समतुल्य सहसंरचना

गणित में, समतुल्य सहसंरचना (या बोरेल कोहोमोलॉजी) बीजगणितीय टोपोलॉजी से एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है जो समूह कार्रवाई के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस पर लागू होता है। इसे समूह सहसंगति विज्ञान के एक सामान्य सामान्यीकरण और एक सामान्य सहसंयोजी सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, किसी स्थान का समतुल्य सहसंयोजी वलय $X$ एक टोपोलॉजिकल समूह की कार्रवाई के साथ $G$ गुणांक रिंग के साथ साधारणकोहोमोलोजी रिंग के रूप में परिभाषित किया गया है $\Lambda$ समरूप भागफल का $EG\times _{G}X$:

$H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).$

अगर $G$ तुच्छ समूह है, यह साधारण कोहॉमोलॉजी रिंग है $X$, जबकि यदि $X$ संकुचन योग्य है, यह वर्गीकृत स्थान के कोहोमोलॉजी रिंग में कम हो जाता है $BG$ (अर्थात, का समूह सहसंगति विज्ञान $G$ जब G परिमित है।) यदि G, X पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, तो विहित मानचित्र $EG\times _{G}X\to X/G$ एक समरूप तुल्यता है और इसलिए किसी को यह मिलता है: $H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(X/G;\Lambda ).$

परिभाषाएँ

समतुल्य सहसंगति को परिभाषित करना भी संभव है

$H_{G}^{*}(X;A)$ का $X$ A में गुणांक के साथ
$G$-मॉड्यूल A; ये एबेलियन समूह हैं।

यह निर्माण स्थानीय गुणांकों के साथ सह-समरूपता का अनुरूप है।

यदि X एक मैनिफोल्ड है, G एक सघन झूठ समूह है और $\Lambda$\लैम्ब्डा वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र या जटिल संख्याओं का क्षेत्र (सबसे विशिष्ट स्थिति) है, तो उपरोक्त कोहोलॉजी की गणना तथाकथित कार्टन मॉडल (समतुल्य अंतर रूप देखें) का उपयोग करके की जा सकती है।

निर्माण को अन्य कोहोमोलॉजी सिद्धांतों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जैसे कि ब्रेडन कोहोमोलॉजी या अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों की कोहोमोलॉजी: यदि G एक कॉम्पैक्ट लाई समूह है, तो, औसत तर्क द्वारा, किसी भी रूप को अपरिवर्तनीय बनाया जा सकता है; इस प्रकार, अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के सह-समरूपता से नई जानकारी नहीं मिलती है।

कोस्ज़ुल द्वंद्व को समतुल्य सहसंगति और साधारण सहसंगति के बीच माना जाता है।

ग्रुपॉइड कोहोमोलॉजी के साथ संबंध

एक झूठ समूह के लिए ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ स्मूथ मैनिफोल्ड की समतुल्य सहसंरचना लाई ग्रुपॉइड के ग्रुपॉइड कोहोमोलॉजी का एक विशेष उदाहरण है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दिया गया है $G$-स्पेस एक कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए $X$ $G$, एक संबद्ध समूह है

${\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]$

जिनके समतुल्य सहसंयोजक समूहों की गणना कार्टन कॉम्प्लेक्स का उपयोग करके की जा सकती है $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ जो ग्रुपॉइड के डी-रैम डबल कॉम्प्लेक्स का कुलीकरण है। कार्टन कॉम्प्लेक्स में शर्तें हैं

$\Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}$

जहां ${\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })$ लाई समूह से दोहरे लाई बीजगणित का सममित बीजगणित है $G$, और $(-)^{G}$ से मेल खाता है $G$-अपरिवर्तनीय रूप. यह कोहॉमोलॉजी की गणना के लिए एक विशेष रूप से उपयोगी उपकरण है $BG$ एक कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए $G$ चूँकि इसकी गणना सह-समरूपता के रूप में की जा सकती है

$[G\rightrightarrows *]$

जहां एक बिंदु पर कार्रवाई तुच्छ है।

$H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}$

उदाहरण के लिए,

${\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ where }}\deg(t)=2\end{aligned}}$

$U(1)$-दोहरी झूठ बीजगणित पर कार्रवाई तुच्छ है।

समरूपी भागफल

होमोटोपी भागफल, जिसे होमोटोपी कक्षा स्थान या बोरेल निर्माण भी कहा जाता है, कक्षा स्थान (का भागफल) का "समरूप रूप से सही" संस्करण है इसके द्वारा $X$ $G$-एक्शन) जिसमें $X$ को पहले एक बड़े लेकिन समरूप समतुल्य स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है ताकि कार्रवाई मुक्त होने की गारंटी हो।

इस प्रयोजन के लिए, G के लिए सार्वभौमिक बंडल EG → BG का निर्माण करें और याद रखें कि EG एक निःशुल्क G-क्रिया को स्वीकार करता है। फिर उत्पाद EG ×⁻¹x): मुफ़्त क्योंकि यह EG पर मुफ़्त है। इसलिए हम समरूप भागफल XG को इस मुक्त G-क्रिया की कक्षा स्थान (EG × X)/G के रूप में परिभाषित करते हैं।

दूसरे शब्दों में, होमोटॉपी भागफल बीजी पर संबंधित एक्स-बंडल है जो एक स्थान एक्स और मुख्य बंडल ईजी → बीजी पर जी की कार्रवाई से प्राप्त होता है। इस बंडल X → XG → BG को बोरेल फ़िब्रेशन कहा जाता है।

समरूप भागफल का एक उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण का प्रस्ताव 1 है। [1]

मान लीजिए कि X एक जटिल प्रक्षेप्य बीजगणितीय वक्र है। हम जटिल बिंदुओं के सेट के साथ एक्स को एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में पहचानते हैं $X(\mathbb {C} )$, जो एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह है। मान लीजिए G एक जटिल सरल रूप से जुड़ा हुआ अर्धसरल झूठ समूह है। फिर एक्स पर कोई भी प्रमुख जी-बंडल वर्गीकृत स्थान के बाद से एक तुच्छ बंडल के लिए आइसोमोर्फिक है $BG$ एn-कनेक्टेड |2-कनेक्टेड है और एक्स का वास्तविक आयाम 2 है। कुछ चिकने जी-बंडल को ठीक करें $P_{\text{sm}}$ फिर कोई भी प्रमुख G-बंडल चालू करें $X$ समरूपी है $P_{\text{sm}}$. दूसरे शब्दों में, सेट एक्स पर एक प्रमुख जी-बंडल और उस पर एक जटिल-विश्लेषणात्मक संरचना से युक्त जोड़े के सभी समरूपता वर्गों के $\Omega$\ओमेगा को जटिल-विश्लेषणात्मक संरचनाओं के सेट के साथ पहचाना जा सकता है $P_{\text{sm}}$ या समकक्ष रूप से X पर होलोमोर्फिक कनेक्शन का सेट (चूंकि कनेक्शन आयाम कारण के लिए पूर्णांक हैं)। $\Omega$\ओमेगा एक अनंत-आयामी जटिल एफ़िन स्पेस है और इसलिए अनुबंध योग्य है।

${\mathcal {G}}$ के सभी ऑटोमोर्फिज्म का समूह बनें $P_{\text{sm}}$ (अर्थात, गेज समूह) का समरूप भागफल $\Omega$\ओमेगा द्वारा ${\mathcal {G}}$ जटिल-विश्लेषणात्मक (या समकक्ष बीजीय) प्रिंसिपल जी-बंडलों को एक्स पर वर्गीकृत करता है; यानी, यह सटीक रूप से वर्गीकरण स्थान है $B{\mathcal {G}}$ असतत समूह है।

${\mathcal {G}}$ प्रमुख बंडलों के मॉड्यूलि स्टैक को परिभाषित कर सकता है $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ भागफल स्टैक के रूप में $[\Omega /{\mathcal {G}}]$ और फिर समरूप भागफल $B{\mathcal {G}}$ परिभाषा के अनुसार, होमोटॉपी प्रकार है। $\operatorname {Bun} _{G}(X)$

समतुल्य विशेषता वर्ग

मान लीजिए E, G-मैनिफोल्ड M पर एक समवर्ती वेक्टर बंडल है। यह एक वेक्टर बंडल को जन्म देता है ${\widetilde {E}}$ समरूप भागफल पर $EG\times _{G}M$ ताकि वह बंडल की ओर खींचकर वापस आ जाए ${\widetilde {E}}=EG\times E$ ऊपर $EG\times M$. E का एक समतुल्य अभिलक्षणिक वर्ग तब का एक सामान्य अभिलक्षणिक वर्ग होता है ${\widetilde {E}}$, जो कोहोमोलॉजी रिंग के पूरा होने का एक तत्व है $H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)$. (चेर्न-वील सिद्धांत को लागू करने के लिए, ईजी के एक परिमित-आयामी सन्निकटन का उपयोग किया जाता है।)

वैकल्पिक रूप से, कोई पहले एक समतुल्य चेर्न वर्ग को परिभाषित कर सकता है और फिर अन्य विशिष्ट वर्गों को सामान्य मामले की तरह चेर्न वर्गों के अपरिवर्तनीय बहुपद के रूप में परिभाषित कर सकता है; उदाहरण के लिए, एक समवर्ती रेखा बंडल का समवर्ती टॉड वर्ग टॉड फ़ंक्शन है जिसका मूल्यांकन बंडल के समवर्ती प्रथम चेर्न वर्ग में किया जाता है। (एक लाइन बंडल का एक समतुल्य टोड वर्ग समतुल्य प्रथम चेर्न वर्ग में एक शक्ति श्रृंखला है (गैर-समतुल्य मामले में बहुपद नहीं); इसलिए, यह समवर्ती कोहोलॉजी रिंग के पूरा होने से संबंधित है।)

गैर-समतुल्य मामले में, पहले चेर्न वर्ग को कई गुना एम पर जटिल रेखा बंडलों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप के रूप में देखा जा सकता है $H^{2}(M;\mathbb {Z} ).$ समतुल्य मामले में, इसका अनुवाद इस प्रकार है: समतुल्य प्रथम चेर्न समवर्ती जटिल रेखा बंडलों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप देता है और $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$.

स्थानीयकरण प्रमेय

Main article: Localization formula for equivariant cohomology

स्थानीयकरण प्रमेय समतुल्य सहविज्ञान में सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक है।

यह भी देखें

• समतुल्य विभेदक रूप
• किरवान मानचित्र
• समतुल्य सहसंगति के लिए स्थानीयकरण सूत्र
• जीकेएम किस्म
• ब्रेडन कोहोमोलॉजी

संदर्भ

• Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1984), "The moment map and equivariant cohomology", Topology, 23: 1–28, doi:10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Brion, M. (1998). "Equivariant cohomology and equivariant intersection theory" (PDF). Representation Theories and Algebraic Geometry. Nato ASI Series. Vol. 514. Springer. pp. 1–37. arXiv:math/9802063. doi:10.1007/978-94-015-9131-7_1. ISBN 978-94-015-9131-7. S2CID 14961018.
• Goresky, Mark; Kottwitz, Robert; MacPherson, Robert (1998), "Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem", Inventiones Mathematicae, 131: 25–83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450, doi:10.1007/s002220050197, S2CID 6006856
• Hsiang, Wu-Yi (1975). Cohomology Theory of Topological Transformation Groups. Springer. doi:10.1007/978-3-642-66052-8. ISBN 978-3-642-66052-8.
• Tu, Loring W. (March 2011). "What Is . . . Equivariant Cohomology?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 58 (3): 423–6. arXiv:1305.4293.

ढेर से संबंध

• Behrend, K. (2004). "Cohomology of stacks" (PDF). प्रतिच्छेदन सिद्धांत और मापांक. ICTP Lecture Notes. Vol. 19. pp. 249–294. ISBN 9789295003286. पीडीएफ पेज 10 में उदाहरणों के साथ मुख्य परिणाम है।

अग्रिम पठन

• Guillemin, V.W.; Sternberg, S. (1999). Supersymmetry and equivariant de Rham theory. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN 978-3-662-03992-2.
• Vergne, M.; Paycha, S. (1998). "Cohomologie équivariante et théoreme de Stokes" (PDF). Département de Mathématiques, Université Blaise Pascal.

बाहरी संबंध

• Meinrenken, E. (2006), "Equivariant cohomology and the Cartan model" (PDF), Encyclopedia of mathematical physics, pp. 242–250, ISBN 978-0-12-512666-3 — Excellent survey article describing the basics of the theory and the main important theorems
• "Equivariant cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Young-Hoon Kiem (2008). "Introduction to equivariant cohomology theory" (PDF). Seoul National University.
• What is the equivariant cohomology of a group acting on itself by conjugation?