एंस्कोम्बे परिवर्तन

माध्य के एक फलन के रूप में रूपांतरित पॉइसन यादृच्छिक चर का मानक विचलन $m$.

आँकड़ों में, Anscombe परिवर्तन, जिसका नाम फ्रांसिस Anscombe के नाम पर रखा गया है, एक विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन है जो पॉइसन वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर को लगभग मानक सामान्य वितरण के साथ एक में बदल देता है। Anscombe ट्रांसफॉर्म का व्यापक रूप से फोटॉन-सीमित इमेजिंग (खगोल विज्ञान, एक्स-रे) में उपयोग किया जाता है जहां छवियां स्वाभाविक रूप से पॉइसन कानून का पालन करती हैं। मानक विचलन को लगभग स्थिर बनाने के लिए डेटा को पूर्व-संसाधित करने के लिए आमतौर पर Anscombe परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। फिर योगात्मक सफेद गाऊसी शोर के ढांचे के लिए डिज़ाइन किए गए शोर कटौती एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है; अंतिम अनुमान तब निरूपित डेटा में व्युत्क्रम Anscombe परिवर्तन लागू करके प्राप्त किया जाता है।

Anscombe परिवर्तन एनिमेटेड। यहाँ $\mu$ Anscombe-रूपांतरित पॉइसन वितरण का माध्य है, जिसे घटाकर सामान्यीकृत किया जाता है $2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}$, और $\sigma$ इसका मानक वितरण (अनुभवजन्य रूप से अनुमानित) है। हम उस पर ध्यान देते हैं $m^{3/2}\mu$ और $m^{2}(\sigma -1$ की सीमा में मोटे तौर पर रहता है $[0,10]$ इस अवधि के दौरान, अनुभवजन्य समर्थन दे रहा है $\mu =O(m^{-3/2}),\sigma =1+O(m^{-2})$

परिभाषा

पॉइसन वितरण के लिए माध्य $m$ और विचरण $v$ स्वतंत्र नहीं हैं: $m=v$. Anscombe परिवर्तन

$A:x\mapsto 2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\,$

इसका लक्ष्य डेटा को रूपांतरित करना है ताकि पर्याप्त बड़े माध्य के लिए विचरण लगभग 1 निर्धारित हो; माध्य शून्य के लिए, प्रसरण अभी भी शून्य है।

यह पॉइसोनियन डेटा को बदल देता है $x$ (मतलब के साथ $m$) माध्य के लगभग गाऊसी डेटा तक $2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}+O\left({\tfrac {1}{m^{3/2}}}\right)$ और मानक विचलन $1+O\left({\tfrac {1}{m^{2}}}\right)$. यह सन्निकटन बड़े के लिए अधिक सटीक हो जाता है $m$, जैसा कि चित्र में भी देखा जा सकता है।

प्रपत्र के रूपांतरित चर के लिए $2{\sqrt {x+c}}$, विचरण के लिए व्यंजक में एक अतिरिक्त पद है ${\frac {{\tfrac {3}{8}}-c}{m}}$; इसे घटाकर शून्य कर दिया गया है $c={\tfrac {3}{8}}$, यही कारण है कि यह मान चुना गया।

उलटा

जब Anscombe ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग डीनोइज़िंग में किया जाता है (यानी जब लक्ष्य प्राप्त करना हो)। $x$ का एक अनुमान $m$), इसके व्युत्क्रम परिवर्तन की भी आवश्यकता है विचरण-स्थिर और निरूपित डेटा वापस करने के लिए $y$ मूल सीमा तक. व्युत्क्रम फलन लागू करना

$A^{-1}:y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}$

आम तौर पर माध्य के अनुमान के लिए एक अनुमानक के अवांछित पूर्वाग्रह का परिचय देता है $m$, क्योंकि आगे का वर्गमूल परिवर्तन रेखीय मानचित्र नहीं है. कभी-कभी स्पर्शोन्मुख रूप से निष्पक्ष व्युत्क्रम का उपयोग करना

$y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}$

पूर्वाग्रह के मुद्दे को कम करता है, लेकिन फोटॉन-सीमित इमेजिंग में ऐसा नहीं है, जिसके लिए अंतर्निहित मानचित्रण द्वारा दिया गया सटीक निष्पक्ष व्युत्क्रम

$\operatorname {E} \left[2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\sum _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m$

इस्तेमाल किया जाना चाहिए। इस सटीक निष्पक्ष व्युत्क्रम का एक बंद-रूप अभिव्यक्ति|बंद-रूप सन्निकटन है

$y\mapsto {\frac {1}{4}}y^{2}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-3}.$

विकल्प

पॉइसन वितरण के लिए कई अन्य संभावित विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन हैं। बार-लेव और एनिस की रिपोर्टऐसे परिवर्तनों का एक परिवार जिसमें एन्स्कोम्बे परिवर्तन शामिल है। परिवार का एक अन्य सदस्य फ्रीमैन-टुकी परिवर्तन है

$A:x\mapsto {\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}.\,$

एक सरलीकृत परिवर्तन, जिसे वेरिएंस-स्थिरीकरण परिवर्तन के रूप में प्राप्त किया जाता है

$A:x\mapsto 2{\sqrt {x}}\,$

जो, हालांकि विचरण को स्थिर करने में इतना अच्छा नहीं है, इसका लाभ यह है कि इसे अधिक आसानी से समझा जा सकता है। दरअसल, डेल्टा विधि से,

$V[2{\sqrt {x}}]\approx \left({\frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\right)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\right)^{2}m=1$.

सामान्यीकरण

जबकि Anscombe परिवर्तन शुद्ध पॉइसन डेटा के लिए उपयुक्त है, कई अनुप्रयोगों में डेटा एक additive गॉसियन घटक भी प्रस्तुत करता है। इन मामलों का इलाज सामान्यीकृत एन्स्कोम्बे परिवर्तन द्वारा किया जाता है और इसके स्पर्शोन्मुख रूप से निष्पक्ष या सटीक निष्पक्ष व्युत्क्रम।

यह भी देखें

• विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन
• बॉक्स-कॉक्स परिवर्तन

अग्रिम पठन

• Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001), "Astronomical image and signal processing: looking at noise, information and scale", Signal Processing Magazine, IEEE, vol. 18, no. 2, pp. 30–40, Bibcode:2001ISPM...18...30S, doi:10.1109/79.916319, S2CID 13210703