हॉपफ मैनिफोल्ड

जटिल ज्यामिति में, एक हॉपफ मैनिफोल्ड (Hopf 1948) प्राप्त होना जटिल सदिश समष्टि के भागफल के रूप में (शून्य हटाए जाने के साथ) $({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)$ समूह की एक समूह क्रिया (गणित) द्वारा (गणित) $\Gamma \cong {\mathbb {Z} }$ का जनरेटर के साथ पूर्णांक $\gamma$ का $\Gamma$ होलोमोर्फिक संकुचन मानचित्रण द्वारा कार्य करना। यहाँ, एक होलोमोर्फिक संकुचन एक नक्शा है $\gamma :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}$ ऐसा कि पर्याप्त रूप से बड़ा पुनरावृत्ति $\;\gamma ^{N}$ किसी भी दिए गए कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय को मैप करता है ${\mathbb {C} }^{n}$ 0 के एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस (गणित) पर।

द्वि-आयामी हॉपफ मैनिफोल्ड्स को हॉपफ सतहें कहा जाता है।

उदाहरण

एक सामान्य स्थिति में, $\Gamma$ उत्पन्न होता है एक रैखिक संकुचन द्वारा, आमतौर पर एक विकर्ण मैट्रिक्स

$q\cdot Id$, साथ $q\in {\mathbb {C} }$

एक सम्मिश्र संख्या, $0<|q|<1$. ऐसे अनेक गुना इसे क्लासिकल हॉफ मैनिफोल्ड कहा जाता है।

गुण

एक हॉपफ मैनिफोल्ड $H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }$ से भिन्न है $S^{2n-1}\times S^{1}$. के लिए $n\geq 2$, यह गैर-काहलर मैनिफोल्ड है|काहलर। वास्तव में, यह भी नहीं है सहानुभूतिपूर्ण क्योंकि दूसरा सहसंयोजक समूह शून्य है।

हाइपरकॉम्प्लेक्स संरचना

सम-आयामी हॉफ मैनिफोल्ड्स स्वीकार करते हैं हाइपरकॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड. हॉपफ सतह क्वाटरनियोनिक आयाम 1 का एकमात्र कॉम्पैक्ट हाइपरकॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है जो हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड|हाइपरकेहलर नहीं है।

संदर्भ

• Hopf, Heinz (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Studies and Essays Presented to R. Courant on his 60th Birthday, January 8, 1948, Interscience Publishers, Inc., New York, pp. 167–185, MR 0023054
• Ornea, Liviu (2001) [1994], "Hopf manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press