ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि

बीजगणितीय ज्यामिति में, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान एक निर्माण है जो बीजगणितीय विविधता V (और अधिक सामान्यतः) पर एक बिंदु P पर स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करता है। यह सीधे अमूर्त बीजगणित पर आधारित होने के कारण अंतर कलन का उपयोग नहीं करता है, और सबसे ठोस मामलों में केवल रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सिद्धांत है।

प्रेरणा

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित एक समतल वक्र C दिया गया है

एफ(एक्स,वाई) = 0

और P को मूल बिंदु (0,0) मानें। 1 से अधिक क्रम के पदों को मिटाने से एक 'रैखिकीकृत' समीकरण रीडिंग उत्पन्न होगी

एल(एक्स,वाई) = 0

जिसमें सभी पद X^कोय^{यदि a + b > 1 है तो b} को त्याग दिया गया है।

हमारे पास दो मामले हैं: L 0 हो सकता है, या यह एक रेखा का समीकरण हो सकता है। पहले मामले में (0,0) पर C का (ज़ारिस्की) स्पर्शरेखा स्थान संपूर्ण तल है, जिसे द्वि-आयामी एफ़िन स्थान माना जाता है। दूसरे मामले में, स्पर्शरेखा स्थान वह रेखा है, जिसे एफ़िन स्पेस माना जाता है। (उत्पत्ति का प्रश्न तब सामने आता है, जब हम P को C पर एक सामान्य बिंदु के रूप में लेते हैं; 'एफ़िन स्पेस' कहना बेहतर होता है और फिर ध्यान दें कि P एक प्राकृतिक उत्पत्ति है, बजाय इसके कि सीधे तौर पर इस बात पर जोर दिया जाए कि यह एक सदिश समष्टि है। )

यह देखना आसान है कि वास्तविक संख्या पर हम एफ के पहले आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एल प्राप्त कर सकते हैं। जब वे दोनों पी पर 0 होते हैं, तो हमारे पास एक गणितीय विलक्षणता (दोहरा बिंदु, पुच्छ (एकवचन) या कुछ और अधिक जटिल) होती है। . सामान्य परिभाषा यह है कि C के एकवचन बिंदु ऐसे मामले हैं जब स्पर्शरेखा स्थान का आयाम 2 होता है।

परिभाषा

अधिकतम आदर्श के साथ स्थानीय वलय R का कोटैंजेंट स्थान ${\mathfrak {m}}$ होने के लिए परिभाषित किया गया है

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

कहाँ ${\mathfrak {m}}$²आदर्शों के उत्पाद द्वारा दिया जाता है। यह अवशेष क्षेत्र k:= R/ पर एक सदिश समष्टि है${\mathfrak {m}}$. इसके दोहरे सदिश समष्टि (k-वेक्टर समष्टि के रूप में) को R का 'स्पर्शरेखा समष्टि' कहा जाता है।

यह परिभाषा उपरोक्त उदाहरण का उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण है: मान लीजिए कि एक बीजगणितीय विविधता वी और वी का एक बिंदु वी दिया गया है। नैतिक रूप से, संशोधित करना${\mathfrak {m}}$² कुछ एफ़िन स्पेस के अंदर वी को परिभाषित करने वाले समीकरणों से गैर-रैखिक शब्दों को हटाने से मेल खाता है, इसलिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाती है जो स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करती है।

स्पर्शरेखा स्थान $T_{P}(X)$ और कोटैंजेंट स्पेस $T_{P}^{*}(X)$ एक बिंदु P पर एक योजना X का (सह)स्पर्शरेखा स्थान है ${\mathcal {O}}_{X,P}$. रिंग के स्पेक्ट्रम के कारण#कार्यात्मकता, प्राकृतिक भागफल मानचित्र $f:R\rightarrow R/I$ एक समरूपता उत्पन्न करता है $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ X=Spec(R), P के लिए Y=Spec(R/I) में एक बिंदु। इसका उपयोग एंबेड करने के लिए किया जाता है $T_{P}(Y)$ में $T_{f^{-1}P}(X)$. चूँकि क्षेत्रों की आकृतियाँ इंजेक्शन योग्य होती हैं, जी द्वारा प्रेरित अवशेष क्षेत्रों का प्रक्षेपण एक समरूपता है। फिर कोटैंजेंट रिक्त स्थान का एक रूपवाद k, द्वारा दिए गए g से प्रेरित होता है

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)$

$\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).$

चूँकि यह एक अनुमान है, एक रेखीय मानचित्र का Transpose#Transpose $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$ एक इंजेक्शन है.

(अक्सर समान तरीके से मैनिफोल्ड के लिए स्पर्शरेखा स्थान और कोटैंजेंट स्थान को परिभाषित किया जाता है।)

विश्लेषणात्मक कार्य

यदि V एक आदर्श I द्वारा परिभाषित n-आयामी वेक्टर समष्टि की एक उप-विविधता है, तो R = F_n/ मैं, जहां एफ_nइस सदिश समष्टि पर चिकने/विश्लेषणात्मक/होलोमोर्फिक कार्यों का वलय है। x पर ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान है

एम_n / (आई+एम_n²),

कहाँ एम_nएफ में उन कार्यों से युक्त अधिकतम आदर्श है_nx पर लुप्त हो रहा है।

उपरोक्त समतलीय उदाहरण में, I = (F(X,Y)), और I+m² = (L(X,Y))+m².

गुण

यदि R एक नोथेरियन अंगूठी स्थानीय रिंग है, तो स्पर्शरेखा स्थान का आयाम कम से कम R का क्रुल आयाम है:

मंद मी/मी² ≧ मंद आर

यदि समानता कायम रहे तो R को नियमित स्थानीय वलय कहा जाता है। अधिक ज्यामितीय भाषा में, जब R एक बिंदु v पर विविधता V का स्थानीय वलय है, तो कोई यह भी कहता है कि v एक नियमित बिंदु है। अन्यथा इसे 'एकवचन बिंदु' कहा जाता है।

स्पर्शरेखा स्थान की व्याख्या K[t]/(t) के संदर्भ में है²), K के लिए दोहरी संख्या; योजना (गणित) की भाषा में, Spec K[t]/(t) से समरूपता²) एक योजना के लिए इसलिए, कोई स्पर्शरेखा सदिशों के बारे में भी बात करता है। यह भी देखें: फ़नकार का स्पर्शरेखा स्थान।

सामान्य तौर पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम बहुत बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो $C^{1}(\mathbf {R} )$ निरंतर विभेदित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का वलय बनें $\mathbf {R}$. परिभाषित करना $R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )$ मूल में ऐसे कार्यों के रोगाणुओं की अंगूठी होना। फिर आर एक स्थानीय वलय है, और इसके अधिकतम आदर्श एम में सभी रोगाणु शामिल हैं जो मूल पर गायब हो जाते हैं। कार्य $x^{\alpha }$ के लिए $\alpha \in (1,2)$ ज़ारिस्की कोटैंजेंट स्पेस में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर को परिभाषित करें $m/m^{2}$, तो का आयाम $m/m^{2}$ कम से कम है ${\mathfrak {c}}$, सातत्य की प्रमुखता। ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम $(m/m^{2})^{*}$ इसलिए कम से कम है $2^{\mathfrak {c}}$. दूसरी ओर, एन-मैनिफोल्ड में एक बिंदु पर सुचारू कार्यों के रोगाणुओं की अंगूठी में एन-आयामी ज़ारिस्की कोटैंजेंट स्थान होता है।

यह भी देखें

• स्पर्शरेखा शंकु
• जेट (गणित)

स्रोत

• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998). योजनाओं की ज्यामिति. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5 – via Internet Archive.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
• Zariski, Oscar (1947). "एक अमूर्त बीजगणितीय विविधता के एक सरल बिंदु की अवधारणा". Transactions of the American Mathematical Society. 62: 1–52. doi:10.1090/S0002-9947-1947-0021694-1. MR 0021694. Zbl 0031.26101.

बाहरी संबंध

• Zariski tangent space. V.I. Danilov (originator), Encyclopedia of Mathematics.