हर्मिटियन सहायक

गणित में, विशेष रूप से ऑपरेटर सिद्धांत में, प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर $A$ आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक हर्मिटियन एडजॉइंट (या एडजॉइंट) ऑपरेटर को परिभाषित करता है $A^{*}$ उस जगह पर नियम के अनुसार

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,$

कहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ सदिश समष्टि पर आंतरिक उत्पाद है।

निकटवर्ती को हर्मिटियन संयुग्म या केवल हर्मिटियन भी कहा जा सकता है चार्ल्स हर्मिट के बाद. इसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है A^†भौतिकी जैसे क्षेत्रों में, खासकर जब क्वांटम यांत्रिकी में ब्रा-केट नोटेशन के साथ संयोजन में उपयोग किया जाता है। परिमित आयामों में जहां ऑपरेटरों को मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है, हर्मिटियन एडजॉइंट संयुग्म स्थानांतरण (जिसे हर्मिटियन ट्रांसपोज़ के रूप में भी जाना जाता है) द्वारा दिया जाता है।

एडजॉइंट ऑपरेटर की उपरोक्त परिभाषा हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध संचालिका तक शब्दशः विस्तारित होती है $H$. परिभाषा को आगे बढ़ाया गया है ताकि असीमित सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर ऑपरेटरों को शामिल किया जा सके, जिनका डोमेन टोपोलॉजिकल रूप से सघन (टोपोलॉजी) है - लेकिन जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो - $H.$

अनौपचारिक परिभाषा

एक रेखीय मानचित्र पर विचार करें $A:H_{1}\to H_{2}$ हिल्बर्ट स्थानों के बीच. किसी भी विवरण का ध्यान रखे बिना, सहायक ऑपरेटर (ज्यादातर मामलों में विशिष्ट रूप से परिभाषित) रैखिक ऑपरेटर है $A^{*}:H_{2}\to H_{1}$ को पूरा करने

$\left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},$

कहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}$ हिल्बर्ट स्थान में आंतरिक उत्पाद स्थान#हिल्बर्ट स्थान है $H_{i}$, जो पहले निर्देशांक में रैखिक है और दूसरे निर्देशांक में प्रतिरेखीय है। उस विशेष मामले पर ध्यान दें जहां दोनों हिल्बर्ट स्थान समान हैं और $A$ उस हिल्बर्ट स्थान पर एक ऑपरेटर है।

जब कोई दोहरी जोड़ी के लिए आंतरिक उत्पाद का व्यापार करता है, तो वह एक ऑपरेटर के सहायक को परिभाषित कर सकता है, जिसे एक रैखिक मानचित्र का ट्रांसपोज़ भी कहा जाता है। $A:E\to F$, कहाँ $E,F$ संगत नॉर्म (गणित) के साथ बानाच रिक्त स्थान हैं $\|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}$. यहां (फिर से किसी तकनीकी पर विचार न करते हुए), इसके सहायक ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ साथ

$A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),$

अर्थात।, $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$ के लिए $f\in F^{*},u\in E$.

हिल्बर्ट स्पेस सेटिंग में उपरोक्त परिभाषा वास्तव में बानाच स्पेस केस का एक अनुप्रयोग है जब कोई हिल्बर्ट स्पेस को उसके दोहरे के साथ पहचानता है। तब यह स्वाभाविक ही है कि हम एक ऑपरेटर का एडजॉइंट भी प्राप्त कर सकते हैं $A:H\to E$, कहाँ $H$ एक हिल्बर्ट स्थान है और $E$ एक बानाच स्थान है। फिर दोहरे को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $A^{*}:E^{*}\to H$ साथ $A^{*}f=h_{f}$ ऐसा है कि

$\langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).$

बनच रिक्त स्थान के बीच असीमित ऑपरेटरों के लिए परिभाषा

होने देना $\left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)$ बनच स्थान बनें। कल्पना करना $A:D(A)\to F$ और $D(A)\subset E$, और मान लीजिये $A$ एक (संभवतः असंबद्ध) रैखिक ऑपरेटर है जो सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर है (यानी, $D(A)$ में सघन है $E$). फिर इसका सहायक संचालिका $A^{*}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। डोमेन है

$D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}$.

अब मनमाने ढंग से लेकिन तय के लिए $g\in D(A^{*})$ हमलोग तैयार हैं $f:D(A)\to \mathbb {R}$ साथ $f(u)=g(Au)$. की पसंद से $g$ और की परिभाषा $D(A^{*})$, f (समान रूप से) निरंतर है $D(A)$ जैसा $|f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}$. फिर हैन-बानाच प्रमेय द्वारा या वैकल्पिक रूप से निरंतरता द्वारा विस्तार के माध्यम से इसका विस्तार प्राप्त होता है $f$, बुलाया ${\hat {f}}$ सभी पर परिभाषित $E$. यह तकनीकीता बाद में प्राप्त करने के लिए आवश्यक है $A^{*}$ एक ऑपरेटर के रूप में $D\left(A^{*}\right)\to E^{*}$ के बजाय $D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.$ यह भी टिप्पणी करें कि इसका मतलब यह नहीं है $A$ सभी पर बढ़ाया जा सकता है $E$ लेकिन एक्सटेंशन केवल विशिष्ट तत्वों के लिए काम करता था $g\in D\left(A^{*}\right)$.

अब हम इसके जोड़ को परिभाषित कर सकते हैं $A$ जैसा

${\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}\end{aligned}}$

मौलिक परिभाषित पहचान इस प्रकार है

$g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)$ के लिए $u\in D(A).$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच परिबद्ध ऑपरेटरों के लिए परिभाषा

कल्पना करना Hआंतरिक उत्पाद के साथ एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर पर विचार करें A : H → H (रैखिक ऑपरेटरों के लिए, निरंतरता एक बंधे हुए ऑपरेटर होने के बराबर है)। फिर का जोड़ A सतत रैखिक संचालिका है A^∗ : H → H संतुष्टि देने वाला

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.$

इस ऑपरेटर का अस्तित्व और विशिष्टता रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय से अनुसरण करती है। इसे एक वर्ग मैट्रिक्स के सहायक मैट्रिक्स के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है जिसमें मानक जटिल आंतरिक उत्पाद से जुड़ी समान संपत्ति होती है।

गुण

बाउंडेड ऑपरेटर्स के हर्मिटियन एडजॉइंट के निम्नलिखित गुण तत्काल हैं:# इनवोलुशन (गणित): A^∗∗ = A

1. अगर A व्युत्क्रमणीय है, तो वैसा ही है A^∗, साथ ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
2. एंटीलीनियर मानचित्र|एंटीलीनियरिटी:
   • (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λA^∗, कहाँ λ सम्मिश्र संख्या के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है λ
3. वितरणात्मक संपत्ति#विरोधीवितरणत्व|वितरण-विरोधी : (AB)^∗ = B^∗A^∗

यदि हम ऑपरेटर मानदंड को परिभाषित करते हैं A द्वारा

$\|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}$

तब

$\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.$

इसके अतिरिक्त,

$\left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.$

एक का कहना है कि एक मानदंड जो इस स्थिति को संतुष्ट करता है वह सबसे बड़े मूल्य की तरह व्यवहार करता है, जो स्व-सहायक ऑपरेटरों के मामले से अलग है।

एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर बंधे हुए रैखिक ऑपरेटरों का सेट H एडजॉइंट ऑपरेशन और ऑपरेटर मानदंड के साथ मिलकर C*-बीजगणित का प्रोटोटाइप बनाते हैं।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच सघन रूप से परिभाषित असीमित ऑपरेटरों का जोड़

परिभाषा

आंतरिक उत्पाद चलो $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पहले तर्क में रैखिक रहें. सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर A एक जटिल हिल्बर्ट स्थान से H अपने आप में एक रैखिक संचालिका है जिसका डोमेन D(A) का एक सघन रैखिक उपस्थान है H और जिनके मूल्य निहित हैं H. परिभाषा के अनुसार, डोमेन D(A^∗) इसके जोड़ का A^∗ सबका समुच्चय है y ∈ H जिसके लिए एक है z ∈ H संतुष्टि देने वाला

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).$

के घनत्व के कारण $D(A)$ और रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय, $z$ विशिष्ट रूप से परिभाषित है, और, परिभाषा के अनुसार, $A^{*}y=z.$ गुण 1.-5. किसी फ़ंक्शन के डोमेन और कोडोमेन के बारे में उचित खंडों के साथ पकड़ें। उदाहरण के लिए, अंतिम संपत्ति अब यह बताती है (AB)^∗ का विस्तार है B^∗A^∗ अगर A, B और AB सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर हैं।

केर ए^*=(मैं ए)^⊥

हरएक के लिए $y\in \ker A^{*},$ रैखिक कार्यात्मक $x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ समान रूप से शून्य है, और इसलिए $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.$ इसके विपरीत, यह धारणा $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }$ कार्यात्मकता का कारण बनता है $x\mapsto \langle Ax,y\rangle$ समान रूप से शून्य होना। चूंकि कार्यात्मकता स्पष्ट रूप से परिबद्ध है, इसलिए इसकी परिभाषा $A^{*}$ यह आश्वासन देता है $y\in D(A^{*}).$ तथ्य यह है कि, हर किसी के लिए $x\in D(A),$ $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0$ पता चलता है कि $A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},$ मान लें कि $D(A)$ घना है.

यह संपत्ति यह दर्शाती है $\operatorname {ker} A^{*}$ तब भी एक स्थलाकृतिक रूप से बंद उपस्थान है $D(A^{*})$ क्या नहीं है।

ज्यामितीय व्याख्या

अगर $H_{1}$ और $H_{2}$ तो फिर, ये हिल्बर्ट स्थान हैं $H_{1}\oplus H_{2}$ आंतरिक उत्पाद के साथ एक हिल्बर्ट स्थान है

${\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},$

कहाँ $a,c\in H_{1}$ और $b,d\in H_{2}.$ होने देना $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$ सिंपलेक्टिक मैट्रिक्स बनें, यानी $J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).$ फिर ग्राफ

$G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H$

का $A^{*}$ का ओर्थोगोनल पूरक है $JG(A):$

$G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.$

अभिकथन समतुल्यता से अनुसरण करता है

${\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,$

और

${\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.$

परिणाम

ए^*बंद है

एक ऑपरेटर $A$ यदि ग्राफ़ बंद है $G(A)$ स्थलाकृतिक रूप से बंद है $H\oplus H.$ लेखाचित्र $G(A^{*})$ सहायक संचालिका का $A^{*}$ एक उपस्थान का ऑर्थोगोनल पूरक है, और इसलिए बंद है।

ए^* सघन रूप से परिभाषित है ⇔ A बंद करने योग्य है

एक ऑपरेटर $A$ टोपोलॉजिकल क्लोजर होने पर बंद किया जा सकता है $G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H$ ग्राफ का $G(A)$ किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ है. तब से $G^{\text{cl}}(A)$ एक (बंद) रैखिक उपस्थान है, शब्द फ़ंक्शन को रैखिक ऑपरेटर से बदला जा सकता है। इसी कारण से, $A$ बंद करने योग्य है यदि और केवल यदि $(0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)$ जब तक $v=0.$ जोड़ $A^{*}$ यदि और केवल यदि को सघन रूप से परिभाषित किया गया है $A$ बंद करने योग्य है. यह इस तथ्य से निकलता है कि, प्रत्येक के लिए $v\in H,$

$v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),$

जो, बदले में, समतुल्यताओं की निम्नलिखित श्रृंखला के माध्यम से सिद्ध होता है:

${\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}$

ए^** = ए^cl

समापन $A^{\text{cl}}$ एक ऑपरेटर का $A$ वह ऑपरेटर है जिसका ग्राफ़ है $G^{\text{cl}}(A)$ यदि यह ग्राफ़ किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ़ंक्शन शब्द को ऑपरेटर से बदला जा सकता है। आगे, $A^{**}=A^{\text{cl}},$ मतलब है कि $G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).$ इसे सिद्ध करने के लिए उसका अवलोकन करें $J^{*}=-J,$ अर्थात। $\langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},$ हरएक के लिए $x,y\in H\oplus H.$ वास्तव में,

${\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}$

विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए $y\in H\oplus H$ और प्रत्येक उपस्थान $V\subseteq H\oplus H,$ $y\in (JV)^{\perp }$ अगर और केवल अगर $Jy\in V^{\perp }.$ इस प्रकार, $J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }$ और $[J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.$ स्थानापन्न $V=G(A),$ प्राप्त $G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).$

ए^* = (ए^cl)^*

एक बंद करने योग्य ऑपरेटर के लिए $A,$ $A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},$ मतलब है कि $G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).$ वास्तव में,

$G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).$

काउंटरउदाहरण जहां सहायक को सघन रूप से परिभाषित नहीं किया गया है

होने देना $H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),$ कहाँ $l$ रैखिक माप है. एक मापने योग्य, परिबद्ध, गैर-समान रूप से शून्य फ़ंक्शन का चयन करें $f\notin L^{2},$ और चुनें $\varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.$ परिभाषित करना

$A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.$

यह इस प्रकार है कि $D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.$ उपस्थान $D(A)$ सभी शामिल हैं $L^{2}$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ कार्य करता है। तब से $\mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,$ $A$ सघन रूप से परिभाषित किया गया है। हरएक के लिए $\varphi \in D(A)$ और $\psi \in D(A^{*}),$

$\langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .$

इस प्रकार, $A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.$ सहायक संचालिका की परिभाषा के लिए इसकी आवश्यकता है $\mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.$ तब से $f\notin L^{2},$ यह तभी संभव है जब $\langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.$ इस कारण से, $D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.$ इस तरह, $A^{*}$ सघन रूप से परिभाषित नहीं है और समान रूप से शून्य है $D(A^{*}).$ नतीजतन, $A$ बंद करने योग्य नहीं है और इसका कोई दूसरा जोड़ नहीं है $A^{**}.$

हर्मिटियन ऑपरेटर

एक परिबद्ध संचालिका A : H → H को हर्मिटियन या स्व-सहायक संचालिका |सेल्फ-एडजॉइंट कहा जाता है

$A=A^{*}$

जो के बराबर है

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.$

कुछ अर्थों में, ये ऑपरेटर वास्तविक संख्याओं की भूमिका निभाते हैं (अपने स्वयं के जटिल संयुग्म के बराबर होते हैं) और एक वास्तविक सदिश स्थल बनाते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी में वास्तविक-मूल्यवान अवलोकन योग्य वस्तुओं के मॉडल के रूप में कार्य करते हैं। संपूर्ण उपचार के लिए स्व-सहायक ऑपरेटरों पर लेख देखें।

एंटीलीनियर ऑपरेटरों के जोड़

एक एंटीलिनियर मानचित्र के लिए जटिल संयुग्मन की भरपाई के लिए आसन्न की परिभाषा को समायोजित करने की आवश्यकता है। एंटीलीनियर ऑपरेटर का एक सहायक ऑपरेटर A एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर H एक एंटीलीनियर ऑपरेटर है A^∗ : H → H संपत्ति के साथ:

$\langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.$

अन्य जोड़

समीकरण

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle$

औपचारिक रूप से श्रेणी सिद्धांत में सहायक फ़ैक्टर के जोड़े के परिभाषित गुणों के समान है, और यहीं से सहायक संचालिका को अपना नाम मिला है।

यह भी देखें

• गणितीय अवधारणाएँ
  • हर्मिटियन ऑपरेटर
  • सामान्य (गणित)
  • ट्रांसपोज़#रैखिक मानचित्र का ट्रांसपोज़
  • संयुग्मी स्थानांतरण
• भौतिक अनुप्रयोग
  • ऑपरेटर (भौतिकी)
  • †-बीजगणित

संदर्भ

• Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (first ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.