बीजगणितीय वक्रों का मापांक

बीजगणितीय ज्यामिति में, (बीजगणितीय) वक्रों का एक मॉड्यूली स्थान एक ज्यामितीय स्थान (आमतौर पर एक योजना (गणित) या एक बीजगणितीय स्टैक) होता है, जिसके बिंदु बीजगणितीय वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार यह मॉड्यूलि स्पेस का एक विशेष मामला है। विचारित बीजगणितीय वक्रों के वर्गों पर लागू प्रतिबंधों के आधार पर, संबंधित मॉड्यूलि समस्या और मॉड्यूलि स्थान भिन्न होता है। एक ही मॉड्यूलि समस्या के लिए मॉड्यूलि स्पेस#फाइन मॉड्यूलि स्पेस और मॉड्यूलि स्पेस#मोटे मॉड्यूलि स्पेस के बीच भी अंतर किया जाता है।

सबसे बुनियादी समस्या एक निश्चित जीनस (गणित) के चिकनी रूपवाद पूर्ण विविधता वक्रों के मॉड्यूल की है। जटिल संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में ये दिए गए जीनस की कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों से सटीक रूप से मेल खाते हैं, जिसके लिए बर्नहार्ड रीमैन ने मॉड्यूलि रिक्त स्थान के बारे में पहले परिणाम साबित किए, विशेष रूप से उनके आयाम (पैरामीटर की संख्या जिस पर जटिल संरचना निर्भर करती है)।

स्थिर वक्रों के मॉड्यूली ढेर

मॉड्यूलि स्टैक ${\mathcal {M}}_{g}$ चिकने प्रक्षेप्य वक्रों के परिवारों को उनकी समरूपता सहित वर्गीकृत करता है। कब $g>1$, इस स्टैक को नए सीमा बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपता के साथ) के अनुरूप हैं। एक वक्र स्थिर वक्र होता है यदि यह पूर्ण है, जुड़ा हुआ है, इसमें दोहरे बिंदुओं के अलावा कोई विलक्षणता नहीं है, और इसमें ऑटोमोर्फिज्म का केवल एक सीमित समूह है। परिणामी स्टैक को दर्शाया गया है ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$. दोनों मॉड्यूली स्टैक वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं।

उपरोक्त दोनों ढेरों का आयाम है $3g-3$; इसलिए एक स्थिर नोडल वक्र को मानों को चुनकर पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है $3g-3$ पैरामीटर, कब $g>1$. निचले जीनस में, किसी को उनकी संख्या घटाकर, ऑटोमोर्फिज्म के सहज परिवारों की उपस्थिति का हिसाब देना चाहिए। जीनस शून्य का बिल्कुल एक जटिल वक्र है, रीमैन क्षेत्र, और इसकी समरूपता का समूह पीजीएल(2) है। इसलिए का आयाम ${\mathcal {M}}_{0}$ के बराबर है

${\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}$

इसी तरह, जीनस 1 में, वक्रों का एक-आयामी स्थान होता है, लेकिन ऐसे प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक-आयामी समूह होता है। इसलिए, ढेर ${\mathcal {M}}_{1}$ आयाम 0 है.

निर्माण और अपरिवर्तनीयता

यह एक गैर-तुच्छ प्रमेय है, जिसे पियरे डेलिग्ने और डेविड मम्फोर्ड ने सिद्ध किया है, वह मॉड्यूलि स्टैक ${\mathcal {M}}_{g}$ अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ है कि इसे दो उचित उपसमूहों के मिलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। वे लोकस का विश्लेषण करके इसे सिद्ध करते हैं $H_{g}$ हिल्बर्ट योजना में स्थिर वक्रों की संख्या $\mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}$ त्रि-विहित रूप से एम्बेडेड वक्रों की (बहुत पर्याप्त के एम्बेडिंग से)। $\omega _{C}^{\otimes 3}$ प्रत्येक वक्र के लिए) जिसमें हिल्बर्ट बहुपद है $P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)$. फिर, ढेर $[H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]$ मॉड्यूलि स्पेस का निर्माण है ${\mathcal {M}}_{g}$. विरूपण (गणित) का उपयोग करते हुए, डेलिग्ने और ममफोर्ड दिखाते हैं कि यह स्टैक चिकना है और स्थिर वक्रों के बीच समरूपता के स्टैक का उपयोग करते हैं $\mathrm {Isom} _{S}(C,C')$, उसे दिखाने के लिए ${\mathcal {M}}_{g}$ इसमें परिमित स्टेबलाइजर्स हैं, इसलिए यह डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक है। इसके अलावा, वे एक स्तरीकरण पाते हैं $H_{g}$ जैसा

$H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}$,

कहाँ $H_{g}^{o}$ चिकने स्थिर वक्रों की उपयोजना है और $H_{g,i}$ का एक अघुलनशील घटक है $S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}$. वे इसके घटकों का विश्लेषण करते हैं ${\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)$ (जीआईटी भागफल के रूप में)। यदि इसके कई घटक मौजूद थे $H_{g}^{o}$, उनमें से कोई भी पूर्ण नहीं होगा। इसके अलावा, का कोई भी घटक $H_{g}$ इसमें गैर-एकवचन वक्र होने चाहिए। नतीजतन, एकवचन ठिकाना $S^{*}$ जुड़ा हुआ है, इसलिए यह एक ही घटक में समाहित है $H_{g}$. इसके अलावा, क्योंकि प्रत्येक घटक प्रतिच्छेद करता है $S^{*}$, सभी घटकों को एक ही घटक में समाहित किया जाना चाहिए, इसलिए मोटा स्थान $H_{g}$ अपरिवर्तनीय है. बीजगणितीय ढेरों के सामान्य सिद्धांत से, इसका तात्पर्य ढेर भागफल से है ${\mathcal {M}}_{g}$ अपरिवर्तनीय है.

उचितता

उचित योजना, या कक्षीय ्स के लिए सघन स्थान , वक्रों पर स्थिर कमी पर एक प्रमेय से अनुसरण करता है।इसे एबेलियन किस्म की स्थिर कमी के संबंध में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के एक प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है, और वक्रों की स्थिर कमी के बराबर दिखाया जा सकता है।^{धारा 5.2}

मोटे मॉड्यूलि रिक्त स्थान

कोई चिकने या स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोटे मॉड्यूली स्थानों पर भी विचार कर सकता है। इन मोटे मॉड्यूलि स्थानों का वास्तव में अध्ययन मॉड्यूलि स्टैक की धारणा शुरू होने से पहले किया गया था। वास्तव में, मोडुली स्टैक का विचार डेलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा मोटे मॉड्यूली स्थानों की प्रोजेक्टिविटी को साबित करने के प्रयास में पेश किया गया था। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का ढेर वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है।

मोटे मॉड्यूलि रिक्त स्थान का आयाम स्टैक के समान होता है $g>1$; हालाँकि, जीनस शून्य में मोटे मॉड्यूलि स्पेस का आयाम शून्य है, और जीनस एक में, इसका आयाम एक है।

निम्न जीनस मॉड्यूलि रिक्त स्थान के उदाहरण

जाति 0

जीनस के मॉड्यूलि स्पेस की ज्यामिति का निर्धारण $0$ विरूपण सिद्धांत का उपयोग करके वक्र स्थापित किए जा सकते हैं। एक जीनस के लिए मोडुली की संख्या $0$ वक्र, उदा. $\mathbb {P} ^{1}$, कोहोमोलॉजी ग्रुप<ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है$H^{1}(C,T_{C})$सेरे द्वैत के साथ यह सह-समरूपता समूह

के लिए समरूपी है${\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}$

द्वैतीकरण शीफ के लिए $\omega _{C}$. लेकिन, रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करते हुए|रीमैन-रोच विहित बंडल की डिग्री दिखाता है $-2$, तो की डिग्री $\omega _{C}^{\otimes 2}$ है $-4$, इसलिए कोई वैश्विक अनुभाग नहीं हैं, जिसका अर्थ <ब्लॉककोट> है$H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0$दिखा रहा है कि जीनस में कोई विकृति नहीं है $0$ घटता है. ये साबित होता है ${\mathcal {M}}_{0}$ केवल एक बिंदु है, और एकमात्र जीनस है $0$ घटता द्वारा दिया गया है $\mathbb {P} ^{1}$. एकमात्र तकनीकी कठिनाई ऑटोमोर्फिज्म समूह की है $\mathbb {P} ^{1}$ बीजगणितीय समूह है ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$, जो एक बार तीन बिंदुओं पर कठोर हो जाता हैपर $\mathbb {P} ^{1}$ निश्चित हैं, इसलिए अधिकांश लेखक लेते हैं ${\mathcal {M}}_{0}$ मतलब निकालना ${\mathcal {M}}_{0,3}$.

जीनस 1

Main article: Moduli stack of elliptic curves

जीनस 1 मामला मॉड्यूली रिक्त स्थान के पहले अच्छी तरह से समझे जाने वाले मामलों में से एक है, कम से कम जटिल संख्याओं पर, क्योंकि अण्डाकार वक्रों के समरूपता वर्गों को जे-अपरिवर्तनीय<ब्लॉककोट> द्वारा वर्गीकृत किया गया है।$j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$</ब्लॉकक्वॉट>कहां ${\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )$. टोपोलॉजिकली, ${\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }$ यह केवल एफ़िन लाइन है, लेकिन इसे अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस के साथ एक स्टैक में संकुचित किया जा सकता है $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ अनंत पर एक स्थिर वक्र जोड़कर। यह एक एकल पुच्छल वाला अण्डाकार वक्र है। सामान्य मामले का निर्माण ख़त्म ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ मूल रूप से पियरे डेलिग्ने और माइकल रैपोपोर्ट द्वारा पूरा किया गया था। ध्यान दें कि अधिकांश लेखक एक चिह्नित बिंदु के साथ जीनस वन कर्व्स के मामले को समूह की उत्पत्ति मानते हैं, अन्यथा एक काल्पनिक मॉड्यूल स्पेस में स्टेबलाइजर समूह ${\mathcal {M}}_{1}$ बिंदु पर स्टेबलाइज़र समूह होगा $[C]\in {\mathcal {M}}_{1}$ वक्र द्वारा दिया गया है, क्योंकि अण्डाकार वक्रों में एबेलियन समूह संरचना होती है। यह इस काल्पनिक मॉड्यूलि स्पेस में अनावश्यक तकनीकी जटिलता जोड़ता है। वहीं दूसरी ओर, ${\mathcal {M}}_{1,1}$ एक चिकना डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक है।

जीनस 2

एफ़िन पैरामीटर स्पेस

जीनस 2 में यह विभाजकों की एक रैखिक प्रणाली है#हाइपरलिप्टिक वक्र, ऐसे सभी वक्र हाइपरलिप्टिक वक्र हैं,^{पृष्ठ 298} इसलिए रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र का उपयोग करके वक्र के शाखा स्थान से मॉड्यूलि स्थान पूरी तरह से निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि एक मनमाना जीनस 2 वक्र एक बहुपद रूप द्वारा दिया जाता है

$y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)$

कुछ विशिष्ट रूप से परिभाषित के लिए $a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}$, ऐसे वक्रों के लिए पैरामीटर स्थान द्वारा दिया गया है

$\mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),$

कहाँ $\Delta _{i,j}$ स्थान से मेल खाता है $i\neq j$.

भारित प्रक्षेप्य स्थान

भारित प्रक्षेप्य स्थान और रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र का उपयोग करके, एक हाइपरलिप्टिक वक्र को बहुपद के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},$

कहाँ $a,\ldots ,f$ के अनुभागों के लिए पैरामीटर हैं $\Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))$. फिर, उन अनुभागों के स्थान में प्रत्येक वक्र शामिल होता है जिनमें कोई त्रिमूल नहीं होता है $C$ एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया $[C]\in {\mathcal {M}}_{2}$.

जीनस 3

यह वक्रों का पहला मॉड्यूली स्थान है जिसमें हाइपरलिप्टिक लोकस और गैर-हाइपरलिप्टिक लोकस दोनों हैं। गैर-हाइपरलिप्टिक वक्र सभी डिग्री 4 के समतल वक्रों (जीनस डिग्री फार्मूला का उपयोग करके) द्वारा दिए गए हैं, जिन्हें हाइपरसर्फेस की हिल्बर्ट योजना में चिकनी लोकस द्वारा पैरामीटर किया गया है।

$\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}$.

फिर, मॉड्यूलि स्पेस को सबस्टैक्स द्वारा स्तरीकृत किया जाता है

${\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }$.

बिराशनल ज्यामिति

अतार्किकता अनुमान

पिछले सभी मामलों में, मॉड्यूलि रिक्त स्थान को अतार्किक पाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि एक प्रमुख तर्कसंगत रूपवाद मौजूद है<ब्लॉककोट>$\mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}$और यह लंबे समय से अपेक्षित था कि यह सभी प्रजातियों में सच होगा। वास्तव में, सेवेरी ने पीढ़ी तक के लिए इसे सच साबित कर दिया था $10$. हालाँकि, यह पता चला है कि जीनस के लिए $g\geq 23$ ऐसे सभी मॉड्यूली स्थान सामान्य प्रकार के हैं, अर्थात वे अतार्किक नहीं हैं। उन्होंने मोटे मॉड्यूलि स्थानों के कोडैरा आयाम का अध्ययन करके इसे पूरा किया

$\kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),$

और मिल गया $\kappa _{g}>0$ के लिए $g\geq 23$. वास्तव में, के लिए $g>23$,

$\kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),$

और इसलिए ${\mathcal {M}}_{g}$ सामान्य प्रकार का है.

ज्यामितीय निहितार्थ

यह ज्यामितीय रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि शासित विविधता पर किसी भी रैखिक प्रणाली में सार्वभौमिक वक्र शामिल नहीं हो सकता है ${\mathcal {C}}_{g}$.

सीमा का स्तरीकरण

मॉड्यूलि स्पेस ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ सीमा पर प्राकृतिक स्तरीकरण है $\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ जिनके बिंदु एकवचन जीनस का प्रतिनिधित्व करते हैं $g$ वक्र. यह स्तरों में विघटित हो जाता है

$\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}$,

कहाँ

• $\Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}$ के लिए $1\leq h<g/2$.
• $\Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)$ जहां कार्रवाई दो चिह्नित बिंदुओं की अनुमति देती है।
• $\Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)$ जब कभी भी $g$ सम है।

इन लोकी के ऊपर स्थित वक्र अनुरूप होते हैं

• वक्रों का एक जोड़ा $C,C'$ दोहरे बिंदु पर जुड़ा हुआ है।
• एक जीनस की सामान्य योजना $g$ एकल दोहरे बिंदु विलक्षणता पर वक्र।
• क्रमपरिवर्तन तक एक ही जीनस के वक्रों की एक जोड़ी दोहरे बिंदु पर जुड़ी हुई है।

जीनस 2 के लिए स्तरीकरण

जाति के लिए $2$ मामले में, द्वारा दिया गया एक स्तरीकरण है

${\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}$.

इन स्तरों के आगे के विश्लेषण का उपयोग चाउ रिंग के जनरेटर देने के लिए किया जा सकता है $A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})$ ^{प्रस्ताव 9.1}.

चिह्नित वक्रों का मापांक

एन चिह्नित बिंदुओं के साथ जीनस जी नोडल वक्रों के मॉड्यूली स्टैक पर विचार करके भी समस्या को समृद्ध किया जा सकता है, जो जोड़ों से अलग और अलग है। ऐसे चिह्नित वक्रों को स्थिर कहा जाता है यदि वक्र ऑटोमोर्फिज्म का उपसमूह जो चिह्नित बिंदुओं को ठीक करता है, परिमित है। n चिह्नित बिंदुओं के साथ चिकने (या स्थिर) जीनस जी वक्रों के परिणामी मॉड्यूली स्टैक को दर्शाया गया है ${\mathcal {M}}_{g,n}$ (या ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$), और आयाम है $3g-3+n$.

विशेष रुचि का मामला मॉड्यूली स्टैक है ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ एक चिह्नित बिंदु के साथ जीनस 1 वक्र का। यह अण्डाकार वक्रों का मोडुली स्टैक है। लेवल 1 मॉड्यूलर रूप इस स्टैक पर लाइन बंडलों के अनुभाग हैं, और लेवल एन मॉड्यूलर फॉर्म लेवल संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति) (लगभग क्रम एन के बिंदुओं का एक अंकन) के साथ अण्डाकार वक्रों के स्टैक पर लाइन बंडलों के अनुभाग हैं।

सीमा ज्यामिति

कॉम्पैक्टिफाइड मॉड्यूलि स्पेस की एक महत्वपूर्ण संपत्ति ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ यह है कि उनकी सीमा को मॉड्यूलि स्पेस के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है ${\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}$ पीढ़ी के लिए $g'<g$. एक चिह्नित, स्थिर, नोडल वक्र को देखते हुए कोई इसके दोहरे ग्राफ, एक ग्राफ (अलग गणित) को गैर-नकारात्मक पूर्णांक द्वारा लेबल किए गए शीर्षों के साथ जोड़ सकता है और लूप, कई किनारों और आधे किनारों को भी क्रमांकित करने की अनुमति देता है। यहां ग्राफ के शीर्ष नोडल वक्र के अपरिवर्तनीय घटकों के अनुरूप हैं, एक शीर्ष की लेबलिंग संबंधित घटक का अंकगणितीय जीनस है, किनारे वक्र के नोड्स के अनुरूप हैं और आधे किनारे चिह्नों के अनुरूप हैं। दिए गए दोहरे ग्राफ़ के साथ वक्रों के स्थान का बंद होना ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ किसी उत्पाद के स्टैक भागफल के लिए समरूपी है $\prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}$ एक परिमित समूह द्वारा वक्रों के संकुचित मॉड्यूली स्थानों का। उत्पाद में शीर्ष v के अनुरूप कारक में जीनस g होता है_v लेबलिंग और चिह्नों की संख्या से लिया गया $n_{v}$ v पर आउटगोइंग किनारों और आधे किनारों की संख्या के बराबर। कुल जीनस g, g का योग है_v साथ ही ग्राफ़ में बंद चक्रों की संख्या।

स्थिर वक्र जिनके दोहरे ग्राफ़ में लेबल वाला एक शीर्ष होता है $g_{v}=g$ (इसलिए अन्य सभी शीर्ष हैं $g_{v}=0$ और ग्राफ़ एक पेड़ है) को परिमेय पूँछ कहा जाता है और उनके मापांक स्थान को दर्शाया जाता है ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }$. स्थिर वक्र जिनका दोहरा ग्राफ़ एक पेड़ है, कॉम्पैक्ट प्रकार कहलाते हैं (क्योंकि जैकोबियन कॉम्पैक्ट है) और उनके मॉड्यूलि स्पेस को दर्शाया गया है ${\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }$.

यह भी देखें

• चिह्नित वक्रों का मापांक
• विटेन अनुमान
• टॉटोलॉजिकल रिंग
• ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय

संदर्भ

क्लासिक संदर्भ

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वक्रों के मापांक पर पुस्तकें

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• Katz, Nicholas M; Mazur, Barry (1985). अण्डाकार वक्रों का अंकगणितीय मापांक. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08352-0.
• Arbarello, Enrico; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Phillip A. (2011). बीजगणितीय वक्रों की ज्यामिति II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 268. doi:10.1007/978-3-540-69392-5. ISBN 978-3-540-42688-2.

कोहोमोलॉजी और प्रतिच्छेदन सिद्धांत

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• Faber, Carel; Pandharipande, Rahul (2013). Farkas, Gavril; Morrison, Ian (eds.). वक्रों के मोडुली स्थान की टॉटोलॉजिकल और गैर-टॉटोलॉजिकल कोहोलॉजी (PDF). pp. 293–330. ISBN 9781571462572. MR 3184167. {{cite book}}: |work= ignored (help)

बाहरी संबंध

• "Topology and geometry of the moduli space of curves"
• "Moduli of Stable Maps, Gromov-Witten Invariants, and Quantum Cohomology"