असतत फूरियर श्रृंखला

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, शब्द डिस्क्रीट फूरियर सीरीज़ (डीएफएस) कोई भी आवधिक असतत-समय सिग्नल है जिसमें हार्मोनिक रूप से संबंधित (यानी फूरियर) असतत वास्तविक साइनसॉइड या असतत जटिल घातांक शामिल होते हैं, जो एक भारित योग द्वारा संयुक्त होते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य) (व्युत्क्रम डीएफटी) है।

परिभाषा

DFS का सामान्य रूप है:

Discrete Fourier series

${\begin{aligned}x[n]=\sum _{k}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad n\in \mathbb {Z} ,\end{aligned}}$

(Eq.1)

जो एक मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स हैं $1/N,$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $N.$ की व्यावहारिक सीमा $k,$ है $[0,\ N-1],$ क्योंकि आवधिकता बड़े मूल्यों को अनावश्यक बना देती है। जब $X[k]$ गुणांक a से प्राप्त होते हैं $N$-लंबाई डीएफटी, और का एक कारक $1/N$ डाला जाता है, तो यह उलटा डीएफटी बन जाता है।  और उस मामले में, केवल गुणांकों को ही कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में संदर्भित किया जाता है।

लंबाई का एक क्रम बनाना एक सामान्य अभ्यास है $N$ एक लंबे समय से $x[n]$ इसे विभाजित करके क्रमबद्ध करें $N$-लंबाई खंड और उन्हें बिंदुवार एक साथ जोड़ना। (देखें DTFT § L=N×I) यह आवधिक योग का एक चक्र उत्पन्न करता है:

$x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .$

आवधिकता के कारण, $x_{_{N}}$को DFS के रूप में दर्शाया जा सकता है $N$ अद्वितीय गुणांक जिन्हें एक द्वारा निकाला जा सकता है $N$-लंबाई डीएफटी.   

गुणांक उपयोगी हैं क्योंकि वे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीटीएफटी) के नमूने हैं $x[n]$ अनुक्रम:

$X_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}\ T\ x(nT)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {m}{T}}\right),\quad f\in \mathbb {R}$

यहाँ, $x(nT)$ एक सतत फलन के नमूने का प्रतिनिधित्व करता है $x(t),$ के नमूना अंतराल के साथ $T,$ और $X(f)$ का फूरियर रूपांतरण है $x(t).$ समानता पॉइसन योग सूत्र का परिणाम है। परिभाषाओं के साथ $x[n]\triangleq T\ x(nT)$ और $X_{N}[k]\triangleq X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)$:

$X_{N}[k]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\ x[n],\quad k=0,...,N-1$

की एन-आवधिकता के कारण $e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}$ कर्नेल, योग को इस प्रकार मोड़ा जा सकता है:

${\begin{aligned}X_{N}[k]&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\ x[n-mN]\right)\\&=\sum _{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\underbrace {\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN]\right)} _{x_{_{N}}[n]}\\&=\operatorname {DFT} \{x_{_{N}}\}.\end{aligned}}$