कोबायाशी मीट्रिक

गणित और विशेष रूप से समष्टि ज्यामिति में, कोबायाशी मीट्रिक स्यूडोमेट्रिक समष्टि है जो आंतरिक रूप से किसी भी समष्टि विविधता से संयोजित होती है। इसे 1967 में शोजी कोबायाशी द्वारा प्रस्तुत किया गया था। कोबायाशी अतिपरवलयिक मैनिफोल्ड्स सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स का महत्वपूर्ण वर्ग है, जिसे इस गुण द्वारा परिभाषित किया गया है कि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समष्टि मीट्रिक है। सम्मिश्र मैनिफोल्ड X की कोबायाशी अतिपरवलयिकता का तात्पर्य है कि सम्मिश्र रेखा C से X तक प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र स्थिर है।

परिभाषा

अवधारणा की उत्पत्ति सम्मिश्र विश्‍लेषण में श्वार्ज़ के लेम्मा में निहित है। अर्थात्, यदि f सम्मिश्र संख्या C में संवृत इकाई डिस्क D पर होलोमोर्फिक फलन है, जिस प्रकार f(0) = 0 और |f(z)| D में सभी z के लिए <1 है, तो अवकलज f '(0) का निरपेक्ष मान अधिकतम 1 है। अधिक सामान्यतः, D से स्वयं तक किसी भी होलोमोर्फिक मानचित्र f के लिए (आवश्यक नहीं कि 0 से 0 भेजा जाए), D के किसी भी बिंदु पर f के अवकलज के लिए अधिक विषम ऊपरी सीमा होती है। यद्यपि, सीमा में पोंकारे मीट्रिक के संदर्भ में सरल सूत्रीकरण है, जो गौसियन वक्रता -1 (अतिपरवलयिक ज्यामिति के लिए सममितीय) के साथ D पर रीमैनियन मैनिफोल्ड अथवा जियोडेसिक पूर्णता रीमैनियन मीट्रिक है। अर्थात्: D से प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र की दूरी D पर पोंकारे मीट्रिक के संबंध में कम होती जा रही है।

यह सम्मिश्र विश्‍लेषण और ऋणात्मक वक्रता की ज्यामिति के मध्य दृढ़ संबंध का प्रारम्भ है। किसी भी सम्मिश्र विश्‍लेषणात्मक समष्टि X (उदाहरण के लिए सम्मिश्र मैनिफोल्ड) के लिए, कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक d_X को X पर सबसे बड़े स्यूडोमेट्रिक के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि

$d_{X}(f(x),f(y))\leq \rho (x,y)$,

यूनिट डिस्क D से X तक सभी होलोमोर्फिक मानचित्र F के लिए, जहां $\rho (x,y)$, D पर पोंकारे मीट्रिक में दूरी को दर्शाता है। इस अर्थ में, यह सूत्र सभी सम्मिश्र समष्टि पर श्वार्ज़ के लेम्मा को सामान्यीकृत करता है; किन्तु यह इस अर्थ में रिक्त हो सकता है कि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक d_X समान रूप से शून्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह समान रूप से शून्य है जब X सम्मिश्र रेखा C है। (ऐसा इसलिए होता है क्योंकि C में आरबिटरेरी रूप से बड़ी डिस्क होती हैं, होलोमोर्फिक मानचित्रों की छवियां f_a: D → C आरबिटरेरी रूप से बड़ी धनात्मक संख्याओं के लिए f(z) = az द्वारा दी जाती हैं।)

सम्मिश्र समष्टि X को कोबायाशी अतिपरवलयिक कहा जाता है यदि कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक d_X मीट्रिक है, जिसका अर्थ है कि X में सभी x ≠ y के लिए d_X(x,y) > 0 है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि X में होलोमोर्फिक रूप से मैपिंग करने वाली डिस्क के आकार पर वास्तविक सीमा होती है। इन शब्दों में, श्वार्ज़ की लेम्मा कहती है कि यूनिट डिस्क D कोबायाशी अतिपरवलयिक है, और अधिक त्रुटिहीन रूप से D पर कोबायाशी मीट्रिक पूर्णतः पोंकारे मीट्रिक है। सिद्धांत और अधिक रुचिकर हो जाता है क्योंकि कोबायाशी अतिपरवलयिक मैनिफ़ोल्ड के अधिक उदाहरण मिलते हैं। (धनात्मक आयाम की वास्तविक विविधता में इस अर्थ में कभी भी कोई आंतरिक मीट्रिक नहीं होता है, क्योंकि इसका भिन्नता समूह इसकी अनुमति देने के लिए अधिक बड़ा है।)

उदाहरण

1. सम्मिश्र समष्टि का प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र f: X → Y, X और Y के कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक्स के संबंध में दूरी कम कर रहा है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि सम्मिश्र समष्टि Y में दो बिंदु p और q को होलोमोर्फिक मानचित्र C → Y की श्रृंखला से जोड़ा जाता है, तो d_Y(p,q) = 0, d_C का उपयोग करना समान रूप से शून्य है। यह सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स के कई उदाहरण देता है जिसके लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है: जिसमें सम्मिश्र प्रक्षेप्य रेखा CP¹ या अधिक सामान्यतः सम्मिश्र प्रक्षेप्य समष्टि CPⁿ, C−{0} (घातीय फलन C → C−{0} का उपयोग करके), इलिप्टिक वक्र, अथवा अधिक सामान्यतः समष्टि टोरस सम्मिलित हैं।
2. कोबायाशी अतिपरवलयिकता को संवृत उपसमुच्चय या विवृत उपसमुच्चय सम्मिश्र उपसमष्टि के मार्ग के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि Cⁿ में कोई भी परिबद्ध डोमेन (गणितीय विश्लेषण) अतिपरवलयिक है।
3. सम्मिश्र समष्टि कोबायाशी अतिपरवलयिक है यदि इसकी यूनिवर्सल कवरिंग समष्टि कोबायाशी अतिपरवलयिक है। यह अतिपरवलयिक सम्मिश्र वक्रों के कई उदाहरण देता है, क्योंकि एकरूपता प्रमेय से ज्ञात होता है कि अधिकांश सम्मिश्र वक्रों (जिन्हें रीमैन सतहें भी कहा जाता है) में डिस्क D के लिए यूनिवर्सल कवरिंग समरूपी होती है। विशेष रूप से, जीनस (गणित) का प्रत्येक कॉम्पैक्ट सम्मिश्र वक्र कम से कम 2 अतिपरवलयिक होता है, जैसा कि C में 2 अथवा अधिक बिंदुओं का पूरक होता है।

मूल परिणाम

कोबायाशी अतिपरवलयिक समष्टि X के लिए, प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र C → X, कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक की दूरी कम गुण द्वारा स्थिर है। यह अधिकांशतः अतिपरवलयिकता का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होता है। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि C शून्य से 2 अंक अतिपरवलयिक है, पिकार्ड के प्रमेय का तात्पर्य है कि किसी भी गैर-स्थिर संपूर्ण फलन C → C की छवि C के अधिकतम बिंदु पर छूट जाती है। नेवानलिन्ना सिद्धांत पिकार्ड के प्रमेय का अधिक मात्रात्मक अवरोही है।

ब्रॉडी का प्रमेय कहता है कि सघन सम्मिश्र समष्टि X कोबायाशी अतिपरवलयिक है यदि प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र C → X स्थिर है। अनुप्रयोग यह है कि कॉम्पैक्ट सम्मिश्र समष्टि के सदस्यों के लिए अतिपरवलयिकता (यूक्लिडियन टोपोलॉजी में) संवृत स्थिति है। मार्क ली ग्रीन ने कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरस के विवृत सम्मिश्र उप-समष्टि X के लिए अतिपरवलयिकता को चिह्नित करने के लिए ब्रॉडी के तर्क का उपयोग किया: यदि इसमें धनात्मक-आयामी अर्धटोरस का कोई अनुवाद नहीं है तो X अतिपरवलयिक है।

यदि सम्मिश्र मैनिफोल्ड X में हर्मिटियन मीट्रिक है जिसमें होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता ऊपर ऋणात्मक स्थिरांक से परिबद्ध है, तो X कोबायाशी अतिपरवलयिक है। आयाम 1 में, इसे लार्स अहलफोर्स-श्वार्ज़ लेम्मा कहा जाता है।

ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान

उपरोक्त परिणाम इस तथ्य का पूर्ण विवरण देते हैं कि सम्मिश्र आयाम 1 में कोबायाशी अतिपरवलयिक कौन से सम्मिश्र मैनिफोल्ड हैं। उच्च आयामों में चित्र कम स्पष्ट होता है। केंद्रीय संवृत समस्या ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान है: यदि X सामान्य प्रकार की सम्मिश्र प्रक्षेप्य विविधता है, तो विवृत बीजगणितीय उपसमुच्चय Y होना चाहिए जो X के समान नहीं है। इस प्रकार प्रत्येक अस्थिर होलोमोर्फिक मानचित्र C → X, Y में मैप होता है।

हर्बर्ट क्लेमेंस और क्लेयर वोइसिन ने दिखाया कि कम से कम 2, n के लिए तथा 2n+1 डिग्री d के CPⁿ⁺¹ में अधिक सामान्य हाइपरसर्फेस X में यह गुण होता है कि X की प्रत्येक संवृत उप-विविधता सामान्य प्रकार की होती है। (अधिक सामान्य अर्थ यह है कि गुण ऐसे सभी हाइपरसर्फेस के प्रक्षेप्य समष्टि के निचले-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के गणनीय संघ के बाहर डिग्री d के सभी हाइपरसर्फेस के लिए होता है।) परिणामस्वरूप, ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान का अर्थ यह होगा कि कम से कम 2n+1 डिग्री का अधिक सामान्य हाइपरसर्फेस कोबायाशी अतिपरवलयिक है। ध्यान दें कि किसी दी गयी डिग्री की सभी स्मूथ हाइपरसर्फेस के अतिपरवलयिक होने की आशा नहीं की जा सकती है, उदाहरण के लिए क्योंकि कुछ हाइपरसर्फेस में रेखाएँ (CP¹ के लिए समरूपी) होती हैं। ऐसे उदाहरण ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान में उपसमुच्चय Y की आवश्यकता को दर्शाते हैं।

जेट (गणित) अवकल की तकनीक का उपयोग करते हुए, यम-टोंग सिउ, जीन-पियरे डेमेली और अन्य द्वारा प्रगति की श्रृंखला के लिए, अतिपरवलयिकता पर अनुमान पर्याप्त उच्च डिग्री के हाइपरसर्फेस के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, डिवेरियो, मर्कर और रूसो ने दिखाया कि कम से कम 2ⁿ⁵ डिग्री की CPⁿ⁺¹ में सामान्य हाइपरसर्फेस ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान को संतुष्ट करती है। (सामान्य का अर्थ है कि यह ऐसे सभी हाइपरसर्फेस के प्रक्षेप्य समष्टि के निचले-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के सीमित संघ के बाहर दी गई डिग्री के सभी हाइपरसर्फेस के लिए प्रारम्भ होता है।) 2016 में, ब्रोटबेक ने व्रोनस्कियन अवकल समीकरणों के उपयोग के आधार पर, उच्च डिग्री के सामान्य हाइपरसर्फेस की अतिपरवलयिक के लिए कोबायाशी अनुमान का प्रमाण दिया; या डेंग और डेमेली द्वारा स्पष्ट डिग्री सीमाएं आरबिटरेरी आयाम में प्राप्त की गई हैं, उदाहरण के लिए [(en)²ⁿ⁺²/3] डिग्री के लिए श्रेष्ठ सीमाएं निम्न आयामों में जानी जाती हैं।

माइकल मैकक्विलन (गणितज्ञ) ने सामान्य प्रकार की प्रत्येक सम्मिश्र प्रक्षेप्य सतह के लिए ग्रीन-ग्रिफ़िथ-लैंग अनुमान को सिद्ध किया, जिनकी चेर्न संख्याएँ c₁² > c₂ को संतुष्ट करती हैं। सामान्य प्रकार की आरबिटरेरी वैरायटी X के लिए, डिमेली ने दिखाया कि प्रत्येक होलोमोर्फिक मानचित्र C→ X कुछ (वास्तव में, कई) बीजगणितीय अवकल समीकरणों को संतुष्ट करता है।

विपरीत दिशा में, कोबायाशी ने अनुमान लगाया कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के लिए कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है। K3 सतहों की स्थिति में यह सत्य है, इसका उपयोग करते हुए प्रत्येक प्रक्षेप्य K3 सतह इलिप्टिक वक्रों द्वारा कवर की जाती है। अधिक सामान्यतः, कैम्पाना ने त्रुटिहीन अनुमान दिया कि कौन सी सम्मिश्र प्रक्षेप्य विविधता X में कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक शून्य के समान है। अर्थात्, यह इस अर्थ में X के 'विशेष' होने के समान होना चाहिए कि X के निकट सामान्य प्रकार के धनात्मक-आयामी ओरबीफोल्ड पर कोई तर्कसंगत कंपन नहीं है।

संख्या सिद्धांत के साथ सादृश्य

प्रक्षेप्य विविधता X के लिए, होलोमोर्फिक मानचित्र C → X का अध्ययन में संख्या सिद्धांत के केंद्रीय विषय, X के तर्कसंगत बिंदुओं के अध्ययन के साथ कुछ समानता है। इन दोनों विषयों के मध्य संबंध पर कई अनुमान हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि X संख्या क्षेत्र k पर प्रक्षेप्य विविधता है। C में k की एम्बेडिंग निश्चित करें। तब लैंग ने अनुमान लगाया कि कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड X(C) कोबायाशी अतिपरवलयिक है यदि और केवल यदि X के निकट k के प्रत्येक परिमित विस्तार क्षेत्र F के लिए केवल सीमित रूप से कई F-तर्कसंगत बिंदु हैं।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, मान लीजिए कि X संख्या क्षेत्र k पर सामान्य प्रकार की प्रक्षेप्य विविधता है। मान लीजिए कि असाधारण समुच्चय Y सभी अस्थिर होलोमोर्फिक मानचित्रों C → X की छवियों के युग्मन का ज़ारिस्की क्लोजर है। ग्रीन-ग्रिफिथ्स-लैंग अनुमान के अनुसार, Y को X (और, विशेष रूप से, X के समान नहीं होना चाहिए) उचित विवृत उपसमुच्चय होना चाहिए। दृढ़ लैंग अनुमान भविष्यवाणी करता है कि Y को k के ऊपर परिभाषित किया गया है और X - Y के निकट k के प्रत्येक परिमित विस्तार क्षेत्र F के लिए केवल सीमित रूप से कई F-तर्कसंगत बिंदु हैं।

उसी भावना में, संख्या क्षेत्र k (या, अधिक सामान्यतः, विशेषता शून्य का सीमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र k) पर प्रक्षेप्य विविधता X के लिए, कैम्पाना ने अनुमान लगाया कि X (C) का कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक समान रूप से शून्य है यदि X में संभावित रूप से सघन तर्कसंगत बिंदु हैं, जिसका अर्थ है कि k का परिमित विस्तार क्षेत्र F है, जैसे कि F-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय है।

वेरिएंट

कैराथोडोरी मीट्रिक सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर अन्य आंतरिक स्यूडोमेट्रिक है, जो यूनिट डिस्क के अतिरिक्त यूनिट डिस्क के होलोमोर्फिक मानचित्रों पर आधारित है। कोबायाशी इनफिनिटसिमल स्यूडोमेट्रिक फिन्सलर मीट्रिक है जिसका संबद्ध दूरी फलन कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। कोबायाशी-ईसेनमैन स्यूडो-आयतन रूप सम्मिश्र n-फोल्ड पर आंतरिक माप (गणित) है, जो n-आयामी पॉलीडिस्क से X तक होलोमोर्फिक मानचित्रों पर आधारित है। इसे कोबायाशी स्यूडोमेट्रिक से श्रेष्ठ माना जाता है। विशेष रूप से, सामान्य प्रकार की प्रत्येक प्रक्षेप्य विविधता माप-अतिपरवलयिक है, जिसका अर्थ है कि कोबायाशी-ईसेनमैन स्यूडो-आयतन रूप निम्न-आयामी बीजगणितीय उपसमुच्चय के बाहर धनात्मक है।

समतल एफ़िन मैनिफ़ोल्ड और प्रक्षेप्य संरचनाओं के साथ अधिक सामान्य प्रक्षेप्य संबंध और अनुरूप कनेक्शन के लिए एनालॉगस स्यूडोमेट्रिक्स पर विचार किया गया है।

संदर्भ

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