अंत (टोपोलॉजी)

This article is about the notion in general topology. For the construction in category theory, see End (category theory).

टोपोलॉजी में, गणित की शाखा, टोपोलॉजिकल स्पेस के सिरे, मोटे तौर पर कहें तो, स्पेस की आदर्श सीमा के जुड़े घटक (टोपोलॉजी) हैं। अर्थात्, प्रत्येक छोर अंतरिक्ष के भीतर अनंत तक जाने के लिए टोपोलॉजिकल रूप से अलग तरीके का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक छोर पर बिंदु जोड़ने से मूल स्थान का संकलन (गणित)गणित) प्राप्त होता है, जिसे एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन के रूप में जाना जाता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के अंत की धारणा किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? Hans Freudenthal (1931).

परिभाषा

मान लीजिए कि X टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मान लीजिए

$K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots$

एक्स के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का आरोही क्रम है जिसका आंतरिक (टोपोलॉजी) कवर (टोपोलॉजी) एक्स है। फिर एक्स के पास प्रत्येक अनुक्रम के लिए 'अंत' है

$U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq U_{3}\supseteq \cdots ,$

जहां प्रत्येक यू_n X \ K का जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) है_n. सिरों की संख्या विशिष्ट अनुक्रम {K पर निर्भर नहीं करती_i}कॉम्पैक्ट सेट का; ऐसे किन्हीं दो अनुक्रमों से जुड़े सिरों के सेट के बीच प्राकृतिक परिवर्तन आक्षेप है।

इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, अंत का पड़ोस {U_i} खुला समुच्चय V इस प्रकार है कि V⊇U_n कुछ एन के लिए ऐसे पड़ोस 'एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन' में अनंत पर संबंधित बिंदु के पड़ोस का प्रतिनिधित्व करते हैं (यह कॉम्पेक्टिफिकेशन हमेशा कॉम्पैक्ट नहीं होता है; टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को कनेक्ट करना होगा और स्थानीय रूप से कनेक्ट करना होगा)।

ऊपर दी गई सिरों की परिभाषा केवल रिक्त स्थान X पर लागू होती है जिसमें हेमीकॉम्पैक्ट स्थान द्वारा थकावट होती है (अर्थात, हालाँकि, इसे निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है, और X और समावेशन मानचित्रों के कॉम्पैक्ट सबसेट की प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) {K} पर विचार करें। संगत व्युत्क्रम प्रणाली है {π₀( X \ K ) }, कहां π₀(Y) अंतरिक्ष Y के जुड़े घटकों के सेट को दर्शाता है, और प्रत्येक समावेशन मानचित्र Y → Z फ़ंक्शन को प्रेरित करता है π₀(वाई) →π₀(जेड). फिर X के 'सिरों के सेट' को इस व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस परिभाषा के तहत, सिरों टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी की श्रेणी से ऑपरेटर है, जहां आकारिकी केवल सेट की श्रेणी के लिए उचित निरंतर मानचित्र हैं। स्पष्ट रूप से, यदि φ : X → Y उचित मानचित्र है और x = (x)_K)_K X का अंत है (अर्थात प्रत्येक तत्व x_K परिवार में X ∖ K का जुड़ा हुआ घटक है और वे समावेशन से प्रेरित मानचित्रों के साथ संगत हैं) तो φ(x) परिवार है $\varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})$ कहाँ $K'$ Y और φ के सघन उपसमुच्चय पर आधारित है_* से प्रेरित मानचित्र है $\pi _{0}(X\smallsetminus \varphi ^{-1}(K'))$ को $\pi _{0}(Y\smallsetminus K')$. φ की उचितता का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक φ⁻¹(K) X में संहत है।

उपरोक्त मूल परिभाषा उस विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करती है जहां कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली में सह-अंतिम अनुक्रम होता है।

उदाहरण

• किसी भी संहत स्थान के सिरों का समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है।
• असली लाइन $\mathbb {R}$ दो सिरे हैं. उदाहरण के लिए, यदि हम K_n बंद अंतराल [−n, n] हो, तो दोनों छोर खुले सेट यू के अनुक्रम हैं_n= (n, ∞) और वी_n= (−∞, −n). इन सिरों को आमतौर पर क्रमशः अनंत और ऋण अनंत के रूप में जाना जाता है।
• यदि n > 1, तो यूक्लिडियन स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ केवल ही छोर है. यह है क्योंकि $\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus K$ किसी भी कॉम्पैक्ट सेट K के लिए केवल असीमित घटक होता है।
• अधिक आम तौर पर, यदि एम सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो एम के इंटीरियर के सिरों की संख्या एम की सीमा के जुड़े घटकों की संख्या के बराबर है।
• मूल से निकलने वाली एन विशिष्ट किरण (गणित) का मिलन $\mathbb {R} ^{2}$ n सिरे हैं.
• बाइनरी ट्री#बाइनरी ट्री के प्रकार में बेशुमार कई सिरे होते हैं, जो जड़ से शुरू होने वाले बेशुमार अलग-अलग अवरोही पथों के अनुरूप होते हैं। (इसे K देकर देखा जा सकता है_n गहराई का पूर्ण द्विआधारी वृक्ष हो n.) इन सिरों को अनंत वृक्ष की पत्तियों के रूप में माना जा सकता है। अंत में संघनन में, सिरों के सेट में कैंटर सेट की टोपोलॉजी होती है।

ग्राफ़ और समूहों का अंत

Main article: End (graph theory)

अनंत ग्राफ ग्राफ सिद्धांत में, अंत को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है, ग्राफ में अर्ध-अनंत पथों के समतुल्य वर्ग के रूप में, या हेवन (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में, फ़ंक्शन जो उनके पूरक के जुड़े घटकों के लिए कोने के परिमित सेट को मैप करता है। हालाँकि, स्थानीय रूप से परिमित ग्राफ़ के लिए (ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक शीर्ष की परिमित डिग्री होती है (ग्राफ़ सिद्धांत)), इस तरह से परिभाषित सिरे ग्राफ़ से परिभाषित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के सिरों के साथ एक-के-एक मेल खाते हैं (Diestel & Kühn 2003).

एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह के सिरों को संबंधित केली ग्राफ के सिरों के रूप में परिभाषित किया गया है; यह परिभाषा जनरेटिंग सेट की पसंद के प्रति असंवेदनशील है। प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत समूह में या तो 1, 2, या असीम रूप से कई छोर होते हैं, और समूहों के सिरों के बारे में स्टालिंग्स प्रमेय से अधिक छोर वाले समूहों के लिए अपघटन प्रदान करता है।

सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का अंत

सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स से जुड़े पथ के लिए, सिरों को उचित मानचित्रों के समरूप वर्गों के रूप में चित्रित किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{+}\to X$, जिसे एक्स में लाइन (गणित) कहा जाता है: अधिक सटीक रूप से, यदि प्रतिबंध के बीच - सबसेट तक $\mathbb {N}$- इनमें से किन्हीं दो मानचित्रों में उचित समरूपता मौजूद है, हम कहते हैं कि वे समतुल्य हैं और वे उचित किरणों के समतुल्य वर्ग को परिभाषित करते हैं। इस सेट को X का अंत कहा जाता है।

संदर्भ

• Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Graph-theoretical versus topological ends of graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197–206, doi:10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888.
• Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift, Springer Berlin / Heidelberg, 33: 692–713, doi:10.1007/BF01174375, ISSN 0025-5874, S2CID 120965216, Zbl 0002.05603
• Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
• Scott, Peter; Wall, Terry; Wall, C. T. C. (1979). "Topological methods in group theory". Homological Group Theory. pp. 137–204. doi:10.1017/CBO9781107325449.007. ISBN 9781107325449.