सामान्य गुण

See also: Negligible set

गणित में, विशिष्ट उदाहरणों के लिए उपयोग किए जाने वाले गुणों को सामान्य गुण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन (गणित) के एक वर्ग की एक सामान्य संपत्ति वह है जो लगभग सभी कार्यों के लिए सत्य है, जैसा कि कथनों में है, एक सामान्य बहुपद में शून्य पर एक फ़ंक्शन का शून्य नहीं होता है, या एक सामान्य वर्ग होता है मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है. एक अन्य उदाहरण के रूप में, किसी स्थान की सामान्य संपत्ति वह संपत्ति है जो अंतरिक्ष के लगभग सभी बिंदुओं पर होती है, जैसा कि कथन में है, यदि f : M → N चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच एक सुचारू कार्य है, फिर एक सामान्य बिंदु N का कोई महत्वपूर्ण मान नहीं है f. (यह सार्ड के प्रमेय द्वारा है।)

गणित में जेनेरिक (लगभग सभी का क्या मतलब है) की कई अलग-अलग धारणाएं हैं, जिनके अनुरूप द्वंद्व (गणित) लगभग कोई नहीं (नगण्य सेट) है; दो मुख्य वर्ग हैं:

• माप सिद्धांत में, एक सामान्य संपत्ति वह है जो लगभग हर जगह मौजूद होती है, जिसमें दोहरी अवधारणा शून्य सेट होती है, जिसका अर्थ संभावना 0 है।
• टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सामान्य गुण वह होता है जो घने सेट खुले सेट पर या अधिक आम तौर पर अवशिष्ट सेट पर होता है, दोहरी अवधारणा कहीं भी घने सेट नहीं होती है, या अधिक आम तौर पर एक अल्प सेट होती है।

ऐसे कई प्राकृतिक उदाहरण हैं जहां ये धारणाएं समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, लिउविले संख्याओं का सेट टोपोलॉजिकल अर्थ में सामान्य है, लेकिन लेबेस्ग का माप शून्य है।

माप सिद्धांत में

माप सिद्धांत में, एक सामान्य संपत्ति वह है जो लगभग हर जगह मौजूद होती है। दोहरी अवधारणा एक शून्य सेट है, यानी माप शून्य का एक सेट है।

प्रायिकता में

संभाव्यता में, एक सामान्य संपत्ति एक ऐसी घटना है जो लगभग निश्चित रूप से घटित होती है, जिसका अर्थ है कि यह संभावना 1 के साथ घटित होती है। उदाहरण के लिए, बड़ी संख्या का कानून कहता है कि नमूना माध्य लगभग निश्चित रूप से जनसंख्या माध्य में परिवर्तित होता है। संभाव्यता स्थान के लिए विशेषीकृत माप सिद्धांत मामले में यह परिभाषा है।

असतत गणित में

असतत गणित में, कोई व्यक्ति लगभग सभी शब्द का उपयोग कोफिनिट (परिमित रूप से कई को छोड़कर सभी), पर्याप्त रूप से बड़ी संख्याओं के लिए, सहगणनीय (गिनने योग्य कई को छोड़कर सभी), या, कभी-कभी, असममित रूप से लगभग निश्चित रूप से करता है। यादृच्छिक ग्राफ़ के अध्ययन में यह अवधारणा विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

टोपोलॉजी में

टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सामान्य गुण वह होता है जो एक घने सेट खुले सेट पर, या अधिक आम तौर पर एक अवशिष्ट सेट (घने खुले सेटों का एक गणनीय चौराहा) पर होता है, दोहरी अवधारणा एक बंद कहीं भी घने सेट, या अधिक होती है आम तौर पर एक अल्प सेट (कहीं नहीं घने बंद सेटों का एक गणनीय संघ)।

हालाँकि, अकेले घनत्व किसी सामान्य संपत्ति को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसे वास्तविक संख्याओं में भी देखा जा सकता है, जहां परिमेय संख्याएं और उनकी पूरक, अपरिमेय संख्याएं, दोनों घनी होती हैं। चूँकि यह कहने का कोई मतलब नहीं है कि एक समुच्चय और उसका पूरक दोनों विशिष्ट व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, तर्कसंगत और अपरिमेय दोनों ही विशिष्ट होने के लिए पर्याप्त बड़े सेट के उदाहरण नहीं हो सकते हैं। नतीजतन, हम ऊपर दी गई मजबूत परिभाषा पर भरोसा करते हैं जिसका तात्पर्य है कि तर्कहीन सामान्य हैं और तर्कसंगत नहीं हैं।

अनुप्रयोगों के लिए, यदि कोई संपत्ति एक अवशिष्ट सेट पर टिकी हुई है, तो यह हर बिंदु के लिए नहीं टिक सकती है, लेकिन इसे थोड़ा परेशान करने से आम तौर पर अवशिष्ट सेट के अंदर एक आ जाएगा (अल्प सेट के घटकों के घनत्व से कहीं नहीं), और ये इस प्रकार हैं प्रमेयों और एल्गोरिदम में संबोधित करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण मामला।

फ़ंक्शन स्पेस में

फ़ंक्शन स्पेस|सी में एक संपत्ति सामान्य है^आरयदि इस संपत्ति को धारण करने वाले सेट में व्हिटनी टोपोलॉजी में एक अवशिष्ट उपसमुच्चय शामिल है|सी^आरटोपोलॉजी. यहाँ सी^{r कार्य स्थान है जिसके सदस्य मैनिफोल्ड M से मैनिफोल्ड N तक निरंतर डेरिवेटिव के साथ निरंतर फ़ंक्शन हैं।}

अंतरिक्ष सी^आर(एम, एन), सी का^आरएम और एन के बीच मैपिंग, एक बाहर जगह है, इसलिए कोई भी अवशिष्ट सेट सघन सेट है। फ़ंक्शन स्पेस की यह संपत्ति सामान्य गुणों को विशिष्ट बनाती है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

बीजगणितीय किस्में

एक अप्रासंगिक बीजगणितीय किस्म X की एक संपत्ति को उदारतापूर्वक सत्य कहा जाता है यदि यह एक उचित ज़ारिस्की टोपोलॉजी को छोड़कर रखता है। यह परिभाषा उपरोक्त टोपोलॉजिकल परिभाषा से सहमत है, क्योंकि इरेड्यूसिबल बीजगणितीय किस्मों के लिए कोई भी गैर-रिक्त खुला सेट सघन है।

उदाहरण के लिए, नियमितता के लिए जैकोबियन मानदंड के अनुसार, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर विविधता का एक सामान्य बिंदु सुचारू होता है। (इस कथन को सामान्य चिकनाई के रूप में जाना जाता है।) यह सच है क्योंकि जैकोबियन मानदंड का उपयोग उन बिंदुओं के लिए समीकरण खोजने के लिए किया जा सकता है जो चिकनी नहीं हैं: वे बिल्कुल ऐसे बिंदु हैं जहां एक्स के एक बिंदु के जैकोबियन मैट्रिक्स में पूर्ण रैंक नहीं है . विशेषता शून्य में, ये समीकरण गैर-तुच्छ हैं, इसलिए वे विविधता के प्रत्येक बिंदु के लिए सत्य नहीं हो सकते हैं। नतीजतन, एक्स के सभी गैर-नियमित बिंदुओं का सेट एक्स का एक उचित ज़ारिस्की-बंद उपसमुच्चय है।

यहाँ एक और उदाहरण है. मान लीजिए f : X → Y दो बीजगणितीय किस्मों के बीच एक नियमित मानचित्र है। Y के प्रत्येक बिंदु y के लिए, y के ऊपर f के तंतु के आयाम पर विचार करें, अर्थात मंद f⁻¹(y). सामान्यतः यह संख्या स्थिर रहती है। जरूरी नहीं कि यह हर जगह स्थिर हो. यदि, मान लीजिए, X एक बिंदु पर Y का विस्फोट है और f प्राकृतिक प्रक्षेपण है, तो जिस बिंदु पर विस्फोट हुआ है, उसे छोड़कर f का सापेक्ष आयाम शून्य है, जहां यह मंद Y - 1 है।

कहा जाता है कि कुछ संपत्तियाँ बहुत उदारतापूर्वक धारण की जाती हैं। अक्सर इसका मतलब यह होता है कि ज़मीनी मैदान बेशुमार है और संपत्ति उचित ज़ारिस्की-बंद उपसमुच्चय के गणनीय संघ को छोड़कर सत्य है (यानी, संपत्ति घने Gδ सेट पर टिकी हुई है|G_δ तय करना)। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत रूप से जुड़ी विविधता पर विचार करते समय बहुत सामान्य की यह धारणा उत्पन्न होती है। हालाँकि, बहुत सामान्य की अन्य परिभाषाएँ अन्य संदर्भों में हो सकती हैं और होती भी हैं।

सामान्य बिंदु

Main article: Generic point

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय विविधता का एक सामान्य बिंदु एक ऐसा बिंदु होता है जिसके निर्देशांक विविधता के प्रत्येक बिंदु से संतुष्ट होने के अलावा किसी अन्य बीजगणितीय संबंध को संतुष्ट नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी फ़ील्ड पर एफ़िन स्पेस का एक सामान्य बिंदु k एक बिंदु है जिसके निर्देशांक बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं k.

योजना (गणित) में, जहां बिंदु उप-किस्में हैं, विविधता का एक सामान्य बिंदु एक ऐसा बिंदु है जिसका ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए समापन संपूर्ण विविधता है।

एक सामान्य संपत्ति सामान्य बिंदु की एक संपत्ति है। किसी भी उचित संपत्ति के लिए, यह पता चलता है कि संपत्ति उप-विविधता पर सामान्य रूप से सच है (एक खुले घने उपसमुच्चय पर सच होने के अर्थ में) यदि और केवल अगर संपत्ति सामान्य बिंदु पर सच है। ऐसे परिणाम अक्सर एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अलजेब्रिक IV 8 में विकसित एफ़िन योजनाओं के अध: पतन (बीजगणितीय ज्यामिति) के तरीकों का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं।

सामान्य स्थिति

Main article: General position

बीजगणितीय ज्यामिति में एक संबंधित अवधारणा सामान्य स्थिति है, जिसका सटीक अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन विमान में, सामान्य स्थिति में तीन बिंदु रेखा (ज्यामिति) नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि संरेख न होने की संपत्ति आर में तीन बिंदुओं के कॉन्फ़िगरेशन स्थान (गणित) की एक सामान्य संपत्ति है².

संगणनीयता में

कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत और एल्गोरिथम यादृच्छिकता में, एक बेयर स्पेस (सेट सिद्धांत) $f\in \omega ^{\omega }$ इसे 1-जेनेरिक कहा जाता है यदि, प्रत्येक पुनरावर्ती गणना योग्य सेट के लिए|सी.ई. तय करना $W\subseteq \omega ^{<\omega }$, दोनों में से एक $f$ एक प्रारंभिक खंड है $\sigma$ में $W$, या $f$ एक प्रारंभिक खंड है $\sigma$ ऐसा कि हर एक्सटेंशन $\tau \succcurlyeq \sigma$ डब्ल्यू में नहीं है। 1-जेनेरिक संगणना में महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि उपयुक्त 1-जेनेरिक पर विचार करके कई निर्माणों को सरल बनाया जा सकता है। कुछ प्रमुख गुण हैं:

• 1-जेनेरिक में प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक तत्व के रूप में शामिल होती है;
• कोई भी 1-जेनेरिक गणना योग्य नहीं है (या यहां तक ​​कि एक गणना योग्य फ़ंक्शन द्वारा सीमित नहीं है);
• सभी 1-जेनेरिक $f$ सामान्यीकृत निम्न (कम्प्यूटेबिलिटी) हैं: $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$.

1-जेनेरिकिटी जेनेरिक की टोपोलॉजिकल धारणा से इस प्रकार जुड़ी हुई है। बेयर स्पेस (सेट सिद्धांत) $\omega ^{\omega }$ बेस (टोपोलॉजी) के साथ एक टोपोलॉजी है $[\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}$ प्राकृतिक संख्याओं की प्रत्येक परिमित स्ट्रिंग के लिए $\sigma \in \omega ^{<\omega }$. फिर, एक तत्व $f\in \omega ^{\omega }$ 1-जेनेरिक है यदि और केवल यदि यह किसी खुले सेट की सीमा पर नहीं है। विशेष रूप से, प्रत्येक घने खुले सेट को पूरा करने के लिए 1-जेनेरिक की आवश्यकता होती है (हालांकि यह एक सख्ती से कमजोर संपत्ति है, जिसे कमजोर 1-जेनेरिक कहा जाता है)।

उदारता परिणाम

• सार्ड का प्रमेय: यदि $f\colon M\to N$ स्मूथ मैनिफोल्ड्स के बीच एक सुचारू कार्य है, तो N का एक सामान्य बिंदु f का महत्वपूर्ण मान नहीं है - f का महत्वपूर्ण मान N में एक शून्य सेट है।
• जैकोबियन मानदंड / सामान्य चिकनाई: विशेषता शून्य के क्षेत्र पर विविधता का एक सामान्य बिंदु चिकना होता है।
• रेखीय समय-अपरिवर्तनीय सिद्धांत की नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता | रेखीय समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियाँ टोपोलॉजिकल और माप सिद्धांत दोनों अर्थों में सामान्य हैं।

संदर्भ

• Wiggins, Stephen (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-00177-7
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523