अशक्त तुल्यता (होमोटॉपी सिद्धांत)

गणित में, कमजोर तुल्यता समरूपता सिद्धांत की एक धारणा है जो कुछ अर्थों में उन वस्तुओं की पहचान करती है जिनका आकार समान होता है। इस धारणा को मॉडल श्रेणी की स्वयंसिद्ध परिभाषा में औपचारिक रूप दिया गया है।

एक मॉडल श्रेणी एक श्रेणी (गणित) है जिसमें आकारिकी के वर्ग होते हैं जिन्हें कमजोर समकक्ष, तंतु और सह-तंतु कहा जाता है, जो कई स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। एक मॉडल श्रेणी की संबद्ध होमोटॉपी श्रेणी में समान वस्तुएं होती हैं, लेकिन कमजोर समकक्षों को समाकृतिकता में बनाने के लिए रूपवाद को बदल दिया जाता है। यह एक उपयोगी अवलोकन है कि संबंधित होमोटोपी श्रेणी केवल कमजोर समकक्षों पर निर्भर करती है, कंपन और सह-फ़िब्रेशन पर नहीं।

टोपोलॉजिकल स्पेस

मॉडल श्रेणियों को डेनियल क्विलेन द्वारा होमोटॉपी सिद्धांत के स्वयंसिद्धीकरण के रूप में परिभाषित किया गया था जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर लागू होता है, लेकिन अमूर्त बीजगणित और ज्यामिति में कई अन्य श्रेणियों पर भी लागू होता है। उदाहरण जिसने विषय को शुरू किया वह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है जिसमें फाइबर ग्रीनहाउस को फाइब्रेशन के रूप में और कमजोर होमोटॉपी समकक्ष को कमजोर समकक्ष के रूप में शामिल किया गया है (इस मॉडल संरचना के लिए कोफाइब्रेशन को सापेक्ष सेल कॉम्प्लेक्स एक्स के रिट्रेक्ट (टोपोलॉजी) के रूप में वर्णित किया जा सकता है) ⊆ वाई). परिभाषा के अनुसार, यदि पथ घटकों के सेट पर प्रेरित फ़ंक्शन होता है, तो रिक्त स्थान की निरंतर मैपिंग f: X → Y को कमजोर होमोटॉपी तुल्यता कहा जाता है

$f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

विशेषण है, और X में प्रत्येक बिंदु x और प्रत्येक n ≥ 1 के लिए, प्रेरित समूह समरूपता

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x))$

समरूप समूहों पर विशेषण है। (एक्स और वाई पथ से जुड़ा हुआ के लिए, पहली शर्त स्वचालित है, और यह एक्स में एकल बिंदु एक्स के लिए दूसरी शर्त बताने के लिए पर्याप्त है।)

सरल रूप से जुड़े हुए टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y के लिए, एक मानचित्र f:_*: एच_n(एक्स,'जेड') → एच_n(Y,'Z') एकवचन समरूपता समूहों पर सभी n के लिए विशेषण है। इसी तरह, बस जुड़े हुए स्थानों X और Y के लिए, एक नक्शा f:ⁿ(Y,'Z') → Hⁿ(X,'Z') एकवचन सहविज्ञान पर सभी n के लिए विशेषण है। उदाहरण: मान लीजिए कि वास्तविक रेखा से उप-स्थान टोपोलॉजी। सकारात्मक पूर्णांक n के लिए 0 से 0 और n से 1/n को मैप करके f: X → Y को परिभाषित करें। तब f सतत है, और वास्तव में एक कमजोर समरूप समतुल्य है, लेकिन यह एक समरूप समतुल्य नहीं है।

टोपोलॉजिकल स्पेस की होमोटॉपी श्रेणी (कमजोर समरूप वर्गों को उल्टा करके प्राप्त की गई) टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी को बहुत सरल बनाती है। दरअसल, यह होमोटॉपी श्रेणी सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स की श्रेणी की श्रेणियों के समतुल्य है, जिसमें आकारिकी निरंतर मानचित्रों के होमोटॉपी वर्ग हैं।

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी पर कई अन्य मॉडल संरचनाओं पर भी विचार किया गया है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर स्ट्रोम मॉडल संरचना में, फ़ाइब्रेशन ह्यूरविक्ज़ फ़िब्रेशन हैं और कमज़ोर समकक्ष होमोटॉपी समकक्ष हैं।

श्रृंखला परिसर

कुछ अन्य महत्वपूर्ण मॉडल श्रेणियों में श्रृंखला परिसर शामिल हैं। मान लीजिए A एक ग्रोथेंडिक श्रेणी है, उदाहरण के लिए एक रिंग (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी या टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों के शीफ (गणित) की श्रेणी। ए में वस्तुओं श्रृंखला जटिल एक्स वाली वस्तुओं के साथ एक श्रेणी सी (ए) को परिभाषित करें,

$\cdots \to X_{1}\to X_{0}\to X_{-1}\to \cdots ,$

और शृंखला मानचित्रों को आकार देता है। (यह ए की वस्तुओं के कोचेन कॉम्प्लेक्स पर विचार करने के बराबर है, जहां नंबरिंग को इस प्रकार लिखा जाता है

$\cdots \to X^{-1}\to X^{0}\to X^{1}\to \cdots ,$

बस एक्स को परिभाषित करके^मैं = एक्स_−i.)

श्रेणी सी(ए) में एक मॉडल संरचना होती है जिसमें सह-फाइब्रेशन एकरूपता होते हैं और कमजोर समकक्ष अर्ध-समरूपता' होते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक श्रृंखला मानचित्र f: X → Y एक अर्ध-समरूपता है यदि प्रेरित समरूपता

$f_{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$

समरूपता (गणित) पर सभी पूर्णांक n के लिए एक समरूपता है। (यहां एच_n(एक्स) ए की वस्तु है जिसे एक्स के कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया गया है_n → एक्स_n−1 X की छवि (गणित) मॉड्यूलो_n+1 → एक्स_n.) परिणामी समरूप श्रेणी को व्युत्पन्न श्रेणी डी(ए) कहा जाता है।

तुच्छ तंतु और तुच्छ सहतंतु

किसी भी मॉडल श्रेणी में, एक फ़ाइब्रेशन जो एक कमजोर तुल्यता भी है, को ट्रिवियल (या एसाइक्लिक) फ़ाइब्रेशन कहा जाता है। एक सह-फाइब्रेशन जो कि एक कमजोर तुल्यता भी है, को ट्रिवियल (या एसाइक्लिक) को-फाइब्रेशन कहा जाता है।

संदर्भ

• Beke, Tibor (2000), "Sheafifiable homotopy model categories", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 129: 447–473, arXiv:math/0102087, Bibcode:2000MPCPS.129..447B, doi:10.1017/S0305004100004722, MR 1780498
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
• Hovey, Mark (1999), Model Categories (PDF), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1359-5, MR 1650134
• Strøm, Arne (1972), "The homotopy category is a homotopy category", Archiv der Mathematik, 23: 435–441, doi:10.1007/BF01304912, MR 0321082