आर्ग मैक्स

उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फ़ंक्शन के लिए उपरोक्त दोनों में $\operatorname {argmax}$ का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।

असामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन (लाल) का आर्ग न्यूनतम लगभग {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर लगभग -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। हालाँकि, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, हालांकि न्यूनतम मान समान होता है।

गणित में, मैक्सिमा (आर्ग मैक्स के रूप में संक्षेपित किया जाता है) के तर्क किसी फ़ंक्शन (गणित) के डोमेन के बिंदु होते हैं, जिन पर फ़ंक्शन के मान अधिकतम होते हैं। जिस पर फ़ंक्शन मान मैक्सिमा और मिनिमा होते हैं। वैश्विक अधिकतम के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा आउटपुट, arg max इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फ़ंक्शन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।

परिभाषा

विचित्र समुच्चय $X$, पूरी तरह से ऑर्डर किया गया समुच्चय $Y$, और फ़ंक्शन, $f\colon X\to Y$, के लिए $X$ के किसी उपसेट $S$ के लिए $\operatorname {argmax}$ (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

$\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

यदि $S=X$ या $S$ होता है, तो अक्सर $S$ को छोड़ दिया जाता है, जैसे ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.$ अन्या शब्दों में, $\operatorname {argmax}$ अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें $x$के बिंदु शामिल हैं, जिनके लिए $f(x)$ फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह मौजूद है)। $\operatorname {Argmax}$ यह खाली समुच्चय, सिंगलटन (गणित) हो सकता है, या इसमें कई तत्व शामिल हो सकते हैं।

उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष मामले में $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित वास्तविक संख्याएँ होती हैं। इस मामले में, यदि $f$ समान रूप से बराबर होता है,तो $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ (इसका मतलब है $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$) और अन्यथा $\operatorname {argmax} _{S}f$ उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है, जहां इस मामले में $\operatorname {argmax} _{S}f$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}$ जहां इसे संकेत में रखा गया है कि यह समानता $\sup {}_{S}f$ के साथ केवल उस स्थिति में साझा किया जाता है जब $f$, $S$.पर असीम नहीं होता है।

आर्ग न्यूनतम

$\operatorname {argmin}$ (या $\operatorname {arg\,min}$) की धारणा (जो न्यूनतम के तर्क के लिए होती है) उसी तरीके से परिभाषित होती है। उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}$

$x$ के बिंदु वही होते हैं जिनके लिए $f(x)$ फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान प्राप्त करता है। यह$\operatorname {arg\,max}$. (न्यूनतम के तर्क का आर्ग्यूमेंट) के पूरक ऑपरेटर होता है।

विशेष मामले में जहां $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित यथार्थात्मक संख्याएँ होती हैं, यदि $f$ सभी $S$ पर असीम रूप से $-\infty$ पर तबके बराबर होता है, तो $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ (इसका मतलब है, $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$) होता है, और अन्यथा$\operatorname {argmin} _{S}f$ f उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है और इसके अतिरिक्त, इस मामले में (जब $f$ असीमता रूप से $-\infty$ के बराबर नहीं होता है) निम्नलिखित को भी पूरा करता है:

$\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.$

उदाहरण और गुण

उदाहरण के लिए, यदि $f(x)$ है $1-|x|,$ है, तो $f$ का अधिकतम मान $1$ को केवल बिंदु $x=0.$ पर प्राप्त करता है। इसलिए,

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.$

$\operatorname {argmax}$ ऑपरेटर अभिगम के ऑपरेटर से अलग होता है। अभिगम ऑपरेटर, ऐसे फ़ंक्शन को देने पर, फ़ंक्शन का अधिकतम मान लौटाता है बजाय उस बिंदु या बिंदुओं का जो उस फ़ंक्शन को उस मान तक पहुंचाते हैं। इन शब्दों में,

$\max _{x}f(x)$ में तत्व है $\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

$\operatorname {argmax} ,$ की तरह $\operatorname {max}$ रिक्त समुच्चय (जिसमें अधिकतम परिभाषित नहीं होता) या एकल समुच्चय हो सकता है, लेकिन $\operatorname {argmax} ,$ के विपरीत, $\operatorname {max}$ एकाधिक तत्वों को नहीं समेत सकता है: उदाहरण के लिए, यदि : उदाहरण के लिए, यदि $f(x)$ = $4x^{2}-x^{4},$ है, तो ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ लेकिन ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ क्योंकि फ़ंक्शन $\operatorname {argmax} .$ प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है

समान रूप से, यदि $M$ की अधिकतम है $f,$ तो $\operatorname {argmax}$ अधिकतम का स्तर समुच्चय है:

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).$

हम इसे पुनर्व्यवस्थित करके सरल सम्मिश्रण प्राप्त कर सकते हैं

$f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).$

यदि अधिकतम बिंदु पर पहुंच जाता है तो इस बिंदु को अक्सर $\operatorname {argmax} ,$ के रूप में संदर्भित किया जाता है और $\operatorname {argmax}$ को बिंदु माना जाता है, न कि बिंदुओं का सेट। इसलिए, उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5$

(सिंगलटन (गणित) समुच्चय के बजाय $\{5\}$), क्योंकि फ़ंक्शन $x(10-x)$ का अधिकतम मान $25,$है, जो बिंदु $x=5.$ पर होता है। हालांकि, यदि अधिकतम कई बिंदुओं पर पहुंचा जाता है, तो $\operatorname {argmax}$ को बिंदु सेट के रूप में विचार किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए

${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

क्योंकि $\cos x$ का अधिकतम मान $1,$ है, जो इस अवधि पर बिंदु $x=0,2\pi$ या $4\pi .$ पर होता है। पूरे वास्तविक रेखा पर,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},$ तो अनंत समुच्चय है।

फ़ंक्शन सामान्यतः अधिकतम मान नहीं प्राप्त करते हैं, और इसलिए $\operatorname {argmax}$ कभी-कभी रिक्त सेट होता है; उदाहरण के लिए, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,$ क्योंकि $x^{3}$,वास्तविक रेखा पर असीमित होता है। उदाहरण के रूप में, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,$ यद्यपि |$\arctan$ आवरित होता है $\pm \pi /2.$ से हालाँकि, चरम मूल्य प्रमेय के अनुसार, अंतराल (गणित) पर सतत वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन में अधिकतम होता है, और इसलिए खाली नहीं $\operatorname {argmax} .$ होता है।

यह भी देखें

• किसी फ़ंक्शन का तर्क
• मैक्सिमा और मिनिमा
• मोड (सांख्यिकी)
• गणितीय अनुकूलन
• कर्नेल (रैखिक बीजगणित)
• पूर्वछवि

संदर्भ

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

बाहरी संबंध

• arg min and arg max at PlanetMath.