श्रृंखला नियम (संभावना)

संभाव्यता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम^[1] (इसे सामान्य उत्पाद नियम भी कहा जाता है^[2]^[3]) वर्णन करता है कि सशर्त संभावनाओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र नहीं, घटनाओं या क्रमशः यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त संभावनाओं के संदर्भ में संभाव्यता वितरण का वर्णन करता है।

घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम

दो घटनाएँ

दो घटनाओं के लिए (संभावना सिद्धांत) $A$ और $B$ , श्रृंखला नियम यह बताता है

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)

,

कहाँ $\mathbb {P} (A\mid B)$ की सशर्त संभावनाओं को दर्शाता है $A$ दिया गया $B$ .

उदाहरण

एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। चलो घटना $A$ पहला कलश चुनें, यानी $\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2$ , कहाँ ${\overline {A}}$ की पूरक घटना है $A$ . चलो घटना $B$ मौका हो कि हम सफेद गेंद चुनें। सफ़ेद गेंद चुनने का मौका, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है $\mathbb {P} (B|A)=2/3.$ चौराहा $A\cap B$ फिर पहला कलश और उसमें से एक सफेद गेंद चुनने का वर्णन करता है। संभाव्यता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है:

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.

अंततः अनेक घटनाएँ

घटनाओं के लिए $A_{1},\ldots ,A_{n}$ जिसके प्रतिच्छेदन की संभावना शून्य नहीं है, श्रृंखला नियम बताता है

\begin{aligned} P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) & = P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) \\ = P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) P (A_{n - 1} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 2}) P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 2}) \\ = P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) P (A_{n - 1} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 2}) \cdot \dots \cdot P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{1}) \\ = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) \cdot \dots \cdot P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{} \end{aligned}

उदाहरण 1

के लिए

n=4

, यानी चार घटनाएं, श्रृंखला नियम पढ़ता है

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\end{aligned}}

.

उदाहरण 2

हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?

सबसे पहले, हम सेट करते हैं ${\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}$ . जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं

\mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}

.

श्रृंखला नियम लागू करना,

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}

.

प्रमेय का कथन और उपपत्ति

होने देना $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ एक संभाव्यता स्थान बनें। याद रखें कि a की सशर्त संभाव्यता $A\in {\mathcal {A}}$ दिया गया $B\in {\mathcal {A}}$ परिभाषित किया जाता है

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}

तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।

Chain rule — Let $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ be a probability space. Let $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ . Then

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\prod _{j=2}^{n}\mathbb {P} (A_{j}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{j-1}).\end{aligned}}

Proof

The formula follows immediately by recursion

{\begin{aligned}(1)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\\(2)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\\&&&&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),\end{aligned}}

where we used the definition of the conditional probability in the first step.

असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम

दो यादृच्छिक चर

दो असतत यादृच्छिक चर के लिए $X,Y$ , हम घटनाओं का उपयोग करते हैं $A:=\{X=x\}$ और $B:=\{Y=y\}$ उपरोक्त परिभाषा में, और संयुक्त वितरण को इस प्रकार खोजें

\mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),

या

\mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),

कहाँ $\mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)$ की संभाव्यता वितरण है $X$ और $\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)$ की सशर्त संभाव्यता वितरण $X$ दिया गया $Y$ .

अंततः अनेक यादृच्छिक चर

होने देना $X_{1},\ldots ,X_{n}$ यादृच्छिक चर हो और $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ . सशर्त संभाव्यता की परिभाषा के अनुसार,

\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)

और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, जहां हम सेट करते हैं $A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}$ , हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार पा सकते हैं

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}

उदाहरण

के लिए $n=3$ , यानी तीन यादृच्छिक चर पर विचार करना। फिर, श्रृंखला नियम पढ़ता है

{\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}

यह भी देखें

Independence (probability theory)

ग्रन्थसूची

René L. Schilling (2021), Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum (1 ed.), Technische Universität Dresden, Germany, ISBN 979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
William Feller (1968), An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. I (3 ed.), New York / London / Sydney: Wiley, ISBN 978-0-471-25708-0
Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach (2nd ed.), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-2, p. 496.

संदर्भ

↑ Schilling, René L. (2021). माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम. Technische Universität Dresden, Germany. p. 136ff. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
↑ Schum, David A. (1994). संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव. Northwestern University Press. p. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.
↑ Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (3rd ed.). Psychology Press. p. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.

[1] Schilling, René L. (2021). माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम. Technische Universität Dresden, Germany. p. 136ff. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[2] Schum, David A. (1994). संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव. Northwestern University Press. p. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.

[3] Klugh, Henry E. (2013). Statistics: The Essentials for Research (3rd ed.). Psychology Press. p. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.

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दो घटनाएँ

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