स्वतंत्र स्वतंत्रता

मुक्त संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, स्वतंत्र स्वतंत्रता की धारणा डैन वोइकुलेस्कु (गणितज्ञ) द्वारा पेश की गई थी। स्वतंत्र स्वतंत्रता की परिभाषा स्वतंत्रता (संभावना) की शास्त्रीय परिभाषा के समानांतर है, सिवाय इसके कि माप स्थानों के कार्टेशियन उत्पादों की भूमिका (उनके फ़ंक्शन बीजगणित के टेंसर उत्पादों के अनुरूप) (गैर-) के मुक्त उत्पाद की धारणा द्वारा निभाई जाती है। क्रमविनिमेय) संभाव्यता स्थान।

वोइकुलेस्कु के मुक्त संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, कई शास्त्रीय-संभावना प्रमेयों या घटनाओं में मुक्त संभाव्यता एनालॉग होते हैं: यदि स्वतंत्रता की शास्त्रीय धारणा को स्वतंत्र स्वतंत्रता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वही प्रमेय या घटना लागू होती है (शायद मामूली संशोधनों के साथ)। इसके उदाहरणों में शामिल हैं: मुक्त केंद्रीय सीमा प्रमेय; मुक्त कनवल्शन की धारणाएँ; निःशुल्क स्टोकेस्टिक कैलकुलस इत्यादि का अस्तित्व।

होने देना $(A,\phi )$ एक गैर-कम्यूटेटिव संभाव्यता स्थान बनें, यानी एक क्षेत्र पर एक पहचान तत्व बीजगणित $A$ ऊपर $\mathbb {C}$ यूनिटल मानचित्र रैखिक कार्यात्मक से सुसज्जित $\phi :A\to \mathbb {C}$. एक उदाहरण के रूप में, कोई संभाव्यता माप के लिए ले सकता है $\mu$,

$A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).$

एक और उदाहरण हो सकता है $A=M_{N}$, का बीजगणित $N\times N$ सामान्यीकृत ट्रेस द्वारा दिए गए कार्यात्मकता वाले मैट्रिक्स $\phi ={\frac {1}{N}}Tr$. और भी सामान्यतः, $A$ एक वॉन न्यूमैन बीजगणित हो सकता है और $\phi$ पर एक राज्य $A$. एक अंतिम उदाहरण समूह वलय है $A=\mathbb {C} \Gamma$ एक (अलग) समूह का (गणित) $\Gamma$ कार्यात्मकता के साथ $\phi$ ग्रुप ट्रेस द्वारा दिया गया $\phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma$.

होने देना $\{A_{i}:i\in I\}$ के इकाई उपबीजगणित का एक परिवार बनें $A$.

परिभाषा। परिवार $\{A_{i}:i\in I\}$ स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि

$\phi (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=0$

जब कभी भी $\phi (x_{j})=0$, $x_{j}\in A_{i(j)}$ और $i(1)\neq i(2),i(2)\neq i(3),\dots$.

अगर $X_{i}\in A$, $i\in I$ के तत्वों का एक परिवार है $A$ (इन्हें यादृच्छिक चर के रूप में सोचा जा सकता है $A$), वे कहते हैं

यदि बीजगणित स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र है $A_{i}$ द्वारा उत्पन्न $1$ और $X_{i}$ स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं.

स्वतंत्र स्वतंत्रता के उदाहरण

• होने देना $\Gamma$ समूहों का निःशुल्क उत्पाद बनें $\Gamma _{i},i\in I$, होने देना $A=\mathbb {C} \Gamma$ समूह बीजगणित हो, $\phi (g)=\delta _{g=e}$ समूह ट्रेस बनें, और सेट करें $A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A$. तब $A_{i}:i\in I$ स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं.
• होने देना $U_{i}(N),i=1,2$ होना $N\times N$ एकात्मक यादृच्छिक मैट्रिक्स, से यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से लिया गया $N\times N$ एकात्मक समूह (हार माप के संबंध में)। तब $U_{1}(N),U_{2}(N)$ असम्बद्ध रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र बनें $N\to \infty$. (एसिम्प्टोटिक फ्रीनेस का मतलब है कि फ्रीनेस की परिभाषा इस सीमा में है $N\to \infty$).
• अधिक आम तौर पर, कुछ शर्तों के तहत, स्वतंत्र यादृच्छिक मैट्रिक्स असममित रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र होते हैं।

स्रोत

• जेम्स ए. मिंगो, रोलैंड स्पीचर: फ्री प्रोबेबिलिटी और रैंडम मैट्रिसेस। फील्ड्स इंस्टीट्यूट मोनोग्राफ, वॉल्यूम। 35, स्प्रिंगर, न्यूयॉर्क, 2017।

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