स्केलम वितरण

Skellam

Probability mass function Examples of the probability mass function for the Skellam distribution. The horizontal axis is the index k. (The function is only defined at integer values of k. The connecting lines do not indicate continuity.)
Parameters	$\mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0$
Support	$k\in \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$
PMF	$e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$
Mean	$\mu _{1}-\mu _{2}\,$
Median	N/A
Variance	$\mu _{1}+\mu _{2}\,$
Skewness	${\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {1}{\mu _{1}+\mu _{2}}}$
MGF	$e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}$
CF	$e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}$

स्केलम वितरण अंतर का असतत संभाव्यता वितरण है $N_{1}-N_{2}$ दो सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर $N_{1}$ और $N_{2},$ प्रत्येक पॉइसन वितरण|पॉइसन-वितरित संबंधित अपेक्षित मूल्यों के साथ $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$. यह साधारण फोटॉन शोर के साथ दो छवियों के अंतर के आंकड़ों का वर्णन करने के साथ-साथ उन खेलों में स्प्रेड सट्टेबाजी वितरण का वर्णन करने में उपयोगी है जहां सभी स्कोर किए गए अंक समान हैं, जैसे बेसबॉल, आइस हॉकी और फ़ुटबॉल ।

वितरण आश्रित पॉइसन यादृच्छिक चर के अंतर के एक विशेष मामले पर भी लागू होता है, लेकिन यह केवल स्पष्ट मामला है जहां दो चर में एक सामान्य योगात्मक यादृच्छिक योगदान होता है जिसे अंतर द्वारा रद्द कर दिया जाता है: विवरण के लिए कार्लिस और नत्ज़ुफ्रास (2003) देखें और एक आवेदन पत्र।

किसी अंतर के लिए स्केलम वितरण के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन $K=N_{1}-N_{2}$ साधनों के साथ दो स्वतंत्र पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर के बीच $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$ द्वारा दिया गया है:

$p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$

जहां मैं_k(z) बेसेल फ़ंक्शन#संशोधित बेसेल फ़ंक्शन है: पहली तरह का I.CE.B1.2C K.CE.B1। चूँकि k एक पूर्णांक है इसलिए हमारे पास वह I है_k(z)=मैं_|k|(साथ)।

व्युत्पत्ति

पॉइसन वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन | माध्य μ के साथ पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर द्वारा दिया गया है

$p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,$

के लिए $k\geq 0$ (और अन्यथा शून्य). दो स्वतंत्र गणनाओं के अंतर के लिए स्केलम संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन $K=N_{1}-N_{2}$ दो पॉइसन वितरणों का कनवल्शन है: (जॉन गॉर्डन स्केलम, 1946)

${\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}$

चूंकि गिनती के नकारात्मक मूल्यों के लिए पॉइसन वितरण शून्य है $(p(N<0;\mu )=0)$, दूसरा योग केवल उन शर्तों के लिए लिया जाता है जहां $n\geq 0$ और $n+k\geq 0$. यह दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त योग का तात्पर्य यही है

${\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}$

ताकि:

$p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})$

जहां मैं_k(z) बेसेल फ़ंक्शन#संशोधित बेसेल फ़ंक्शन है: पहली तरह का I.CE.B1.2C K.CE.B1। के लिए विशेष मामला $\mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )$ इरविन (1937) द्वारा दिया गया है:

$p\left(k;\mu ,\mu \right)=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).$

छोटे तर्कों के लिए संशोधित बेसेल फ़ंक्शन के सीमित मूल्यों का उपयोग करके, हम स्केलम वितरण के एक विशेष मामले के रूप में पॉइसन वितरण को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं $\mu _{2}=0$.

गुण

चूंकि यह एक असतत संभाव्यता फ़ंक्शन है, स्केलम संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन सामान्यीकृत है:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.$

हम जानते हैं कि पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता-उत्पादक फ़ंक्शन (पीजीएफ) है:

$G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.$

यह इस प्रकार है कि पी.जी.एफ., $G(t;\mu _{1},\mu _{2})$, स्केलम संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के लिए होगा:

${\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}$

ध्यान दें कि संभाव्यता-उत्पन्न फ़ंक्शन के रूप का तात्पर्य है कि रकम का वितरण या किसी भी संख्या में स्वतंत्र स्केलम-वितरित चर के अंतर को फिर से स्केलम-वितरित किया जाता है। कभी-कभी यह दावा किया जाता है कि दो स्केलम वितरित चर का कोई भी रैखिक संयोजन फिर से स्केलम-वितरित होता है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से सच नहीं है क्योंकि इसके अलावा कोई भी गुणक $\pm 1$ वितरण के समर्थन (गणित) को बदल देगा और मोमेंट (गणित) के पैटर्न को इस तरह से बदल देगा कि कोई भी स्केलम वितरण संतुष्ट नहीं कर सकता है।

क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य इस प्रकार दिया गया है:

$M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}$

जो कच्चे क्षण एम उत्पन्न करता है_k. परिभाषित करना:

$\Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}\,$

$\mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2.\,$

फिर कच्चे क्षण एम_k हैं

$m_{1}=\left.\Delta \right.\,$

$m_{2}=\left.2\mu +\Delta ^{2}\right.\,$

$m_{3}=\left.\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2})\right.\,$

माध्य एम के बारे में क्षण _k हैं

$M_{2}=\left.2\mu \right.,\,$

$M_{3}=\left.\Delta \right.,\,$

$M_{4}=\left.2\mu +12\mu ^{2}\right..\,$

अपेक्षित मूल्य, विचरण, तिरछापन और कुकुदता क्रमशः हैं:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}$

संचयी-उत्पादक कार्य द्वारा दिया गया है:

$K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}$

जो संचयक उत्पन्न करता है:

$\kappa _{2k}=\left.2\mu \right.$

$\kappa _{2k+1}=\left.\Delta \right..$

विशेष मामले के लिए जब μ₁ = एम₂, एक बेसेल फ़ंक्शन का स्पर्शोन्मुख विस्तार बड़े μ के लिए उपज देता है:

$p(k;\mu ,\mu )\sim {1 \over {\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\cdots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\} \over n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}\right].$

(अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 1972, पृष्ठ 377)। इसके अलावा, इस विशेष मामले के लिए, जब k भी बड़ा होता है, और 2μ के वर्गमूल के बिग ओ अंकन के कारण, वितरण सामान्य वितरण की ओर जाता है:

$p(k;\mu ,\mu )\sim {e^{-k^{2}/4\mu } \over {\sqrt {4\pi \mu }}}.$

इन विशेष परिणामों को विभिन्न माध्यमों के अधिक सामान्य मामले तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है।

शून्य से ऊपर वजन पर सीमा

अगर $X\sim \operatorname {Skellam} (\mu _{1},\mu _{2})$, साथ $\mu _{1}<\mu _{2}$, तब

${\frac {\exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp(-({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}})^{2})$

विवरण पॉइसन वितरण#पॉइसन रेस में पाया जा सकता है

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (June 1965). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables (Unabridged and unaltered republ. [der Ausg.] 1964, 5. Dover printing ed.). Dover Publications. pp. 374–378. ISBN 0486612724. Retrieved 27 September 2012.
• Irwin, J. O. (1937) "The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution." Journal of the Royal Statistical Society: Series A, 100 (3), 415–416. JSTOR 2980526
• Karlis, D. and Ntzoufras, I. (2003) "Analysis of sports data using bivariate Poisson models". Journal of the Royal Statistical Society, Series D, 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
• Karlis D. and Ntzoufras I. (2006). Bayesian analysis of the differences of count data. Statistics in Medicine, 25, 1885–1905. [1]
• Skellam, J. G. (1946) "The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations". Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 109 (3), 296. JSTOR 2981372

यह भी देखें

• अनुपात_वितरण#पॉइसन_और_ट्रंकेटेड_पॉइसन_वितरण|(काटे गए) पॉइसन वितरण के लिए अनुपात वितरण

श्रेणी:अलग-अलग वितरण श्रेणी:पॉइसन वितरण श्रेणी:असीम रूप से विभाज्य संभाव्यता वितरण