संवलन प्रमेय

गणित में, घुमाव प्रमेय में कहा गया है कि उपयुक्त परिस्थितियों में दो कार्यों (या संकेत ) के कनवल्शन का फूरियर रूपांतरण उनके फूरियर रूपांतरण का बिंदुवार उत्पाद है। अधिक सामान्यतः, एक डोमेन (जैसे, समय डोमेन) में कनवल्शन दूसरे डोमेन (जैसे, आवृत्ति डोमेन ) में बिंदु-वार गुणन के बराबर होता है। कनवल्शन प्रमेय के अन्य संस्करण फूरियर से संबंधित परिवर्तनों की विभिन्न सूची पर लागू होते हैं | फूरियर-संबंधित रूपांतरण।

एक सतत चर के कार्य

दो कार्यों पर विचार करें $g(x)$ तथा $h(x)$ फूरियर रूपांतरण के साथ $G$ तथा $H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}$$

कहाँ पे ${\mathcal {F}}$ फूरियर ट्रांसफॉर्म ऑपरेटर (गणित) को दर्शाता है। परिवर्तन को अन्य तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिस स्थिति में निरंतर स्केलिंग कारक (आमतौर पर $2\pi$ या ${\sqrt {2\pi }}$) नीचे दिए गए कनवल्शन प्रमेय में दिखाई देगा। का संकल्प $g$ तथा $h$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$r(x)=\{g*h\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }g(x-\tau )h(\tau )\,d\tau .$$

इस संदर्भ में, तारांकन मानक गुणन के बजाय दृढ़ संकल्प को दर्शाता है। टेंसर उत्पाद प्रतीक $\otimes$ इसके बजाय कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

कनवल्शन प्रमेय कहता है कि:

$$R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=G(f)H(f).\quad f\in \mathbb {R}$$

(Eq.1a)

उलटा फूरियर रूपांतरण लागू करना ${\mathcal {F}}^{-1}$, परिणाम उत्पन्न करता है:

Convolution theorem

$r(x)=\{g*h\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{G\cdot H\},$

(Eq.1b)

कहाँ पे $\cdot$ बिंदुवार गुणन को दर्शाता है

प्रमेय आम तौर पर बहु-आयामी कार्यों पर भी लागू होता है।

Multi-dimensional derivation of Eq.1

Consider functions $g,h$ in L^p-space $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, with Fourier transforms $G,H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\end{aligned}}$$

where $f\cdot x$ indicates the inner product of $\mathbb {R} ^{n}$:   $f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},$   and   $dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.$

The convolution of $g$ and $h$ is defined by:

$$r(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau .$$

Also:

$$\iint |g(\tau )h(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|g(\tau )|\int |h(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |g(\tau )|\,\|h\|_{1}\,d\tau =\|g\|_{1}\|h\|_{1}.$$

Hence by Fubini's theorem we have that $r\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ so its Fourier transform $R$ is defined by the integral formula:

$${\begin{aligned}R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{aligned}}$$

Note that $|g(\tau )h(x-\tau )e^{-i2\pi f\cdot x}|=|g(\tau )h(x-\tau )|$ and hence by the argument above we may apply Fubini's theorem again (i.e. interchange the order of integration): Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} R(f) &= \int_{\mathbb{R}^n} g(\tau) \underbrace{\left(\int_{\mathbb{R}^n} h(x-\tau)\ e^{-i 2 \pi f \cdot x}\,dx\right)}_{H(f)\ e^{-i 2 \pi f \cdot \tau}}\,डी\ताऊ\\ &=\अंडरब्रेस{\बाएं(\int_{\mathbb{R}^n} g(\tau)\ e^{-i 2\pi f \cdot \tau}\,d\tau\right)}_{ जी(एफ)}\ एच(एफ)। \end{align}}

यह प्रमेय लाप्लास ट्रांसफॉर्म , दो दो तरफा लाप्लास परिवर्तन और, जब उपयुक्त रूप से संशोधित किया जाता है, मध्य परिवर्तन और हार्टले ट्रांसफॉर्म (मध्य उलटा प्रमेय देखें) के लिए भी है। इसे स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह पर परिभाषित सार हार्मोनिक विश्लेषण के फूरियर रूपांतरण तक बढ़ाया जा सकता है।

आवधिक दृढ़ संकल्प (फूरियर श्रृंखला गुणांक)

विचार करना $P$-आवधिक कार्य $g_{_{P}}$ तथा $h_{_{P}},$ जिसे आवधिक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$g_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g(x-mP)$$

तथा

$$h_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h(x-mP).$$

व्यवहार में घटकों के गैर-शून्य भाग $g$ तथा $h$ अक्सर अवधि तक सीमित होते हैं $P,$ लेकिन प्रमेय में कुछ भी इसकी आवश्यकता नहीं है। फूरियर श्रृंखला गुणांक हैं:

$${\begin{aligned}G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\H[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{h_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$$

कहाँ पे ${\mathcal {F}}$ फूरियर श्रृंखला अभिन्न को दर्शाता है।

• बिंदुवार उत्पाद: $g_{_{P}}(x)\cdot h_{_{P}}(x)$ ई आल्सो $P$-आवधिक, और इसके फूरियर श्रृंखला गुणांक कनवल्शन#डिस्क्रिट कनवल्शन द्वारा दिए गए हैं $G$ तथा $H$ क्रम:
  $${\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\cdot h_{_{P}}\}[k]=\{G*H\}[k].$$
• संकल्प :
  $${\begin{aligned}\{g_{_{P}}*h\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}$$
  ई आल्सो $P$-आवधिक, और इसे आवर्ती कनवल्शन कहा जाता है। संगत संकल्प प्रमेय है:

$${\mathcal {F}}\{g_{_{P}}*h\}[k]=\ P\cdot G[k]\ H[k].$$

(Eq.2)

Derivation of Eq.2

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} \mathcal{F}\{g_{_P} * h\}[k] &\triangleq \frac{1}{P} \int_P \left(\int_P g_{_P}(\tau)\cdot h_{_P}(x-\tau)\ d\tau\right) e^{-i 2\pi k x/P} \, dx\\ &= \int_P g_{_P}(\tau)\left(\frac{1}{P}\int_P h_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k x/P} dx\right) \, d\tau\\ &= \int_P g_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P} \underbrace{\left(\frac{1}{P}\int_P h_{_P}(x-\tau)\ e^{-i 2\pi k (x-\tau)/P} dx\right)}_{H[k], \quad \text{due to periodicity}} \, डी\ताऊ\\ &=\अंडरब्रेस{\बाएं(\int_P\ g_{_P}(\tau)\ e^{-i 2\pi k \tau/P} d\tau\right)}_{P\cdot G[k] }\ एच [के]। \अंत{संरेखण} </गणित>}} == एक असतत चर के कार्य (अनुक्रम) == समीकरण 1 के समान एक व्युत्पत्ति द्वारा, अनुक्रमों के लिए एक समान प्रमेय है, जैसे कि दो निरंतर कार्यों के नमूने, जहां अब <math>\mathcal{F}} असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) ऑपरेटर को दर्शाता है। दो अनुक्रमों पर विचार करें $g[n]$ तथा $h[n]$ परिवर्तन के साथ $G$ तथा $H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;.\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}$$

§ Discrete convolution

का $g$ तथा $h$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$r[n]\triangleq (g*h)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[m]\cdot h[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-m]\cdot h[m].$$

कनवल्शन#असतत अनुक्रमों के लिए असतत कनवल्शन है:

$$R(f)={\mathcal {F}}\{g*h\}(f)=\ G(f)H(f).$$

(Eq.3)

आवर्त कनवल्शन

$G(f)$ तथा $H(f),$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, आवधिक हैं, 1 की अवधि के साथ। विचार करें $N$-आवधिक अनुक्रम $g_{_{N}}$ तथा $h_{_{N}}$:

$$g_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-mN]$$

तथा

$$h_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .$$

ये कार्य नमूने के परिणाम के रूप में होते हैं $G$ तथा $H$ के अंतराल पर $1/N$ और एक व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण (DFT) पर प्रदर्शन कर रहा है $N$ नमूने (देखें § Sampling the DTFT) असतत संकल्प:

$$\{g_{_{N}}*h\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g_{_{N}}[m]\cdot h[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[n-m]$$

ई आल्सो $N$-आवधिक, और इसे आवर्त कनवल्शन कहा जाता है। को फिर से परिभाषित करना ${\mathcal {F}}$ ऑपरेटर के रूप में $N$-लंबाई डीएफटी, संबंधित प्रमेय है:

$${\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}[k]} _{G(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}[k]} _{H(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .$$

(Eq.4a)

और इसीलिए:

$$\{g_{_{N}}*h\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}\}.$$

(Eq.4b)

सही परिस्थितियों में, इस एन-लंबाई अनुक्रम के लिए ए . का विरूपण-मुक्त खंड शामिल करना संभव है $g*h$ दृढ़ संकल्प लेकिन जब का गैर-शून्य भाग $g(n)$ या $h(n)$ अनुक्रम बराबर या उससे लंबा है $N,$ कुछ विकृति अपरिहार्य है। ऐसा ही मामला है जब $H(k/N)$ अनंत लंबे . के डीटीएफटी को सीधे नमूना करके अनुक्रम प्राप्त किया जाता है § Discrete Hilbert transform आवेग प्रतिक्रिया। के लिये $g$ तथा $h$ अनुक्रम जिनकी गैर-शून्य अवधि . से कम या उसके बराबर है $N,$ एक अंतिम सरलीकरण है:

Circular convolution

$\{g_{_{N}}*h\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g\}\cdot {\mathcal {F}}\{h\}\}.$

(Eq.4c)

इस फॉर्म का उपयोग अक्सर संगणक द्वारा संख्यात्मक कनवल्शन को कुशलता से लागू करने के लिए किया जाता है। (देखना § Fast convolution algorithms तथा § Example)

आंशिक पारस्परिक के रूप में, यह दिखाया गया है कि कोई भी रैखिक परिवर्तन जो कनवल्शन को बिंदुवार उत्पाद में बदल देता है, वह DFT (गुणांक के क्रमपरिवर्तन तक) है।

Derivations of Eq.4

A time-domain derivation proceeds as follows:

$${\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}*h\}[k]\right)\cdot \delta \left(f-k/N\right).$$