वियोज्य विस्तार

क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, बीजगणित की शाखा, एक बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार $E/F$ यदि प्रत्येक के लिए इसे पृथक्करणीय विस्तार कहा जाता है $\alpha \in E$, का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)। $\alpha$ ऊपर F एक [[वियोज्य बहुपद]] है (अर्थात, इसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य बहुपद नहीं है, या समकक्ष रूप से किसी भी विस्तार क्षेत्र में इसकी कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं)। एक अत्यधिक सामान्य परिभाषा भी है जो कब क्रियान्वित होती है E आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं है F. जो विस्तार अलग नहीं किया जा सकता, उसे अविभाज्य कहा जाता है।

विशेषता (बीजगणित) वाले क्षेत्र (गणित) का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार क्षेत्र शून्य का मामला वियोज्य है, और एक परिमित क्षेत्र का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि गणित में विचार किए जाने वाले अधिकांश विस्तार वियोज्य हैं। फिर भी, पृथक्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है, क्योंकि अविभाज्य विस्तारों का अस्तित्व विशेषता शून्य में सिद्ध कई प्रमेयों को गैर-शून्य विशेषता तक विस्तारित करने में मुख्य बाधा है। उदाहरण के लिए, गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय सामान्य विस्तार के बारे में एक प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता में तभी सत्य रहता है जब विस्तार को भी अलग करने योग्य माना जाता है।

विपरीत अवधारणा, विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार, स्वाभाविक रूप से भी होती है, क्योंकि प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार को अलग करने योग्य विस्तार के विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है। एक बीजगणितीय विस्तार $E/F$ गैर-शून्य विशेषताओं वाले क्षेत्रों का p विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $\alpha \in E\setminus F$, का न्यूनतम बहुपद $\alpha$ ऊपर F प्रत्येक तत्व के लिए एक पृथक्करणीय बहुपद या समकक्ष नहीं है x का E, एक धनात्मक पूर्णांक है k ऐसा है कि $x^{p^{k}}\in F$.

(विशुद्ध रूप से) अविभाज्य विस्तार का सबसे सरल उदाहरण है $E=\mathbb {F} _{p}(x)\supset F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})$, परिमित क्षेत्र में गुणांक के साथ अनिश्चित x में तर्कसंगत कार्य के क्षेत्र $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$. तत्व $x\in E$ न्यूनतम बहुपद है $f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]$, रखना $f'\!(X)=0$ और पी-फोल्ड मल्टीपल रूट, जैसे $f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]$. यह घात p का सरल बीजगणितीय विस्तार है $E=F[x]$, लेकिन गैलोज़ समूह के बाद से यह सामान्य विस्तार नहीं है ${\text{Gal}}(E/F)$ तुच्छ समूह है.

अनौपचारिक चर्चा

एक मनमाना बहुपद f किसी क्षेत्र में गुणांक के साथ F कहा जाता है कि इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं यदि ऐसा है तो यह वर्ग-मुक्त बहुपद|वर्ग-मुक्त है deg f कुछ विस्तार क्षेत्र में जड़ें $E\supseteq F$. उदाहरण के लिए, बहुपद g(X) = X² − 1 बिल्कुल है deg g = 2 जटिल तल में जड़ें; अर्थात् 1 और −1, और इसलिए इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं। दूसरी ओर, बहुपद h(X) = (X − 2)², जो अचर बहुपद का वर्ग है, उसके अलग-अलग मूल नहीं होते, क्योंकि इसकी घात दो होती है, और 2 ही इसका मूल होता है |

प्रत्येक बहुपद को उसके गुणांकों के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन पर रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, बहुपद के अलग-अलग मूल नहीं होते हैं यदि यह धनात्मक डिग्री वाले बहुपद के वर्ग से विभाज्य हो सकता है। यह मामला तभी है जब बहुपद और उसके औपचारिक व्युत्पन्न का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक स्थिरांक नहीं है। इस प्रकार यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई बहुपद वर्ग-मुक्त है, स्पष्ट रूप से किसी क्षेत्र विस्तार पर विचार करना आवश्यक नहीं है और न ही जड़ों की गणना करना आवश्यक है।

इस संदर्भ में, अघुलनशील बहुपद के मामले में कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है। एक प्राथमिकता, ऐसा लग सकता है कि अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए वर्ग द्वारा विभाज्य होना असंभव है, जिसमें स्वयं को छोड़कर कोई गैर-स्थिर भाजक नहीं है। चूकि,अपरिवर्तनीयता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है, और एक बहुपद अप्रासंगिक हो सकता है F और के कुछ विस्तार पर कम करने योग्य F. इसी प्रकार, एक वर्ग से विभाज्यता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है। यदि अघुलनशील बहुपद f ऊपर F कुछ क्षेत्र विस्तार पर एक वर्ग द्वारा विभाज्य है, तो (उपरोक्त चर्चा के अनुसार) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक f और इसका व्युत्पन्न f′ स्थिर नहीं है. ध्यान दें कि के गुणांक f′ के समान क्षेत्र से संबंधित हैं f, और दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिवेश क्षेत्र से स्वतंत्र है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक f और f′में गुणांक है F. तब से f में अपरिवर्तनीय है F, यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक आवश्यक रूप से है f अपने आप। क्योंकि की डिग्री f′ की डिग्री से बिल्कुल कम है f, यह इस प्रकार है कि का व्युत्पन्न f शून्य है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र के किसी क्षेत्र की विशेषता एक अभाज्य संख्या है p, और f लिखा जा सकता है

$f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.$

इस जैसे बहुपद, जिसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य है, को अविभाज्य कहा जाता है। जो बहुपद अविभाज्य नहीं हैं, उन्हें वियोज्य कहा जाता है। एक वियोज्य विस्तार एक ऐसा विस्तार है जो वियोज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, यानी ऐसे तत्व जिनके न्यूनतम बहुपद वियोज्य होता हैं।

विभाज्य और अविभाज्य बहुपद

एक अघुलनशील बहुपद f में F[X] वियोज्य बहुपद है यदि इसके किसी भी क्षेत्र विस्तार में अलग-अलग जड़ें हों F (अर्थात यदि इसे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र पर अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है F). f में F[X] एक अपरिवर्तनीय बहुपद बनता है और f ' इसका औपचारिक व्युत्पन्न फिर अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए निम्नलिखित समतुल्य स्थितियाँ हैं f अलग करने योग्य होता है :

• यदि E का विस्तार है F जिसमें f रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है तो इन गुणनखंडों का कोई भी वर्ग विभाजित नहीं होता है f में E[X] (वह है f वर्ग-मुक्त बहुपद है|वर्ग-मुक्त ओवर E).
• एक विस्तार उपस्थित है E का F ऐसा है कि f है deg(f) जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें E.* अटल 1 एक बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है f और f '.
• औपचारिक व्युत्पन्न f ' का f शून्य बहुपद नहीं है.
• या तो की विशेषता Fशून्य है, या विशेषता है p, और f रूप का नहीं है $\textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.$

चूँकि एक धनात्मक डिग्री बहुपद का औपचारिक व्युत्पन्न तभी शून्य हो सकता है जब क्षेत्र में अभाज्य विशेषता हो, अप्रासंगिक बहुपद को अलग न करने के लिए, इसके गुणांकों को अभाज्य विशेषता के क्षेत्र में होना चाहिए। अत्यधिक सामान्यतः, अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद f में F[X] वियोज्य नहीं है, यदि की विशेषता F एक (गैर-शून्य) अभाज्य संख्या है p, और f(X)=g(X^p) कुछ अघुलनशील बहुपद के लिए g में F[X]. इस गुण के बार-बार प्रयोग से यह पता चलता है कि वास्तव में, $f(X)=g(X^{p^{n}})$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए n और कुछ अलग करने योग्य अघुलनशील बहुपद g में F[X] (कहाँ F को प्रमुख विशेषता p) माना जाता है।

यदि फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण $x\mapsto x^{p}$ का F विशेषण नहीं है, तत्व है $a\in F$ जो नहीं है pके तत्व की शक्ति F. इस मामले में, बहुपद $X^{p}-a$ अघुलनशील और अविभाज्य है. इसके विपरीत, यदि कोई अविभाज्य अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद उपस्थित है $\textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}$ में F[X], फिर फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण F स्वचालितता नहीं हो सकता, क्योंकि, अन्यथा, हमारे पास होता $a_{i}=b_{i}^{p}$ कुछ के लिए $b_{i}$, और बहुपद f के रूप में कारक होगा $\textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.$

यदि K अभाज्य विशेषता p का सीमित क्षेत्र है, यदि X एक अनिश्चित (चर) है, तो तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र समाप्त हो जाता है K, K(X), आवश्यक रूप से अपूर्ण क्षेत्र और बहुपद है f(Y)=Y^p−X अविभाज्य है (Y में इसका औपचारिक व्युत्पन्न 0 है)।अत्यधिक सामान्यतौर पर, यदि F (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता का कोई क्षेत्र है जिसके लिए फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण स्वचलितता नहीं है, तो F के पास अविभाज्य बीजगणितीय विस्तार है।

एक क्षेत्र F पूर्ण क्षेत्र है यदि जब सभी अपरिवर्तनीय बहुपद वियोज्य हों। यह इस प्रकार है कि F उत्तम है यदि दोनों में से कोई एक हो F विशेषता शून्य है, या F में (गैर-शून्य) प्रमुख विशेषता है p और फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण F एक स्वचलितता है। इसमें प्रत्येक परिमित क्षेत्र सम्मिलित है।

वियोज्य तत्व और वियोज्य एक्सटेंशन

$E\supseteq F$ एक क्षेत्र विस्तार बनता है. तत्व $\alpha \in E$ पर लग करने योग्य है F यदि यह बीजगणितीय है F, और इसका न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) वियोज्य है (किसी तत्व का न्यूनतम बहुपद आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है)।

यदि $\alpha ,\beta \in E$ अलग करने योग्य हैं F, तब $\alpha +\beta$, $\alpha \beta$ और $1/\alpha$ F पर वियोज्य हैं।

इस प्रकार सभी तत्वों का समुच्चय E अलग करने योग्य ओवर F का एक उपक्षेत्र बनता है E, का पृथक्करणीय समापन कहा जाता है F में E.

पृथक्करणीय समापन F के बीजगणितीय समापन में F को बस अलग करने योग्य समापन कहा जाता है F. बीजगणितीय समापन की तरह, यह समरूपता तक अद्वितीय है, और सामान्य तौर पर, यह समरूपता अद्वितीय नहीं है।

एक क्षेत्र विस्तार $E\supseteq F$ वियोज्य है, यदि E का पृथक्करणीय समापन है F में E. यही स्थिति है यदि E से अत्यधिक उत्पन्न होता है F वियोज्य तत्वों द्वारा होता है।

यदि $E\supseteq L\supseteq F$ तो, क्षेत्र विस्तार हैं E वियोज्य है F यदि E वियोज्य है L और L वियोज्य है F.

यदि $E\supseteq F$ एक परिमित विस्तार है (अर्थात E एक है F-परिमित आयाम का सदिश स्थल (वेक्टर स्थान)), तो निम्नलिखित समतुल्य हैं।

1. E वियोज्य है F.
2. $E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})$ कहाँ $a_{1},\ldots ,a_{r}$ के वियोज्य तत्व हैं E.
3. $E=F(a)$ कहाँ a का एक अलग करने योग्य तत्व है E.
4. यदि K का बीजगणितीय समापन है F, तो बिल्कुल हैं $[E:F]$ के क्षेत्र समरूपताएँ E में K जो ठीक करें F.
5. किसी भी सामान्य विस्तार के लिए K का F जिसमें है E, तो बिल्कुल हैं $[E:F]$ के क्षेत्र समरूपताएँ E में K जो ठीक करें F.

3. और 1. की तुल्यता को आदिम तत्व प्रमेय या आदिम तत्वों पर आर्टिन के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

गुण 4. और 5. गैलोज़ सिद्धांत का आधार हैं, और, विशेष रूप से, गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का होता है।

बीजगणितीय एक्सटेंशन के भीतर अलग करने योग्य एक्सटेंशन

$E\supseteq F$ विशेषता के क्षेत्रों का बीजगणितीय विस्तार बनें p. का पृथक्करणीय समापन F में E है $S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.$ प्रत्येक तत्व के लिए $x\in E\setminus S$ वहाँ एक धनात्मक पूर्णांक उपस्थित है k ऐसा है कि $x^{p^{k}}\in S,$ और इस तरह E का पूर्णतः अविभाज्य विस्तार है S. यह इस प्रकार है कि S अद्वितीय मध्यवर्ती क्षेत्र है जिसे अलग किया जा सकता है F और जिस पर E पूर्णतः अविभाज्य है।

यदि $E\supseteq F$ एक परिमित विस्तार होता है, इसकी क्षेत्र विस्तार की डिग्री है [E : F] डिग्रियों का गुणनफल है [S : F] और [E : S]. पूर्व, अधिकांशतः निरूपित किया जाता है [E : F]_sep, K पृथक्करणीय भाग के रूप में जाना जाता है [E : F], या K रूप वियोज्य डिग्री का E/F; उत्तरार्द्ध को डिग्री या K अविभाज्य भाग के रूप में जाना जाता है अवियोज्य डिग्री . विशेषता शून्य और शक्ति में अविभाज्य डिग्री 1 है pविशेषता में p > 0.

दूसरी ओर, एक मनमाना बीजगणितीय विस्तार $E\supseteq F$ मध्यवर्ती विस्तार नहीं हो सकता K वह पूर्णतः अविभाज्य है F और जिस पर E वियोज्य है. चूकि, ऐसा मध्यवर्ती विस्तार उपस्थित हो सकता है यदि, उदाहरण के लिए, $E\supseteq F$ एक सीमित डिग्री सामान्य विस्तार है (इस मामले में, K गैलोज़ समूह का निश्चित क्षेत्र है E ऊपर F). मान लीजिए कि ऐसा कोई मध्यवर्ती विस्तार उपस्थित है, और [E : F] तो फिर परिमित है [S : F] = [E : K], कहाँ S का पृथक्करणीय समापन है F में E. इस समानता के ज्ञात प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि $K\supseteq F$ पूर्णतः अविभाज्य विस्तार है, और यदि f एक पृथक्करणीय अघुलनशील बहुपद है F[X], तब f K[X] में अप्रासंगिक रहता है). इस समानता का तात्पर्य यह है कि, यदि [E : F] परिमित है, और U बीच का एक मध्यवर्ती क्षेत्र है F और E, तब [E : F]_sep = [E : U]_sep⋅[U : F]_sep.

वियोज्य समापन F^sep एक क्षेत्र का F का पृथक्करणीय समापन है F के बीजगणितीय समापन में F. यह का अधिकतम गैलोज़ विस्तार है F. परिभाषा से, F पूर्ण क्षेत्र है यदि इसके पृथक्करणीय और बीजगणितीय समापन मेल खाते हैं।

पारलौकिक विस्तार की पृथक्करण

पारलौकिक विस्तारों के साथ व्यवहार करते समय पृथक्करण संबंधी समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। यह सामान्यतौर पर प्रमुख विशेषता के क्षेत्र पर बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मामला है, जहां बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र में जमीन के क्षेत्र पर एक पारगमन डिग्री होती है जो विविधता के बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर होती है।

पारलौकिक विस्तार की पृथक्करणीयता को परिभाषित करने के लिए, इस तथ्य का उपयोग करना स्वाभाविक है कि प्रत्येक क्षेत्र विस्तार विशुद्ध रूप से पारलौकिक विस्तार का बीजगणितीय विस्तार है। इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

किसी विस्तार का पृथक्करण पारगमन आधार $E\supseteq F$ अतिक्रमण का आधार है T का E ऐसा है कि E का अलग करने योग्य बीजगणितीय विस्तार है F(T). एक परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार वियोज्य है यदि इसमें अलग पारगमन आधार है; एक विस्तार जो परिमित रूप से उत्पन्न नहीं होता है उसे वियोज्य कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न उप-विस्तार में अलग पारगमन आधार होता है।

$E\supseteq F$ किसी क्षेत्र के विशिष्ट घातांक का क्षेत्र विस्तार हो p (वह है p = 1 विशेषता शून्य में और, अन्यथा, p विशेषता है). निम्नलिखित गुण समतुल्य हैं:

• E का एक पृथक्करणीय विस्तार होता है F,
• $E^{p}$ और F रैखिक रूप से असंयुक्त होता हैं $F^{p},$
• $F^{1/p}\otimes _{F}E$ अंगूठी कम हो गई थी,
• $L\otimes _{F}E$ प्रत्येक क्षेत्र विस्तार के लिए घटाया गया था L का E,

कहाँ $\otimes _{F}$ क्षेत्र के मध्यकर्ण उत्पाद को दर्शाता है, $F^{p}$ का क्षेत्र है pतत्वों की वां शक्तियाँ F (किसी भी क्षेत्र के लिए F), और $F^{1/p}$ संलग्न (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा प्राप्त क्षेत्र है F द pइसके सभी तत्वों का मूल (विवरण के लिए वियोज्य बीजगणित देखें)।

विभेदक मानदंड

काहलर डिफरेंशियल की सहायता से पृथक्करण का अध्ययन किया जा सकता है। E किसी क्षेत्र का अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार बनता है F. दर्शाने $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ E-का सदिश स्थान F-की रैखिक व्युत्पत्तियाँ E, किसी के पास

$\dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,$

और समानता तभी मान्य है जब E को F से अलग किया जा सकता है (यहां tr.deg श्रेष्ठता डिग्री को दर्शाता है)।

विशेषकर, यदि $E/F$ तो, यह एक बीजगणितीय विस्तार है $\operatorname {Der} _{F}(E,E)=0$ यदि $E/F$ वियोज्य है.

$D_{1},\ldots ,D_{m}$ का आधार बनता है $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ और $a_{1},\ldots ,a_{m}\in E$. तब $E$ वियोज्य बीजगणितीय है $F(a_{1},\ldots ,a_{m})$ यदि आव्यूह $D_{i}(a_{j})$ उलटा है. विशेषकर, जब $m=\operatorname {tr.deg} _{F}E$, यह आव्यूह उलटा है यदि $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ एक अलग पारगमन आधार है।

संदर्भ

• Borel, A. Linear algebraic groups, 2nd ed.
• P.M. Cohn (2003). Basic algebra
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Kaplansky, Irving (1972). Fields and rings. Chicago lectures in mathematics (Second ed.). University of Chicago Press. pp. 55–59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500.
• M. Nagata (1985). Commutative field theory: new edition, Shokabo. (Japanese) [1]
• Silverman, Joseph (1993). The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. ISBN 0-387-96203-4.

बाहरी संबंध

• "separable extension of a field k", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]