क्रिस्टलीय सहसंरचना

गणित में, क्रिस्टलीय सहसंरचना के आधार क्षेत्र k पर स्कीम (गणित) के X के लिए वेइल सहसंरचना सिद्धांत के रूप में है। इसके मान Hⁿ(X/W) पर विट वेक्टर वलय W के ऊपर मॉड्यूल (गणित) के रूप में होते है, इसे सिकंदर ग्रोथेडाइक (1966, 1968) द्वारा आरंभ किया गया था और इसे पियर बर्थलॉट (1974) में विकसित किया है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना आंशिक रूप से वेइल अनुमानों के भाग डवर्क (1960) में पी-एडिक के प्रमाण से प्रेरित है और यह डी रेहम सहसंरचना के बीजीय संस्करण से बहुत निकटता से संबंधित होता है, जो अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (1963) द्वारा शुरू किया गया था। और इस प्रकार सामान्यतः कहें तो, विशिष्ट पी में बीजगणितीय किस्म एक्स की क्रिस्टलीय सहसंरचना एक्स की विशिष्टता 0 तक एक चिकनी सीधी लिफ्ट का डी. आर. एच सहसंरचना है, जबकि एक्स की डी रैम सहसंरचना क्रिस्टलीय सहसंरचना कम मॉड पी उच्चतर ट्यूरों को ध्यान में रखते हुए कम करती है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना का विचार, सामान्यतः , एक योजना की ज़ारिस्की टोपोलॉजी को विभाजित शक्ति संरचनाओं के साथ ज़ारिस्की विवृत समुच्चय की अनंत मोटाई के रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना किसी योजना को विशिष्टता पी से विशिष्टता 0 तक स्थानीय रूप से उठाकर और बीजगणितीय डी रेहम सहसंरचना के उचित संस्करण को नियोजित करके की जा सकती है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना केवल सुचारू योजनाओं के लिए ही अच्छा काम करती है और इस प्रकार रिजिड सहसंरचना इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है।

अनुप्रयोग

सकारात्मक विशिष्टता वाली योजनाओं के लिए, क्रिस्टलीय सहसंरचना सिद्धांत पी-एडिक एटले सहसंरचना की तुलना में सहसंरचना समूहों में पी-टोरसन के बारे में प्रश्नों को बहुत अच्छे ढंग से संभाल सकता है। यह इसे पी-एडिक एल-फलन पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि के रूप में बनाता है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना संख्या सिद्धांत की दृष्टि से एल-एडिक सहसंरचना सूचना के अंतराल को भरता है, जो ठीक उसी जगह होती है जहां 'समान विशिष्टता वाले प्राइमस' होते हैं और इस प्रकार पारंपरिक रूप से प्रभाव सिद्धांत का संरक्षण के बाद क्रिस्टलीय कोहोलॉजी इस स्थिति को डायडोने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करता है, जिससे अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण मिलता है। इसे औपचारिक बयानों के रूप में व्यापक सीमा वाले अनुमान जीन-मार्क फॉनटेन द्वारा प्रतिपादित किए गए थे, जिसके प्रस्ताव को पी-एडिक हॉज सिद्धांत कहा जाता है।

गुणांक

विशिष्टता P > 0 के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर एक किस्म X के लिए, $\ell$-एडिक सहसंरचना समूहों के लिए $\ell$ P के अतिरिक्त कोई भी प्राइमस संख्या वलय में गुणांक के साथ X के संतोषजनक सहसंरचना समूह के रूप में होती है, $\mathbf {Z} _{\ell }$ $\ell$-एडिक पूर्णांक. Q में गुणांक वाले समान सह-समरूपता समूहों को खोजना सामान्यतः संभव नहीं होता है, Q_p (या Z_p, या Q, या Z) के पास उचित गुण होते है।

चिरसम्मत कारण सेरे का अर्थ यह है कि यदि X एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र के रूप में होता है, तो इसकी एंडोमोर्फिज्म वलय Q के ऊपर चतुर्धातुक बीजगणित B में अधिकतम क्रम के रूप में होता है, जो p और ∞ पर विस्तृत है। यदि X के पास Q_p के ऊपर एक सहसंरचना समूह है और इस प्रकार अपेक्षित आयाम 2 बीजगणित के विपरीत B 'Q_p' के ऊपर इस 2-आयामी स्थान पर कार्य करता है, जो असंभव है क्योंकि B का प्रभाव p पर होता है।

ग्रोथेंडिक का क्रिस्टलीय सहसंरचना सिद्धांत इस बाधा को दूर करता है क्योंकि यह मूल क्षेत्र के विट सदिश की वलय पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। तो यदि मूल क्षेत्र परिमित क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है| F_p, इसके मान 'Z'_p, के असंबद्ध विस्तार के पी-एडिक पूर्णता पर मॉड्यूल के रूप में होते है, एक बहुत बड़ा वलय जिसमें सभी n के लिए यूनिटी की nवीं रुट के रूप में सम्मलित हैं, जो 'Z_p.' के अतिरिक्त p से विभाज्य नहीं है

प्रेरणा

वेइल सहसंरचना के सिद्धांत को एक विशिष्ट क्षेत्र K के ऊपर X प्रकार के X को परिभाषित करने का एक विचार है 'लिफ्ट', X 'प्रकार के k के वेट्स सदिश के ऊपर जिसे X घटा हुआ p पर वापस देता है और फिर इस लिफ्ट का डी रैम सहसंरचना में समस्या यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि यह सहयोजन के रूप में स्वतंत्र होता है।

विशिष्टता 0 में क्रिस्टलीय सहसंरचना का विचार एक उपयुक्त साइट (शीफ सिद्धांत) पर निरंतर शीव्स के सहसंरचना के रूप में सहसंरचना सिद्धांत की सीधी परिभाषा ढूंढना है।

Inf(X)

X के ऊपर, अनन्तिमल साइट कहा जाता है और फिर दिखाया जाता है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी रएम सहसंरचना के समान होते है।

साइट Inf(X) एक श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को X के पारंपरिक विवृत समुच्चय के कुछ प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है और इस प्रकार विशिष्टता 0 में इसकी वस्तुएं X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U→T की अनंत मोटाई वाली होती है। इसका अर्थ यह है कि U एक योजना T की संवृत उपयोजना है जिसे T पर आदर्शों के शून्य-शक्तिशाली शीफ द्वारा परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए इस प्रकार दर्शाया गया है, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x²)).

ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि 'C' पर चिकनी योजनाओं X के लिए, शीफ O_X की सहसंरचना Inf(X) पर सामान्य सुचारू या बीजगणितीय रैम सहसंरचना के समान होती है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना

विशिष्टता p में विशिष्टता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण सामान्यतः यह है कि डी रैम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए किसी को किसी प्रकार के पोंकारे लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशिष्टता 0 के रूप में उपस्थित होती हैं लेकिन अधिकांशतः विशिष्टता p में नहीं होती है। ग्रोथेंडिक ने X के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चयों की लगभग असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके, एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आवश्यक विभाजित शक्तियां प्रदान करके इस समस्या को हल किया जाता है।

हम विशेषता p>0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर लंबाई n के विट सदिश के वलय W_n = W/pⁿW पर काम करते है। उदाहरण के लिए, k क्रम p और W_n का परिमित क्षेत्र हो सकता है, तो वलय Z'/pⁿZ.के रूप में होता है और इस प्रकार सामान्यतः कोई आधार योजना S पर काम कर सकता है जिसमें विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्शों की एक निश्चित शीफ होती है I यदि X, k पर एक योजना है, तो W_n के सापेक्ष 'X' की 'क्रिस्टलीय साइट' चिह्नित Cris(X/W_n) में इसकी वस्तुओं के जोड़े U→T के रूप में X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U का कुछ W_n में संवृत इमर्शन के रूप में सम्मलित है, डिफाइन टी आदर्शों J के एक समूह द्वारा परिभाषित J पर विभाजित शक्ति संरचना के साथ-साथ W_n. पर संगत रूप में होते है।

किसी स्कीम X ओवर k की क्रिस्टलीय सहसंगति को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है,

$H^{i}(X/W)=\varprojlim H^{i}(X/W_{n})$

जहाँ

$H^{i}(X/W_{n})=H^{i}(\operatorname {Cris} (X/W_{n}),O)$

X/W_n के क्रिस्टलीय स्थल की सह-समरूपता है और इस प्रकार वलय के शीफ़ में मान O := O_Wn. के रूप में होते है_.

सिद्धांत का एक मुख्य बिंदु यह है कि एक सुचारु योजना के रूप में होते है

$H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{*})=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))$

डब्ल्यू की औपचारिक योजना पर Z के डी रैम सहसंरचना के साथ X के क्रिस्टलीय सह-समरूपता का अवकलन रूपों की जटिलताओं के हाइपरसहसंरचना की एक व्युत्क्रम सीमा इसके विपरीत, X की डी रैम सहसंरचना को इसके क्रिस्टलीय सहसंरचना के रिडक्शन मॉड p के रूप में उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

क्रिस्टल

Main article: क्रिस्टल (गणित)

यदि X, S के ऊपर एक योजना है तो शीफ़ O_X/S द्वारा परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार O_X/S(T) = निर्देशांक का समन्वय वलय के रूप में होता है, जहां हम T को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं Cris(X/S) की एक वस्तु U → T के रूप में होता है।

साइट Cris(X/S) पर एक 'क्रिस्टल', O_X/S का एक शीफ F के रूप में परिभाषित किया जाता है और मॉड्यूल जो निम्नलिखित अर्थों में रिजिड के रूप में होता है

Cris(X/S) की वस्तुओं T, T'' के बीच किसी भी मानचित्र f के लिए, f से प्राकृतिक मानचित्र^*F(T) से F(T') एक समरूपता के रूप में होती है।

यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के क्वासिकोहेरेंट शीफ की परिभाषा के समान होता है।

क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ़ O_X/S है

जॉन टेट (गणितज्ञ) (1966) को ग्रोथेंडिक के पत्र में समझाया गया सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, बीजगणितीय अंतर समीकरण के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक के रूप में था। इन्होंने विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक सहसंरचना सिद्धांतों में भूमिका निभाई थी और इस प्रकार क्रिस्टलीय सिद्धांत के पूर्ववर्ती, बर्नार्ड डवर्क, पॉल मोंस्की, वॉशनिट्जर, लबकिन और निक काट्ज़ द्वारा विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किए गए थे, ऐसे अंतर समीकरणों को बीजगणितीय कोस्ज़ुल कनेक्शन के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में विश्लेषणात्मक निरंतरता का एनालॉग अधिक रहस्यमय रूप में होता है, चूंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के अतिरिक्त असंयुक्त रूप में होते हैं और इस प्रकार डिक्री द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता की स्थितियों में एक क्रिस्टल में 'कठोरता' और 'प्रसार' उल्लेखनीय रूप में होता है। Cf. 1960 के दशक में जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तुत किए गए है और इस प्रकार रिजिड विश्लेषणात्मक स्थान की इन स्थितियों पर सक्रिय रूप से बहस होती है।

यह भी देखें

• मोटिविक सहसंरचना
• डी रैम सहसंरचना

संदर्भ

• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, vol. 407, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5, MR 0384804
• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9, MR 0491705
• Chambert-Loir, Antoine (1998), "Cohomologie cristalline: un survol", Expositiones Mathematicae, 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, MR 1654786, archived from the original on 2011-07-21
• Dwork, Bernard (1960), "On the rationality of the zeta function of an algebraic variety", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372974, MR 0140494
• Grothendieck, Alexander (1966), "On the de Rham cohomology of algebraic varieties", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques, 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, MR 0199194 (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
• Grothendieck, Alexander (1966), Letter to J. Tate (PDF), archived from the original (PDF) on 2021-07-21.
• Grothendieck, Alexander (1968), "Crystals and the de Rham cohomology of schemes" (PDF), in Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L.; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced studies in pure mathematics, vol. 3, Amsterdam: North-Holland, pp. 306–358, MR 0269663, archived from the original (PDF) on 2022-02-08
• Illusie, Luc (1975), "Report on crystalline cohomology", Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 29, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 459–478, MR 0393034
• Illusie, Luc (1976), "Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456, Lecture Notes in Math., vol. 514, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 53–60, MR 0444668, archived from the original on 2012-02-10, retrieved 2007-09-20
• Illusie, Luc (1994), "Crystalline cohomology", Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 43–70, MR 1265522
• Kedlaya, Kiran S. (2009), "p-adic cohomology", in Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L.; Pandharipande, Rahul; Thaddeus., M. (eds.), Algebraic geometry---Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 80, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 667–684, arXiv:math/0601507, Bibcode:2006math......1507K, ISBN 978-0-8218-4703-9, MR 2483951