बीजगणितीय चक्रों पर मानक अनुमान

गणित में, बीजगणितीय चकों के बारे में मानक अनुमान बीजगणितीय चक्रों और वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत के संबंध का वर्णन करने वाले कई अनुमान हैं। इन अनुमानों के मूल अनुप्रयोगों में से एक, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा परिकल्पित, यह सिद्ध करना करना था कि उनके मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति) के निर्माण ने एबेलियन श्रेणी दी जो कि अर्धसरल श्रेणी है। इसके अतिरिक्त, जैसा कि उन्होंने बताया, मानक अनुमान वेइल अनुमान का सबसे कठिन हिस्सा भी दर्शाते हैं, अर्थात् रीमैन परिकल्पना अनुमान जो 1960 के दशक के अंत में खुला रहा और बाद में पियरे डेलिग्ने द्वारा सिद्ध किया गया; वेइल और मानक अनुमानों के बीच लिंक पर विवरण के लिए देखें Kleiman (1968). मानक अनुमान खुली समस्याएँ बने रहते हैं, जिससे उनका अनुप्रयोग केवल परिणामों का सशर्त प्रमाण देता है। वेइल अनुमान सहित कुछ मामलों में, ऐसे परिणामों को बिना शर्त सिद्ध करना करने के लिए अन्य तरीके पाए गए हैं।

मानक अनुमानों के मौलिक सूत्रीकरण में निश्चित वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत सम्मिलित होता है H. सभी अनुमान बीजगणितीय सह-समरूपता वर्गों से संबंधित हैं, जिसका अर्थ है सुचारु प्रक्षेप्य किस्म के सह-समरूपता पर रूपवाद

H^∗(X) → H^∗(X)

उत्पाद पर तर्कसंगत गुणांकों के साथ बीजगणितीय चक्र द्वारा प्रेरित X × X चक्र वर्ग मानचित्र के माध्यम से, जो वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत की संरचना का हिस्सा है।

अनुमान ए, अनुमान बी के बराबर है (देखें)। Grothendieck (1969), पी। 196), और इसलिए सूचीबद्ध नहीं है।

लेफ्शेट्ज़ प्रकार मानक अनुमान (अनुमान बी)

वेइल सिद्धांत के सिद्धांतों में से तथाकथित कठिन लेफ्शेट्ज़ प्रमेय (या स्वयंसिद्ध) है:

एक निश्चित चिकने हाइपरप्लेन अनुभाग से शुरुआत करें

W = H ∩ X,

कहाँ Xपरिवेशीय प्रक्षेप्य स्थान में दी गई सहज प्रक्षेप्य विविधता है P^N और H हाइपरप्लेन है. फिर के लिए i ≤ n = dim(X), लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर

L : Hⁱ(X) → Hⁱ⁺²(X),

जिसे कोहोमोलोजी वर्गों के साथ प्रतिच्छेद करके परिभाषित किया गया है W, समरूपता देता है

Lⁿ⁻ⁱ : Hⁱ(X) → H²ⁿ⁻ⁱ(X).

अब, के लिए i ≤ n परिभाषित करना:

Λ = (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ) : Hⁱ(X) → Hⁱ⁻²(X)

Λ = (Lⁿ⁻ⁱ) ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ : H²ⁿ⁻ⁱ⁺²(X) → H²ⁿ⁻ⁱ(X)

अनुमान में कहा गया है कि लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर (Λ) बीजगणितीय चक्र से प्रेरित है।

कुनेथ प्रकार मानक अनुमान (अनुमान सी)

यह अनुमान लगाया गया है कि प्रोजेक्टर

H^∗(X) ↠ Hⁱ(X) ↣ H^∗(X)

बीजगणितीय हैं, अर्थात चक्र से प्रेरित हैं πⁱ ⊂ X × X तर्कसंगत गुणांक के साथ। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सहज प्रक्षेप्य विविधता का मकसद (और अधिक सामान्यतः, हर मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति)) के रूप में विघटित होता है

$h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).$

मकसद $h^{0}(X)$ और $h^{2dim(X)}$ इसे हमेशा सीधे सारांश के रूप में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए अनुमान तुरंत वक्रों के लिए मान्य होता है। यह सतहों के लिए सिद्ध करना हुआ था Murre (1990).

Katz & Messing (1974) ने मनमाने आयाम में, सीमित क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय किस्मों के लिए अनुमान दिखाने के लिए वेइल अनुमान का उपयोग किया है।

Šermenev (1974) एबेलियन किस्मों ए के लिए कुनेथ अपघटन सिद्ध करना  हुआ।

Deninger & Murre (1991) ने ए के चाउ मकसद के कार्यात्मक कुनेथ अपघटन को प्रदर्शित करके इस परिणाम को परिष्कृत किया, जैसे कि एबेलियन किस्म पर एन-गुणा कार्य करता है $n^{i}$ i-वें सारांश पर $h^{i}(A)$. de Cataldo & Migliorini (2002) चिकनी सतह में बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना के लिए कुनेथ अपघटन सिद्ध करना हुआ।

अनुमान डी (संख्यात्मक तुल्यता बनाम समरूप तुल्यता)

अनुमान डी बताता है कि संख्यात्मक और समरूप पर्याप्त_समतुल्य_संबंध सहमत हैं। (इसका तात्पर्य यह है कि विशेष रूप से उत्तरार्द्ध वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। यह अनुमान लेफ्शेट्ज़ अनुमान का तात्पर्य है। यदि हॉज मानक अनुमान मान्य है, तो लेफ्शेट्ज़ अनुमान और अनुमान डी समकक्ष हैं।

यह अनुमान लिबरमैन द्वारा अधिकतम 4 आयाम वाली किस्मों और एबेलियन किस्म के लिए दिखाया गया था।

हॉज मानक अनुमान

हॉज मानक अनुमान हॉज सूचकांक प्रमेय पर आधारित है। यह आदिम बीजगणितीय सहविज्ञान वर्गों पर कप उत्पाद युग्मन की निश्चितता (सकारात्मक या नकारात्मक, आयाम के अनुसार) बताता है। यदि यह मान्य है, तो लेफ्शेट्ज़ अनुमान अनुमान डी का तात्पर्य है। विशेषता शून्य में हॉज मानक अनुमान हॉज सिद्धांत का परिणाम है। सकारात्मक विशेषता में हॉज मानक अनुमान सतहों के लिए जाना जाता है (Grothendieck (1958)) और आयाम 4 की एबेलियन किस्मों के लिए (Ancona (2020)).

हॉज मानक अनुमान को हॉज अनुमान के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो बताता है कि चिकनी प्रक्षेप्य किस्मों के लिए C, हर तर्कसंगत (p, p)-वर्ग बीजगणितीय है। हॉज अनुमान का तात्पर्य विशेषता शून्य के क्षेत्रों में किस्मों के लिए लेफ्शेट्ज़ और कुनेथ अनुमान और अनुमान डी से है। टेट अनुमान का तात्पर्य सभी क्षेत्रों में लेफ्शेट्ज़, कुनेथ और एटेल कोहोमोलॉजी|ℓ-एडिक कोहोमोलॉजी के लिए अनुमान डी से है।

मानक अनुमानों के स्थायित्व गुण

दो बीजगणितीय किस्मों X और Y के लिए, Arapura (2006) ने शर्त प्रस्तुत की है कि Y, उदाहरण के लिए, यदि कोई विशेषण रूपवाद है तो Y प्रेरित होता है $X^{n}\to Y$. यदि Y श्रेणी में नहीं पाया जाता है, तो यह उस संदर्भ में अप्रयुक्त है। सुचारु प्रक्षेप्य समष्टि बीजगणितीय किस्मों X और Y के लिए, जैसे कि Y, X की सभी शक्तियाँ इस तथ्य को दिखाने के लिए लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, बीजगणितीय सतह पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना के लिए लेफ्शेट्ज़ अनुमान।

अन्य अनुमानों से संबंध

Beilinson (2012) ने दिखाया है कि उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणी पर तथाकथित मोटिविक टी-संरचना का (अनुमानात्मक) अस्तित्व लेफ्शेट्ज़ और कुनेथ मानक अनुमान बी और सी का तात्पर्य है।

संदर्भ

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• Beilinson, A. (2012), "Remarks on Grothendieck's standard conjectures", Regulators, Contemp. Math., vol. 571, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 25–32, arXiv:1006.1116, doi:10.1090/conm/571/11319, ISBN 9780821853221, MR 2953406, S2CID 119687821

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• Katz, Nicholas M.; Messing, William (1974), "Some consequences of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields", Inventiones Mathematicae, 23: 73–77, Bibcode:1974InMat..23...73K, doi:10.1007/BF01405203, MR 0332791, S2CID 121989640
• Kleiman, Steven L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838.

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• Kleiman, Steven L. (1994), "The standard conjectures", Motives (Seattle, WA, 1991), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 55, American Mathematical Society, pp. 3–20, MR 1265519.

• Šermenev, A. M. (1974), "Motif of an Abelian variety", Funckcional. Anal. I Priložen, 8 (1): 55–61, MR 0335523

बाहरी संबंध

• Progress on the standard conjectures on algebraic cycles
• Analogues Kähleriens de certaines conjectures de Weil. J.-P Serre (extrait d'une lettre a A. Weil, 9 Nov. 1959) scan