पेरिन संख्या

गणित में, पेरिन संख्याओं को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है

P (n) = P (n - 2) + P (n - 3)

के लिए

n > 2

,

प्रारंभिक मूल्यों के साथ

P (0) = 3, P (1) = 0, P (2) = 2

.

पेरिन संख्याओं का पूर्णांक अनुक्रम शुरू होता है

3 (संख्या), 0 (संख्या), 2 (संख्या), 3, 2, 5 (संख्या), 5, 7 (संख्या), 10 (संख्या), 12 (संख्या), 17 (संख्या), 22 (संख्या ), 29 (संख्या), 39 (संख्या), ... (sequence A001608 in the OEIS)

एक में विभिन्न अधिकतम स्वतंत्र सेटों की संख्या $n$ -वर्टेक्स चक्र ग्राफ़ द्वारा गिना जाता है $n$ वें पेरिन नंबर के लिए $n > 1$ .^[1]^{[page needed]}

इतिहास

इस क्रम का उल्लेख एडौर्ड लुकास (1876) द्वारा स्पष्ट रूप से किया गया था। 1899 में, इसी क्रम का स्पष्ट रूप से उल्लेख फ्रांकोइस ओलिवर राउल पेरिन द्वारा किया गया था।^[2]^{[page needed]}इस क्रम का सबसे व्यापक उपचार एडम्स और शैंक्स (1982) द्वारा दिया गया था।

गुण

कार्य उत्पन्न करना

पेरिन अनुक्रम का जनक कार्य है

G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.

मैट्रिक्स सूत्र

{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}^{\!n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n\right)\\P\left(n+1\right)\\P\left(n+2\right)\end{pmatrix}}

बिनेट जैसा सूत्र

भुजाओं की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुजों का सर्पिल जो पेरिन अनुक्रम का अनुसरण करता है।

पेरिन संख्याओं को समीकरण के बहुपद के मूल की घातों के रूप में लिखा जा सकता है

x^{3}-x-1=0.

इस समीकरण के 3 मूल हैं; एक वास्तविक संख्या मूल p (प्लास्टिक संख्या के रूप में जाना जाता है) और दो जटिल संयुग्मी मूल q और r। इन तीन जड़ों को देखते हुए, लुकास अनुक्रम बिनेट सूत्र का पेरिन अनुक्रम एनालॉग है

P(n)=p^{n}+q^{n}+r^{n}.

चूँकि सम्मिश्र संख्या मूल q और r दोनों का निरपेक्ष मान 1 से कम है, इन मूलों की शक्तियाँ बड़े n के लिए अनुक्रम 0 की सीमा तय करती हैं। बड़े n के लिए सूत्र कम हो जाता है

P(n)\approx p^{n}

इस सूत्र का उपयोग बड़े n के लिए पेरिन अनुक्रम के मानों की त्वरित गणना करने के लिए किया जा सकता है। पेरिन अनुक्रम में क्रमिक पदों का अनुपात p, अर्थात प्लास्टिक संख्या के करीब पहुंचता है, जिसका मान लगभग 1.324718 है। यह स्थिरांक पेरिन अनुक्रम से वही संबंध रखता है जो स्वर्णिम अनुपात लुकास संख्या से करता है। इसी तरह के संबंध पी और पाडोवन अनुक्रम के बीच, सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच, और चांदी अनुपात और पेल संख्याओं के बीच भी मौजूद हैं।

गुणन सूत्र

बिनेट सूत्र से, हम G(n − 1), G(n) और G(n+ 1) के संदर्भ में G(kn) के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं; हम जानते हैं

{\begin{matrix}G(n-1)&=&p^{-1}p^{n}+&q^{-1}q^{n}+&r^{-1}r^{n}\\G(n)&=&p^{n}+&q^{n}+&r^{n}\\G(n+1)&=&pp^{n}+&qq^{n}+&rr^{n}\end{matrix}}

जो हमें विभाजन क्षेत्र पर गुणांकों के साथ रैखिक समीकरणों की तीन प्रणालियाँ देता है $x^{3}-x-1$ ; व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स द्वारा एक मैट्रिक्स (गणित) जिसे हम हल कर सकते हैं $p^{n},q^{n},r^{n}$ और फिर हम उन्हें kth घात तक बढ़ा सकते हैं और योग की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली कोड:

पी<x> := बहुपद रिंग(तर्कसंगत());
S<t> := स्प्लिटिंगफ़ील्ड(x^3-x-1);
P2<y> := बहुपद रिंग(एस);
p,q,r := विस्फोट([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]);
Mi:=मैट्रिक्स([[1/पी,1/क्यू,1/आर],[1,1,1],[पी,क्यू,आर]])^(-1);
T<u,v,w> := बहुपद रिंग(S,3);
v1 := चेंजरिंग(एमआई,टी) *मैट्रिक्स([[यू],[वी],[डब्ल्यू]]);
[p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]] ;

परिणाम के साथ, यदि हमारे पास है $u=G(n-1),v=G(n),w=G(n+1)$ , तब

\begin{matrix} 23 G (2 n - 1) & = & 4 u^{2} + 3 v^{2} + 9 w^{2} + 18 u v - 12 u w - 4 v w \\ 23 G (2 n) & = & - 6 u^{2} + 7 v^{2} - 2 w^{2} - 4 u v + 18 u w + 6 v w \\ 23 G (2 n + 1) & = & 9 u^{2} + v^{2} + 3 w^{2} + 6 u v - 4 u w + 14 v w \\ 23 G (3 n - 1) & = & (- 4 u^{3} + 2 v^{3} - w^{3} + 9 (u v^{2} + v w^{2} + w u^{2}) + 3 v^{2} w + 6 u v w) \\ 23 G (3 n) & = & (3 u^{3} + 2 v^{3} + 3 w^{3} - 3 (u \end{matrix}

यहां संख्या 23 अनुक्रम के परिभाषित बहुपद के विवेचक#डिग्री 3 से उत्पन्न होती है। यह पूर्णांक अंकगणित का उपयोग करके nवें पेरिन संख्या की गणना की अनुमति देता है

O(\log n)

गुणा करता है.

अभाज्य और विभाज्यता

पेरिन स्यूडोप्राइम्स

यह गणितीय प्रमाण है कि सभी अभाज्य संख्या p के लिए, p, P(p) को विभाजित करता है। हालाँकि, उलटा (तर्क) सत्य नहीं है: कुछ मिश्रित संख्याओं n के लिए, n अभी भी P(n) को विभाजित कर सकता है। यदि n में यह गुण है, तो इसे पेरिन स्यूडोप्राइम कहा जाता है।

पहले कुछ पेरिन स्यूडोप्राइम हैं

271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291, 102690901, 130944133, 196075949, 214038533, 517697641, 545670533, 801123451, 855073301, 903136901, 970355431, ... (sequence A013998 in the OEIS)

पेरिन स्यूडोप्राइम्स के अस्तित्व के प्रश्न पर स्वयं पेरिन ने विचार किया था, लेकिन यह ज्ञात नहीं था कि एडम्स और शैंक्स (1982) द्वारा सबसे छोटे छद्मप्राइम्स की खोज किए जाने तक वे अस्तित्व में थे या नहीं, 271441 = 521²; अगला सबसे छोटा 904631 = 7 × 13 × 9941 है। उनमें से सत्रह एक अरब से कम हैं;^[3] जॉन ग्रांथम ने साबित कर दिया है कि पेरिन छद्मप्राइम्स अनंत रूप से कई हैं।^[4] एडम्स और शैंक्स (1982) ने कहा कि अभाज्य संख्याएँ भी इस शर्त को पूरा करती हैं कि P(−p) = −1 mod p. ऐसे कंपोजिट जहां दोनों गुण मौजूद होते हैं, प्रतिबंधित पेरिन स्यूडोप्राइम कहलाते हैं (sequence A018187 in the OEIS). आगे की शर्तों को एन के छह तत्व हस्ताक्षर का उपयोग करके लागू किया जा सकता है जो तीन रूपों में से एक होना चाहिए (उदाहरण के लिए) OEIS: A275612 और OEIS: A275613).

जबकि पेरिन स्यूडोप्राइम दुर्लभ हैं, उनका फ़र्मेट स्यूडोप्राइम्स के साथ महत्वपूर्ण ओवरलैप है। यह लुकास स्यूडोप्राइम्स के विपरीत है जो सहसंबद्ध विरोधी हैं। बाद की स्थिति का उपयोग लोकप्रिय, कुशल और अधिक प्रभावी बैली-पीएसडब्ल्यू प्राइमलिटी परीक्षण प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिसमें कोई ज्ञात छद्मप्राइम नहीं होता है, और सबसे छोटा 2 से बड़ा माना जाता है।⁶⁴.

पेरिन अभाज्य

पेरिन अभाज्य एक पेरिन संख्या है जो अभाज्य संख्या है। पहले कुछ पेरिन अभाज्य हैं:

2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 66241160488780141071 579864797, ... (sequence A074788 in the OEIS)

इन पेरिन अभाज्यों के लिए, सूचकांक $n$ का $P (n)$ है

2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 20, 21, 24, 34, 38, 75, 122, 166, 236, 355, 356, 930, 1042, 1214, 1461, 1622, 4430 , 5802, 9092, ... (sequence A112881 in the OEIS)

P(n) उत्पन्न करना जहां n एक ऋणात्मक पूर्णांक है, मौलिकता के संबंध में एक समान गुण उत्पन्न करता है: यदि n एक ऋणात्मक है, तो P(n) अभाज्य है जब P(n) mod −n = −n − 1. निम्नलिखित अनुक्रम P का प्रतिनिधित्व करता है (n) उन सभी n के लिए जो ऋणात्मक पूर्णांक हैं:

−1, 1, 2, −3, 4, −2, −1, 5, −7, 6, −1, −6, 12, −13, 7, 5, −18, 25, −20, 2 , 23, −43, 45, −22, −21, 66, −88, 67, −1, ... (sequence A078712 in the OEIS)

संदर्भ

Füredi, Zoltán (1987). "The number of maximal independent sets in connected graphs". Journal of Graph Theory. 11 (4): 463–470. doi:10.1002/jgt.3190110403.

Knuth, Donald E. (2011). The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1. Addison-Wesley. ISBN 978-0201038040.

Grantham, Jon (2010). "There are infinitely many Perrin pseudoprimes" (PDF). Journal of Number Theory. 130 (5): 1117–1128. arXiv:1903.06825. doi:10.1016/j.jnt.2009.11.008. S2CID 13935283.

अग्रिम पठन

Adams, William; Shanks, Daniel (1982). "Strong primality tests that are not sufficient". Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 39 (159): 255–300. doi:10.2307/2007637. JSTOR 2007637. MR 0658231.

Perrin, R. (1899). "Query 1484". L'Intermédiaire des Mathématiciens. 6: 76.

Lucas, E. (1878). "Théorie des fonctions numériques simplement périodiques". American Journal of Mathematics. The Johns Hopkins University Press. 1 (3): 197–240. doi:10.2307/2369311. JSTOR 2369311.

बाहरी संबंध

Zentrum für Hirnforschung Institut für Medizinische Kybernetik und Artificial Intelligence
"Lucas Pseudoprimes". MathPages.com.
"Perrin's Sequence". MathPages.com.
OEIS sequence A225876 (Composite n which divide s(n)+1, where s is ...)—Perrin-like sequence
Perrin Primality Tests

[1] Füredi (1987)

[2] Knuth (2011)

[3] (sequence A013998 in the OEIS)

[4] Grantham (2010)

[1]

[2]

[3]

[4]

v t e प्राइम नंबर कक्षाएं
सूत्र द्वारा	[[Fermat संख्या \| fermat ( $2 2 n + 1$ )]] [[Mersenne Prime \| Mersenne ( $2 p - 1$ )]] [[डबल मर्सन नंबर \| डबल मर्सन ( $2 2 p -1 - 1$ 0]] [[Wagstaff Prime \| Wagstaff $(2 p + 1)/3$ ]] [[प्रोथ प्राइम \| प्रोथ ( $k \cdot2 n + 1$ )]] [[फैक्टरियल प्राइम \| फैक्टरियल ( $n! \pm 1$ )]] [[प्राइमोरियल प्राइम \| प्राइमोरियल ( $p n # \pm 1$ )]] [[यूक्लिड नंबर \| Euclid ( $p n # + 1$ )]] [[पाइथागोरियन प्राइम \| पाइथागोरियन ( $4 n + 1$ )]] [[पियरपॉन्ट प्राइम \| पियरपोंट ( $2 m \cdot3 n + 1$ )]] [[फौयन प्राइम \| क्वार्टन ( $x 4 + y 4$ )]] [[प्राइम सोलिनास \| सोलिनास ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ )]] [[कुलेन नंबर \| कुलेन ( $n \cdot2 n + 1$ )]] [[वुडल नंबर \| वुडल ( $n \cdot2 n - 1$ )]] [[क्यूबन प्राइम \| क्यूबन (क्यूबन () $x 3 - y 3)/(x - y$ ]] [[Leyland संख्या \| Leyland ( $x y + y x$ )]] [[Thabit संख्या \| thabit ( $3\cdot2 n - 1$ )]] [[विलियम्स नंबर \| विलियम्स ( $(b -1)\cdot b n - 1$ )]] [[मिल्स निरंतर \| मिल्स ( $⌊ A 3 n ⌋$ )]]
पूर्णांक अनुक्रम द्वारा	Fibonacci लुकास पेल न्यूमैन -शैंक्स -विलियम्स पेरिन विभाजन बेल Motzkin
संपत्ति से	Wieferich ( जोड़ी) वॉल -सन -सन वोल्स्टेनहोल्मे विल्सन भाग्यशाली भाग्यशाली रामानुजन पिल्लई नियमित मजबूत स्टर्न सुपरसिंगुलर (अण्डाकार वक्र) सुपरसिंगुलर (मूनशाइन थ्योरी) अच्छा सुपर हिग्स अत्यधिक cototient अद्वितीय
आधार-आश्रित	पालिंड्रोमिक एमिर्प [[Repunit \| repunit $(10 n - 1)/9$ ]] पारगम्य परिपत्र truncatable न्यूनतम नाजुक प्राइमवेल पूर्ण रेप्टेंड अद्वितीय [हैप्पी नंबर # हैप्पी प्राइम्स
पैटर्न्स	[[ट्विन प्राइम \| ट्विन ( $p, p + 2$ ]] [[पिंडली के पेट \| शिन पेट ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ]] [[प्राइम ट्रिपल \| ट्रिपल ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ]] [[प्राइम क्वाड्रुप्लेट \| क्वाड्रुलेट ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ]] k -tuple [[चचेरे भाई प्राइम \| चचेरे भाई ( $p, p + 4$ ]] [[सेक्सी प्राइम \| सेक्सी ( $p, p + 6$ ]] चेन [[सेफ एंड सोफी जर्मेन प्राइम्स \| सोफी जर्मेन/सेफ ( $p, 2 p + 1$ ]] [[कनिंघम श्रृंखला \| कनिंघम ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ]] [[अंकगणितीय प्रगति में primes \| अंकगणितीय प्रगति ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ]] [[संतुलित प्राइम \| संतुलित ( $consecutive p - n, p, p + n$ ]]
आकार से	मेगा(1,000,000+ अंक) सबसे बड़ा ज्ञात सूची
जटिल संख्या	Eisenstein Prime गाऊसी प्राइम
समग्र संख्या	स्यूडोप्राइम कैटलन अण्डाकार यूलर Euler -Jacobi Fermat फ्रोबेनियस लुकास सोमर -लुकास मजबूत कारमाइकल नंबर लगभग प्रमुख सेमीप्रीम इंटरप्राइम घबराहट
संबंधित विषय	संभावित प्राइम औद्योगिक-ग्रेड प्राइम अवैध प्राइम प्राइम्स के लिए सूत्र प्राइम गैप
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