कोडैरा लुप्त प्रमेय

गणित में, कोडैरा लुप्त प्रमेय जटिल मैनिफोल्ड सिद्धांत और जटिल बीजगणितीय ज्यामिति का एक मूल परिणाम है, जो सामान्य स्थितियों का वर्णन करता है जिसके तहत सूचकांक क्यू > 0 वाले शीफ़ कोहोमोलोजी समूह स्वचालित रूप से शून्य होते हैं। सूचकांक q = 0 वाले समूह के लिए निहितार्थ आमतौर पर यह है कि इसका आयाम - स्वतंत्र वैश्विक वर्गों की संख्या - एक होलोमोर्फिक यूलर विशेषता के साथ मेल खाता है जिसे हिरज़ेब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

जटिल विश्लेषणात्मक मामला

कुनिहिको कोदैरा के परिणाम का कथन यह है कि यदि एम जटिल आयाम एन का एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है, एल एम पर कोई होलोमोर्फिक लाइन बंडल है जो सकारात्मक रूप है, और के_Mतो, विहित बंडल है

$H^{q}(M,K_{M}\otimes L)=0$

q > 0 के लिए। यहाँ $K_{M}\otimes L$ लाइन बंडलों के टेंसर उत्पाद के लिए खड़ा है। सेरे द्वैत के माध्यम से व्यक्ति लुप्त भी हो जाता है $H^{q}(M,L^{\otimes -1})$ क्यू <एन के लिए. एक सामान्यीकरण है, नाकानो लुप्त प्रमेय|कोडैरा-नाकानो लुप्त प्रमेय, जिसमें $K_{M}\otimes L\cong \Omega ^{n}(L)$, कहां Ωⁿ(L) Dolbeault कॉम्प्लेक्स के शीफ को दर्शाता है | L पर मानों के साथ M पर होलोमोर्फिक (n,0)-फॉर्म, Ω द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है^r(L), होलोमोर्फिक (r,0) का शीफ-L पर मानों के साथ बनता है। फिर कोहोमोलॉजी समूह H^क्यू(एम, Ω^r(L)) जब भी q+r>n गायब हो जाता है।

बीजगणितीय मामला

कोडैरा लुप्त प्रमेय को काहलर मेट्रिक्स जैसे पारलौकिक तरीकों के संदर्भ के बिना बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में तैयार किया जा सकता है। लाइन बंडल एल की सकारात्मकता संबंधित उलटे शीफ में पर्याप्त लाइन बंडल में तब्दील हो जाती है (यानी, कुछ टेंसर शक्ति एक प्रक्षेप्य एम्बेडिंग देती है)। बीजगणितीय कोडैरा-अकिज़ुकी-नाकानो लुप्त प्रमेय निम्नलिखित कथन है:

यदि k विशेषता (बीजगणित) शून्य का एक क्षेत्र (गणित) है,

$H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q>d,{\text{ and}}$

$H^{q}(X,L^{\otimes -1}\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q<d,$

जहां Ω^{पी सापेक्ष (बीजगणितीय) अंतर रूपों के शीफ (गणित) को दर्शाता है (देखें काहलर अंतर)।}

Raynaud (1978) ने दिखाया कि यह परिणाम हमेशा विशेषता पी > 0 के क्षेत्रों पर कायम नहीं रहता है, और विशेष रूप से रेनॉड सतहों के लिए विफल रहता है। बाद में Sommese (1986) गैर-लॉग विहित विलक्षणताओं वाली एकवचन किस्मों के लिए एक प्रति उदाहरण दें, और भी,Lauritzen & Rao (1997) गैर-कम स्टेबलाइजर्स के साथ उचित सजातीय स्थानों से प्रेरित प्राथमिक प्रति-उदाहरण दिए।

हालाँकि, 1987 तक विशेषता शून्य में एकमात्र ज्ञात प्रमाण जटिल विश्लेषणात्मक प्रमाण और GAGA तुलना प्रमेयों पर आधारित था। हालाँकि, 1987 में पियरे डेलिग्ने और ल्यूक इलुसी ने लुप्त हो रहे प्रमेय का विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण दिया। (Deligne & Illusie 1987). उनका प्रमाण यह दिखाने पर आधारित है कि बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के लिए हॉज-डी राम वर्णक्रमीय अनुक्रम डिग्री 1 में खराब हो जाता है। यह विशेषता पी> 0 से संबंधित अधिक विशिष्ट परिणाम को उठाकर दिखाया गया है - सकारात्मक-विशेषता परिणाम सीमाओं के बिना नहीं रहता है लेकिन पूर्ण परिणाम प्रदान करने के लिए इसे उठाया जा सकता है।

परिणाम और अनुप्रयोग

ऐतिहासिक रूप से, कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय को लुप्त हो रहे प्रमेय की सहायता से प्राप्त किया गया था। सेरे द्वैत के अनुप्रयोग के साथ, वक्रों और सतहों के विभिन्न शीफ कोहोमोलॉजी समूहों (आमतौर पर कैनोनिकल लाइन बंडल से संबंधित) के गायब होने से जटिल मैनिफोल्ड्स के वर्गीकरण में मदद मिलती है, जैसे एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण।

यह भी देखें

• कावामाता-विहवेग लुप्त प्रमेय
• ममफोर्ड लुप्त प्रमेय
• रामानुजम लुप्तप्राय प्रमेय

संदर्भ

• Deligne, Pierre; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham", Inventiones Mathematicae, 89 (2): 247–270, Bibcode:1987InMat..89..247D, doi:10.1007/BF01389078, S2CID 119635574
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems (PDF), DMV Seminar, vol. 20, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913
• Phillip Griffiths and Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry
• Kodaira, Kunihiko (1953), "On a differential-geometric method in the theory of analytic stacks", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 39 (12): 1268–1273, Bibcode:1953PNAS...39.1268K, doi:10.1073/pnas.39.12.1268, PMC 1063947, PMID 16589409
• Lauritzen, Niels; Rao, Prabhakar (1997), "Elementary counterexamples to Kodaira vanishing in prime characteristic", Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., Springer Verlag, 107: 21–25, doi:10.1007/BF02840470, S2CID 16736679
• Raynaud, Michel (1978), "Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p>0", C. P. Ramanujam---a tribute, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., vol. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 273–278, MR 0541027
• Fujino, Osamu (2009). "Introduction to the log minimal model program for log canonical pairs". arXiv:0907.1506. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Sommese, Andrew John (1986). "On the adjunction theoretic structure of projective varieties". Complex Analysis and Algebraic Geometry. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1194. pp. 175–213. doi:10.1007/BFb0077004. ISBN 978-3-540-16490-6.