिद्धांत भी प्रतिपादित है।

प्रमेय

प्रमेय को ज्यामितीय सूत्रीकरण को परिमित-आयतन, पूर्ण मैनिफोल्ड से संबंधित और बीजगणितीय सूत्रीकरण के लिए ली समूहों में फिल्टर से संबंधित कर दिया जाता है।

ज्यामितीय रूप

इस प्रकार $\mathbb {H} ^{n}$ को $n$-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के लिए पूर्ण हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड को भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो $\mathbb {H} ^{n}$को स्वतंत्र रूप से कार्य करने वाले आइसोमेट्री के समूह द्वारा और समूह क्रिया के प्रकार के लिए यह इसे हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित करने के समान है। इस प्रकार अनुभागीय वक्रता -1 के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड जो कि रीमैनियन मैनिफोल्ड है, इसको मीट्रिक रिक्त स्थान के रूप में रीमैनियन मैनिफोल्ड के द्वारा निर्धारित किया जाता हैं। यह परिमित आयतन का होता है यदि आयतन रूप का अभिन्न अंग परिमित है, जैसे उदाहरण के लिए, यदि यह सघन है तो यही स्थिति है। इसके लिए मोस्टो कठोरता प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है:

$M$ और $N$ का मान काल्पनिक मानकर इस आयाम के पूर्ण परिमित-आयतन $n\geq 3$ के लिए अतिपरवलयिक मैनिफोल्ड द्वारा इसे निर्धारित करते हैं, यदि कोई समरूपता $f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)$ उपस्थित है, तब यह अद्वितीय आइसोमेट्री $M$ को $N$ से प्रेरित करता है।

यहाँ $\pi _{1}(X)$ मुख्य रूप से $X$ के लिए इसके अनेक गुना होने पर उस मूल का समूह है, इस प्रकार यदि $X$ के भागफल के रूप में प्राप्त अतिपरवलयिक मैनिफोल्ड $\mathbb {H} ^{n}$ समूह द्वारा $\Gamma$ पर प्रदिपादित करके $\pi _{1}(X)\cong \Gamma$ के लिए परिभाषित किया जाता है।

समतुल्य कथन यह है कि कोई भी समरूपता समतुल्य है, जो $M$ को $N$ अद्वितीय मान के लिए आइसोमेट्री के आधार पर समरूपित किया जा सकता है। इस प्रकार प्रमाणिकता के आधार पर वास्तव में यह दिखाता है कि यदि $N$ से अधिक बड़ा आयाम है, तो $M$ उनके बीच कोई समरूपता तुल्यता नहीं हो सकती हैं।

बीजगणितीय रूप

हाइपरबोलिक स्पेस की आइसोमेट्री का समूह $\mathbb {H} ^{n}$ लाई समूह से पहचाना जा सकता है, इस प्रकार $\mathrm {PO} (n,1)$ द्विघात रूप का प्रक्षेप्य ओर्थोगोनल समूह वास्तविक द्विघात रूप $(n,1)$ को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार यह पुनः निम्नलिखित कथन को इसके बराबर मानता है।

$n\geq 3$ और $\Gamma$ और $\Lambda$ में दो फिल्टर को असतत उपसमूह के रूप में प्रकट करते हैं, जहाँ पर $\mathrm {PO} (n,1)$ के द्वारा इसे व्यक्त करते हैं और मान लीजिए कि समूह समरूपता $f\colon \Gamma \to \Lambda$. है, तब $\Gamma$ और $\Lambda$ में $\mathrm {PO} (n,1)$ संयुग्मित हो जाता हैं, अर्थात यहाँ $g\in \mathrm {PO} (n,1)$ उपस्थित है, जिसका मान इस प्रकार हैं कि $\Lambda =g\Gamma g^{-1}$ के समान हैं।

अधिक व्यापकता में

मोस्टो कठोरता मुख्य रूप से अपने ज्यामितीय सूत्रीकरण में अधिक सामान्यतः के आधार पर सभी पूर्ण, परिमित आयतन, गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार यूक्लिडियन कारकों के बिना आयाम के स्थानीय रूप से सममित स्थान के कम से कम तीन के मौलिक समूहों के लिए रखती है, या इसके असत्य होने पर सभी अक्षांशों के लिए इसके बीजगणितीय सूत्रीकरण में समूह स्थानीय रूप $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ से समरूपी नहीं हैं।

अनुप्रयोग

मोस्टो कठोरता प्रमेय से यह पता चलता है कि परिमित-आयतन हाइपरबोलिक एन-मैनिफोल्ड एम (एन>2 के लिए) की आइसोमेट्री का समूह परिमित और आइसोमोर्फिक $\operatorname {Out} (\pi _{1}(M))$ है।

समतलीय ग्राफ के सर्कल पैकिंग प्रमेय की विशिष्टता को प्रमाणित करने के लिए थर्स्टन द्वारा मोस्टो कठोरता का भी उपयोग किया गया था।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में रुचि की मोस्टो कठोरता का परिणाम यह है कि हाइपरबोलिक समूह उपस्थित हैं जो अर्ध-आइसोमेट्री या अर्ध-आइसोमेट्रिक हैं, अपितु एक-दूसरे के अनुरूपता (समूह सिद्धांत) नहीं हैं।

यह भी देखें

• अतिकठोरता, उच्च-रैंक वाले स्थानों के लिए परिणाम
• स्थानीय कठोरता, विकृतियों के बारे में परिणाम जो आवश्यक रूप से फिल्टर नहीं हैं।

संदर्भ

• Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Minimal entropy and Mostow's rigidity theorems", Ergodic Theory and Dynamical Systems, 16 (4): 623–649, doi:10.1017/S0143385700009019
• Gromov, Michael (1981), "Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)", Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 (PDF), Lecture Notes in Math., vol. 842, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 40–53, doi:10.1007/BFb0089927, ISBN 978-3-540-10292-2, MR 0636516, archived from the original on 2016-01-10
• Marden, Albert (1974), "The geometry of finitely generated kleinian groups", Annals of Mathematics, Second Series, 99 (3): 383–462, doi:10.2307/1971059, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971059, MR 0349992, Zbl 0282.30014
• Mostow, G. D. (1968), "Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms", Publ. Math. IHES, 34: 53–104, doi:10.1007/bf02684590
• Mostow, G. D. (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces, Annals of mathematics studies, vol. 78, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08136-6, MR 0385004
• Prasad, Gopal (1973), "Strong rigidity of Q-rank 1 lattices", Inventiones Mathematicae, 21 (4): 255–286, doi:10.1007/BF01418789, ISSN 0020-9910, MR 0385005
• Spatzier, R. J. (1995), "Harmonic Analysis in Rigidity Theory", in Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, Cambridge University Press, pp. 153–205, ISBN 0-521-45999-0. (Provides a survey of a large variety of rigidity theorems, including those concerning Lie groups, algebraic groups and dynamics of flows. Includes 230 references.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes. (Gives two proofs: one similar to Mostow's original proof, and another based on the Gromov norm)