निष्पीडन प्रतिचित्रण

प्रतिरूप: निष्पीडन r=1.5.svg|thumb|right|आर = 3/2 निष्पीडन प्रतिचित्रण

रैखिक बीजगणित में, 'निष्पीडन प्रतिचित्रण', जिसे 'निष्पीडन परिवर्तन' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक प्रतिचित्र है जो कार्तीय तल में क्षेत्रों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, परन्तु घूर्णन (गणित) या अपरूपण प्रतिचित्रण नहीं है।

एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए, प्रतिचित्रण

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

पैरामीटर $a$ के साथ निष्पीडन प्रतिचित्रण है। चूँकि

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constant} \}

एक अतिपरवलय है, यदि $u = ax$ और $v = y / a$ , तो $uv = xy$ और निष्पीडन प्रतिचित्रण के प्रतिरूप के बिंदु उसी अतिपरवलय पर हैं जैसे $(x, y)$ है। इस कारण से निष्पीडन प्रतिचित्रण को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि 1914 में एमिल बोरेल ने वृत्तीय घूर्णन के अनुरूप किया था किया था,^[1] जो वृत्ताकार को संरक्षित करता है।

लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण

इस प्रकार से निष्पीडन प्रतिचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण तैयार करता है। अतिपरवलय से घिरे क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे $xy = 1)$ चतुर्भुज (गणित) में से है। अतः 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट और अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा द्वारा पाए गए हल के लिए प्राकृतिक लघुगणक फलन, नवीन अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि अतिपरवलयिक क्षेत्रों के माध्यम से आती है जिन्हें उनके क्षेत्र को संरक्षित करते हुए निष्पीडन प्रतिचित्रण द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल उस क्षेत्र से सम्बद्ध अतिपरवलयिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक क्षेत्र अवधारणा कोण से अत्यधिक स्वतंत्र है, परन्तु इसके साथ अपरिवर्तनीयता के गुण साझा करती है: जबकि वृत्तीय कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण निष्पीडन प्रतिचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। वृत्ताकार और अतिपरवलयिक दोनों कोण अपरिवर्तनीय माप उत्पन्न करते हैं परन्तु विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में। अतिपरवलयिक फलन, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वही भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ निभाते हैं।^[2]

समूह सिद्धांत

एक निष्पीडन प्रतिचित्रण बैंगनी अतिपरवलयिक अवखंड को उसी क्षेत्र के साथ दूसरे में ले जाती है।
यह नीले और हरे आयत को भी निष्पीडित करता है।

इस प्रकार से 1688 में, अमूर्त समूह सिद्धांत से बहुत पूर्व, निष्पीडन प्रतिचित्रण का वर्णन यूक्लिड स्पीडेल द्वारा दिन के संदर्भ में किया गया था: " एक वर्ग और सतह पर ओब्लांगों की एक अनंत कंपनी से, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, कैसे वक्र उत्पन्न होता है जो समकोण शंकु के भीतर अंकित किसी भी अतिपरवलय के समान गुण या स्नेह होंगे।"^[3]

यदि $r$ और $s$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, उनके निष्पीडन प्रतिचित्रण की फलन संरचना उनके गुणन के निष्पीडन प्रतिचित्रण है। इसलिए, निष्पीडन प्रतिचित्रण का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणक समूह के लिए एक-पैरामीटर समूह समरूपी बनाता है। अतः इस समूह का योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों पर विचार करने से उत्पन्न होता है।

इस प्रकार से उत्कृष्ट समूहों के दृष्टिकोण से, निष्पीडन प्रतिचित्रण का समूह $SO + (1,1)$ है, जो द्विघात रूप $u 2 - v 2$ को संरक्षित करते हुए 2×2 वास्तविक आव्यूह के अनिश्चित लांबिक समूह का तत्समक घटक है। यह आधार

x=u+v,\quad y=u-v\,,

के परिवर्तन के माध्यम से रूप $xy$ को संरक्षित करने के बराबर है, और अति परवलय को संरक्षित करने के लिए ज्यामितीय रूप से मेल खाता है। अतः अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में निष्पीडन प्रतिचित्रण के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह $SO(2)$ (निश्चित लांबिक समूह का सम्बद्ध घटक) की व्याख्या के अनुरूप है, जो द्विघात रूप $x 2 + y 2$ को वृत्ताकार घूर्णन के रूप में संरक्षित करता है।

इस प्रकार से ध्यान दें कि $SO +$ अंकन इस तथ्य से मेल खाता है कि प्रतिचित्र

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

की अनुमति नहीं है, यद्यपि वे रूप को सुरक्षित रखते हैं ( $x$ और $y$ के संदर्भ में ये $x \mapsto y, y \mapsto x$ और $x \mapsto - x, y \mapsto - y$ है) ; अतिपरवलयिक स्थिति में अतिरिक्त " $+$ " (वृत्तीय स्थिति की तुलना में) तत्समक घटक को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक है क्योंकि समूह $O(1,1)$ में $4$ सम्बद्ध हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं, जबकि समूह, $O(2)$ में $2$ घटक हैं: $SO(1,1)$ में $2$ घटक हैं, जबकि $SO(2)$ में मात्र 1 है। इस प्रकार से तथ्य यह है कि निष्पीडन संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास को बदल देता है जो उपसमूहों $SO \subset SL$ को सम्मिलित करने से मेल खाता है - इस स्थिति में $SO(1,1) \subset SL(2)$ - क्षेत्र और अभिविन्यास (एक आयतन रूप) को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक घूर्णनों के उपसमूह का है। मोबियस परिवर्तनों की भाषा में, निष्पीडन परिवर्तन अवयवों के SL2(R) वर्गीकरण में SL2(R) अतिपरवलयिक अवयव हैं।

अतः एक ज्यामितीय परिवर्तन को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि निष्पीडन प्रतिचित्रण अतिपरवलयिक क्षेत्रों जैसे रूपांतरित क्षेत्रों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है, इसलिए क्षेत्रों का कोण माप संरक्षित होता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में निष्पीडन प्रतिचित्रण अनुरूप हैं।

अनुप्रयोग

इस प्रकार से यहां कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।

सापेक्षिक दिक्काल

यूक्लिडियन ओर्थोगोनालिटी को बाएं आरेख में घूर्णन द्वारा संरक्षित किया जाता है; अतिपरवलय (b) के संबंध में अतिपरवलयिक रूढ़िवादिता को सत्य आरेख में निष्पीडन प्रतिचित्रण द्वारा संरक्षित किया जाता है

अतः दिक्काल ज्यामिति पारंपरिक रूप से इस प्रकार विकसित की गई है: दिक्काल में यहां और अभी के लिए (0,0) का चयन करें। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएं और दाएं चमकते प्रकाश दिक्काल में दो रेखाओं का अनुमार्गण करती है, ऐसी रेखाएं जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार से कम वेग के प्रक्षेप पथ मूल समयरेखा (0,t) के निकट अनुमार्गण करते हैं। ऐसे किसी भी वेग को लोरेंत्ज़ बूस्ट नामक निष्पीडन प्रतिचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि विभाजित-जटिल संख्या गुणन और विभाजित जटिल संख्या विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं के युग्मों से मेल खाती है। औपचारिक रूप से, निष्पीडन xy के रूप में व्यक्त अतिपरवलयिक मापन को संरक्षित करता है; जो अलग समन्वय प्रणाली में है। अतः सापेक्षता के सिद्धांत में इस अनुप्रयोग को 1912 में विल्सन और लुईस,^[4] वर्नर ग्रीब^[5] और लुई कॉफ़मैन द्वारा नोट किया गया था।^[6] इसके अतिरिक्त, लोरेंट्ज़ परिवर्तन के निष्पीडन प्रतिचित्रण रूप का उपयोग गुस्ताव हर्ग्लोत्ज़ (1909/10) द्वारा किया गया था।^[7] बोर्न जटिलता पर चर्चा करते समय, और सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में वोल्फगैंग रिंडलर द्वारा लोकप्रिय बनाया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग अपने विशिष्ट गुण के निष्पादन में किया था।^[8]

इस प्रकार से निष्पीडन परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में प्रकाशिकी में लोरेंत्ज़ समूह को जोन्स कैलकुलस से जोड़ने वाले लेख में किया गया था।^[9]

कोण प्रवाह

अतः द्रव गतिकी में असंपीड्य प्रवाह के मूलभूत गतियों में से में अचल दीवार के ऊपर प्रवाहित होने वाले प्रवाह का द्विभाजन सिद्धांत सम्मिलित होता है। अक्ष y = 0 द्वारा दीवार का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर प्रारंभिक द्रव अवस्था पर लागू पैरामीटर r के साथ निष्पीडन प्रतिचित्रण अक्ष x = 0 के बाएं और दाएं द्विभाजन के साथ प्रवाह उत्पन्न करता है। समय को पीछे की ओर चलाने पर यही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। वस्तुतः, किसी भी अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल निष्पीडित करने के अधीन अपरिवर्तनीय (गणित) होता है।

इस प्रकार से अतिपरवलयिक धारारेखा, वाले प्रवाह के लिए और दृष्टिकोण के लिए, Potential flow § Power laws with n = 2 देखें।

1989 में ओटिनो^[10] ने रैखिक समद्विबाहु द्वि-आयामी प्रवाह को

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

के रूप में वर्णित किया जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धारारेखाएँ वक्र

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant}

का अनुसरण करती हैं इसलिए ऋणात्मक K एक दीर्घवृत्त से और धनात्मक K अतिपरवलय से मेल खाता है, निष्पीडन प्रतिचित्रण की आयताकार स्थिति K = 1 के अनुरूप है।

स्टॉकर और होसोई^[11] ने कोण के प्रवाह के प्रति उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार किया गया है:

हम अतिपरवलयिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर कोण जैसी ज्यामिति को ध्यान में रखते हुए वैकल्पिक सूत्रीकरण का सुझाव देते हैं, जो पठारी सीमा और संलग्न तरल धागों में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक श्रेणी की अनुमति देता है। हम प्रवाह के क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और बाईं ओर और नीचे समरूपता तलों द्वारा सीमांकित किया गया है।

स्टॉकर और होसोई ने तब मोफ़ैट के विचार का स्मरण किया कि^[12] "जटिल सीमाओं के मध्य कोण में प्रवाह, जो बड़ी दूरी पर यादृच्छिक रूप से अशांति से प्रेरित होता है।" इस प्रकार से स्टॉकर और होसोई के अनुसार,

एक वर्गाकार कोण में मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफ़ैट का (प्रतिसममित) प्रवाह फलन ... [संकेत देता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वस्तुतः इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।

मीमांसात्मक सेतु

निष्पीडन प्रतिचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण संपत्ति का उपयोग मीमांसात्मक फलनों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय फलन की नींव स्थापित करने में इस प्रकार से किया जाता है:

परिभाषा: अवखंड(a,b) केंद्रीय किरणों से (a, 1/a, और (b, 1/b') प्राप्त अतिपरवलयिक अवखंड है ')।

लेम्मा: यदि bc = ad, तो निष्पीडन प्रतिचित्रण है जो अवखंड(a,b) को अवखंड(c,d) में ले जाती है।

प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (u,v) = (rx, y/r' ') (a, 1/a, से (c, 1/c,) और (b, 1/b) लेता है से (d, 1/d)।

प्रमेय (सेंट विंसेंट के ग्रेगरी 1647) यदि bc = ad, तो अनंतस्पर्शी के विरुद्ध अतिपरवलय xy = 1 के चतुर्भुज में a और के मध्य समान क्षेत्र हैं b की तुलना c, और d के मध्य से की जाती है।

प्रमाण: क्षेत्रफल के त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क 1⁄2, त्रिभुज {(0,0), (0,1), (1,1)} होने से पता चलता है कि अतिपरवलयिक अवखंड क्षेत्र अनंतस्पर्शी क्षेत्र के बराबर है। इसके बाद प्रमेय लेम्मा से अनुसरण करता है।

प्रमेय (अल्फोंस एंटोनियो डी सारासा 1649) जैसे-जैसे अनंतस्पर्शी के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र अंकगणितीय श्रेणी में बढ़ता है, अनंतस्पर्शी पर अनुमान ज्यामितीय अनुक्रम में बढ़ते हैं। इस प्रकार क्षेत्र अनंतस्पर्शी सूचकांक के लघुगणक बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (x, 1/x) तक चलता है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण के बराबर कब होता है? उत्तर मीमांसात्मक संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।

इस प्रकार से r = e के साथ निष्पीडन इकाई कोण को (e, 1/e) और (e, 1/e) के मध्य ले जाता है जो क्षेत्र के अवखंड को भी घटाता है। ज्यामितीय श्रेणी

e, e², e³, ..., eⁿ, ...

प्रत्येक क्षेत्र

1,2,3, ..., n,...

के योग के साथ प्राप्त अनंतस्पर्शी सूचकांक से मेल खाती है जो एक आद्य-विशिष्ट अंकगणितीय श्रेणी A + nd है जहां A = 0 और d = 1 है।

लाइ परिवर्तन

अतः स्थिर वक्रता वाली सतहों पर पियरे ओसियन बोनट (1867) की जांच के बाद, सोफस लाइ (1879) ने ज्ञात सतह से नवीन छद्मवृत्तीय सतह प्राप्त करने की विधि खोजा। ऐसी सतहें ज्या-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करती हैं:

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

जहाँ $(s,\sigma )$ दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और $\Theta$ उनके संबंधित कोण हैं। लाइ ने दिखाया कि यदि $\Theta =f(s,\sigma )$ ज्या-गॉर्डन समीकरण का हल है, तो निम्नलिखित निष्पीडन प्रतिचित्रण (जिसे अब लाई परिवर्तन के नाम से जाना जाता है^[13]) उस समीकरण के अन्य हलों को इंगित करता है:^[14]

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

इस प्रकार से लाइ(1883) ने छद्मवृत्तीय सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसके संबंध पर ध्यान दिया:^[15] बैक्लुंड परिवर्तन (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैक्लुंड द्वारा प्रस्तुत) को बियांची परिवर्तन (1879 में लुइगी बियानची द्वारा प्रस्तुत) के साथ लाई परिवर्तन के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। गैस्टन डार्बौक्स द्वारा (1894),^[16] लुइगी बियानची (1894),^[17] या लूथर फाहलर आइजनहार्ट (1909) द्वारा विभेदक ज्यामिति पर व्याख्यान में छद्मगोलाकार सतहों के ऐसे परिवर्तनों पर विस्तार से चर्चा की गई थी।^[18]

इस प्रकार से यह ज्ञात है कि लाई परिवर्तन (या निष्पीडन प्रतिचित्रण) प्रकाश-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में लोरेंत्ज़ बूस्ट के अनुरूप है, जैसा कि टर्नग और उहलेनबेक (2000) द्वारा बताया गया है:^[13]

सोफस लाइने देखा कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत एसजीई साइनस-गॉर्डन समीकरण अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, लोरेंत्ज़ परिवर्तन $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$ है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

जहां k बॉन्डी k-गणना में डॉपलर कारक से मेल खाता है, η तीव्रता है।

यह भी देखें

अनिश्चित लांबिक समूह
समआयतनिक प्रक्रिया

संदर्भ

↑ Émile Borel (1914) Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques, page 29, Gauthier-Villars, link from Cornell University Historical Math Monographs
↑ Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159
↑ Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms from Google Books
↑ Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401
↑ W. H. Greub (1967) Linear Algebra, Springer-Verlag. See pages 272 to 274
↑ Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36
↑ Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208
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↑ Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8
↑ J. M. Ottino (1989) The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport, page 29, Cambridge University Press
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↑ H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18
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Walter, Scott (1999). "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity" (PDF). In J. Gray (ed.). The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford University Press. pp. 91–127.(see page 9 of e-link)

[1] Émile Borel (1914) Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques, page 29, Gauthier-Villars, link from Cornell University Historical Math Monographs

[2] Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159

[3] Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms from Google Books

[4] Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401

[5] W. H. Greub (1967) Linear Algebra, Springer-Verlag. See pages 272 to 274

[6] Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36

[7] Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208

[8] Wolfgang Rindler, Essential Relativity, equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition

[9] Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8

[10] J. M. Ottino (1989) The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport, page 29, Cambridge University Press

[11] Roman Stocker & A.E. Hosoi (2004) "Corner flow in free liquid films", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88

[12] H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18

[terng-13] 13.0 ^13.1 Terng, C. L., & Uhlenbeck, K. (2000). "सॉलिटॉन की ज्यामिति" (PDF). Notices of the AMS. 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[14] Lie, S. (1881) [1879]. "Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind". Fortschritte der Mathematik. 11: 529–531. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 392–393.

[15] Lie, S. (1884) [1883]. "Untersuchungen über Differentialgleichungen IV". Christ. Forh.. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 556–560.

[16] Darboux, G. (1894). Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie. Paris: Gauthier-Villars. pp. 381–382.

[17] Bianchi, L. (1894). विभेदक ज्यामिति पाठ. Pisa: Enrico Spoerri. pp. 433–434.

[18] Eisenhart, L. P. (1909). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति पर एक ग्रंथ. Boston: Ginn and Company. pp. 289–290.

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