टेलीग्राफ प्रक्रिया

संभाव्यता सिद्धांत में, टेलीग्राफ प्रक्रिया एक स्मृतिहीनता निरंतर-समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो दो अलग-अलग मान दिखाती है। यह फटने का शोर (जिसे पॉपकॉर्न शोर या रैंडम टेलीग्राफ सिग्नल भी कहा जाता है) को मॉडल करता है। यदि दो संभावित मान जो एक यादृच्छिक चर ले सकते हैं हैं$c_{1}$और$c_{2}$, तो प्रक्रिया को निम्नलिखित मास्टर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$\partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})$

और

$\partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0}).$

कहाँ $\lambda _{1}$ राज्य से जाने के लिए संक्रमण दर है $c_{1}$ कहना $c_{2}$ और $\lambda _{2}$ राज्य से जाने के लिए संक्रमण दर है $c_{2}$ कहना $c_{1}$. इस प्रक्रिया को Kac प्रक्रिया (गणितज्ञ मार्क Kac के नाम पर) के नाम से भी जाना जाता है। और द्विभाजित यादृच्छिक प्रक्रिया।

समाधान

मास्टर समीकरण को एक वेक्टर का परिचय देकर मैट्रिक्स रूप में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जाता है $\mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]$,

${\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P}$

कहाँ

$W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}$

संक्रमण दर मैट्रिक्स है. औपचारिक समाधान प्रारंभिक स्थिति से निर्मित होता है $\mathbf {P} (0)$ (जो इसे परिभाषित करता है $t=t_{0}$, राज्य है $x$) द्वारा

$\mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)$.

ऐसा दिखाया जा सकता है

$e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}$

कहाँ $I$ पहचान मैट्रिक्स है और $\lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2$ औसत संक्रमण दर है. जैसा $t\rightarrow \infty$, समाधान एक स्थिर वितरण तक पहुंचता है $\mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}$ द्वारा दिए गए

$\mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}$

गुण

प्रारंभिक अवस्था घातीय क्षय का ज्ञान। इसलिए, कुछ समय के लिए $t\gg (2\lambda )^{-1}$, प्रक्रिया निम्नलिखित स्थिर मानों तक पहुंच जाएगी, जिसे सबस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया गया है:

अर्थ:

$\langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.$

विचरण:

$\operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.$

कोई सहसंबंध फ़ंक्शन की गणना भी कर सकता है:

$\langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.$

आवेदन

इस यादृच्छिक प्रक्रिया को मॉडल निर्माण में व्यापक अनुप्रयोग मिलता है:

• भौतिकी में, स्पिन (भौतिकी) और प्रतिदीप्ति प्रतिदीप्ति आंतरायिकता द्विभाजित गुण दिखाते हैं। लेकिन विशेष रूप से एकल अणु प्रयोगों में उपरोक्त सभी सूत्रों में निहित घातीय वितरण के बजाय बीजगणितीय पूंछ वाले संभाव्यता वितरण का उपयोग किया जाता है।
• भंडार की कीमतों का वर्णन करने के लिए वित्त में* जीव विज्ञान में प्रतिलेखन कारक बाइंडिंग और अनबाइंडिंग का वर्णन करने के लिए।

यह भी देखें

• मार्कोव श्रृंखला
• स्टोकेस्टिक प्रक्रिया विषयों की सूची
• यादृच्छिक टेलीग्राफ संकेत