क्रिस्टलीय सहसंरचना

गणित में, क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी एक आधार क्षेत्र k पर स्कीम (गणित) के X के लिए एक वेइल कोहोमोलॉजी सिद्धांत है। इसका मान H हैⁿ(X/W) रिंग के ऊपर मॉड्यूल (गणित) हैं (गणित) K के ऊपर विट वेक्टर के W। द्वारा इसे पेश किया गया था Alexander Grothendieck (1966, 1968) और द्वारा विकसित Pierre Berthelot (1974).

क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी आंशिक रूप से पी-एडिक संख्या|पी-एडिक प्रमाण से प्रेरित है Dwork (1960) वेइल अनुमानों के भाग का और डॉ कहलमज गर्भाशय के बीजगणितीय संस्करण से निकटता से संबंधित है जिसे अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (1963) द्वारा पेश किया गया था। मोटे तौर पर कहें तो, विशेषता पी में बीजगणितीय किस्म एक्स की क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी एक्स की विशेषता 0 तक एक चिकनी लिफ्ट की डी कठोर सहसंरचना है, जबकि एक्स की डी रैम कोहोमोलॉजी क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी कम मॉड पी है (उच्च टोर फंक्टर को ध्यान में रखने के बाद|टोरस)।

क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी का विचार, मोटे तौर पर, एक योजना की ज़ारिस्की टोपोलॉजी को विभाजित शक्ति संरचनाओं के साथ ज़ारिस्की खुले सेटों की अनंत मोटाई द्वारा प्रतिस्थापित करना है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना किसी योजना को विशेषता पी से विशेषता 0 तक स्थानीय रूप से उठाकर और बीजगणितीय डी राम कोहोमोलॉजी के उचित संस्करण को नियोजित करके की जा सकती है।

क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी केवल सुचारू उचित योजनाओं के लिए ही अच्छा काम करती है। कठोर सहसंगति इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है।

अनुप्रयोग

सकारात्मक विशेषता वाली योजनाओं के लिए, क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी सिद्धांत एल-एडिक कोहोमोलॉजी|पी-एडिक एटले कोहोमोलॉजी की तुलना में कोहोमोलॉजी समूहों में पी-टोरसन के बारे में प्रश्नों को बेहतर ढंग से संभाल सकता है। यह इसे पी-एडिक एल-फंक्शन पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि बनाता है।

संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से, क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी, एल-एडिक कोहोमोलॉजी जानकारी में एक अंतर को भरती है, जो ठीक उसी जगह होती है जहां 'समान विशेषता वाले अभाज्य' होते हैं। पारंपरिक रूप से प्रभाव सिद्धांत का संरक्षण, क्रिस्टलीय कोहोलॉजी इस स्थिति को डायडोने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करता है, जिससे अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण मिलता है। इसे औपचारिक बयानों में बनाने के व्यापक दायरे वाले अनुमान जीन-मार्क फॉनटेन द्वारा प्रतिपादित किए गए थे, जिसके समाधान को पी-एडिक हॉज सिद्धांत कहा जाता है।

गुणांक

विशेषता पी > 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक किस्म एक्स के लिए, एल-एडिक कोहोमोलॉजी |$\ell$-एडिक कोहोमोलोजी समूहों के लिए $\ell$ पी के अलावा कोई भी अभाज्य संख्या रिंग में गुणांक के साथ एक्स के संतोषजनक कोहोमोलोजी समूह देती है $\mathbf {Z} _{\ell }$ पी-एडिक पूर्णांक का|$\ell$-आदिक पूर्णांक. Q में गुणांक वाले समान सह-समरूपता समूहों को खोजना सामान्यतः संभव नहीं है_p (या Z_p, या Q, या Z) के पास उचित गुण हैं।

क्लासिक कारण (सेरे के कारण) यह है कि यदि X एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र है, तो इसकी एंडोमोर्फिज्म रिंग Q के ऊपर चतुर्धातुक बीजगणित B में अधिकतम क्रम है जो p और ∞ पर विस्तृत है। . यदि X के पास Q के ऊपर एक कोहोमोलॉजी समूह है_pअपेक्षित आयाम 2 का, तो (बीजगणित के विपरीत) बी 'क्यू' के ऊपर इस 2-आयामी स्थान पर कार्य करेगा_p, जो असंभव है क्योंकि B का प्रभाव p पर है। ग्रोथेंडिक का क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी सिद्धांत इस बाधा को दूर करता है क्योंकि यह जमीनी क्षेत्र के विट वैक्टर की रिंग पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। तो यदि ज़मीनी मैदान परिमित फ़ील्ड का बीजगणितीय समापन है|F_p, इसके मान 'Z' के असंबद्ध विस्तार के पी-एडिक पूर्णता पर मॉड्यूल हैं_p, एक बहुत बड़ा वलय जिसमें सभी n के लिए एकता की nवीं जड़ें शामिल हैं जो 'Z' के बजाय p से विभाज्य नहीं है_p.

प्रेरणा

विशेषता पी के फ़ील्ड k पर एक किस्म इस लिफ्ट की डी राम कोहोमोलोजी लें। समस्या यह है कि यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि यह सह-समरूपता उठाने की पसंद से स्वतंत्र है।

विशेषता 0 में क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी का विचार एक उपयुक्त साइट (शीफ सिद्धांत) पर निरंतर शीव्स के कोहोमोलॉजी के रूप में कोहोमोलॉजी सिद्धांत की सीधी परिभाषा ढूंढना है।

इन्फ(एक्स)

एक्स के ऊपर, अनन्तिमल साइट कहा जाता है और फिर दिखाया जाता है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी राम कोहोमोलॉजी के समान है।

साइट Inf(X) एक श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को X के पारंपरिक खुले सेटों के कुछ प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है। विशेषता 0 में इसकी वस्तुएं X के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय U→T की अनंत मोटाई वाली हैं। इसका मतलब यह है कि यू एक योजना टी की बंद उपयोजना है जिसे टी पर आदर्शों के शून्य-शक्तिशाली शीफ द्वारा परिभाषित किया गया है; उदाहरण के लिए, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x²)).

ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि 'सी' पर चिकनी योजनाओं एक्स के लिए, शीफ ओ की कोहोमोलॉजी_X Inf(X) पर सामान्य (सुचारू या बीजगणितीय) Rham cohomology के समान है।

क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी

विशेषता पी में विशेषता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण मोटे तौर पर यह है कि डी राम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए, किसी को किसी प्रकार के पोंकारे लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है, और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशेषता 0 में मौजूद होती हैं लेकिन हमेशा विशेषता पी में नहीं। ग्रोथेंडिक ने एक्स के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को एक्स के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चयों की लगभग असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके, एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आवश्यक विभाजित शक्तियां प्रदान करके इस समस्या को हल किया।

हम रिंग डब्ल्यू पर काम करेंगे_n = डब्ल्यू/पीⁿविशेषता p>0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर लंबाई n के विट वैक्टर का W। उदाहरण के लिए, k क्रम p और W का परिमित क्षेत्र हो सकता है_n तो वलय Z/p हैⁿ'Z'. (अधिक आम तौर पर कोई आधार योजना एस पर काम कर सकता है जिसमें विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्शों I का एक निश्चित शीफ होता है।) यदि एक्स, के पर एक योजना है, तो 'डब्ल्यू' के सापेक्ष 'एक्स' की 'क्रिस्टलीय साइट'_n, निरूपित क्रिस(एक्स/डब्ल्यू_n), इसकी वस्तुओं के जोड़े हैं U→T में X के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय U का कुछ W में बंद विसर्जन शामिल है_n-योजना टी आदर्शों J के एक समूह द्वारा परिभाषित, J पर विभाजित शक्ति संरचना के साथ-साथ W पर संगत_n.

किसी स्कीम X ओवर k की क्रिस्टलीय सहसंगति को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है

$H^{i}(X/W)=\varprojlim H^{i}(X/W_{n})$

कहाँ

$H^{i}(X/W_{n})=H^{i}(\operatorname {Cris} (X/W_{n}),O)$

X/W के क्रिस्टलीय स्थल की सह-समरूपता है_n छल्लों के शीफ़ में मान के साथ O := O_Wn</उप>.

सिद्धांत का एक मुख्य बिंदु यह है कि एक सुचारु योजना

$H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{*})=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))$

डब्ल्यू की औपचारिक योजना पर ज़ेड के डी राम कोहोमोलॉजी के साथ एक्स के क्रिस्टलीय सह-समरूपता का (विभेदक रूपों के परिसरों की हाइपरकोहोमोलॉजी की एक व्युत्क्रम सीमा)। इसके विपरीत, एक्स की डी राम कोहोमोलॉजी को इसके क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी के रिडक्शन मॉड पी के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है (उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद)।

क्रिस्टल

Main article: Crystal (mathematics)

यदि X, S के ऊपर एक योजना है तो शीफ़ O_X/S द्वारा परिभाषित किया गया है हे_X/S(टी) = टी का समन्वय वलय, जहां हम टी को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं क्रिस(एक्स/एस) की एक वस्तु यू → टी।

साइट क्रिस(एक्स/एस) पर एक 'क्रिस्टल', ओ का एक शीफ एफ है_X/S मॉड्यूल जो निम्नलिखित अर्थों में कठोर है:

क्रिस(X/S की वस्तुओं T, T'' के बीच किसी भी मानचित्र f के लिए, f से प्राकृतिक मानचित्र^*F(T) से F(T') एक समरूपता है।

यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के क्वासिकोहेरेंट शीफ की परिभाषा के समान है।

क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ़ O है_X/S.

जॉन टेट (गणितज्ञ) (1966) को ग्रोथेंडिक के पत्र में समझाया गया सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, बीजगणितीय अंतर समीकरणों के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक था। इन्होंने विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक कोहोमोलॉजी सिद्धांतों (क्रिस्टलीय सिद्धांत के अग्रदूत, बर्नार्ड डवर्क, पॉल मोंस्की, वॉशनिट्जर, लबकिन और निक काट्ज़ द्वारा विभिन्न रूपों में पेश किए गए) में भूमिका निभाई थी। ऐसे अंतर समीकरणों को बीजगणितीय कनेक्शन शर्ट के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में विश्लेषणात्मक निरंतरता का एनालॉग अधिक रहस्यमय है (चूंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के बजाय असंयुक्त होते हैं)। डिक्री द्वारा, जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता के मामले में एक क्रिस्टल में 'कठोरता' और 'प्रसार' उल्लेखनीय होगा। (Cf. 1960 के दशक में जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा पेश किए गए कठोर विश्लेषणात्मक स्थान भी, जब इन मामलों पर सक्रिय रूप से बहस हो रही थी।)

यह भी देखें

• मोटिविक कोहोमोलॉजी
• डी राम कोहोमोलॉजी

संदर्भ

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