पृथक्करणीय अवस्था

क्वांटम यांत्रिकी में, वियोज्य अवस्थाएँ एक समग्र स्थान से संबंधित क्वांटम अवस्थाएँ होती हैं जिन्हें अलग-अलग उप-स्थानों से संबंधित अलग-अलग राज्यों में विभाजित किया जा सकता है। एक स्थिति को क्वांटम उलझाव कहा जाता है यदि यह अलग करने योग्य नहीं है। सामान्य तौर पर, यह निर्धारित करना कि क्या कोई राज्य अलग किया जा सकता है, सीधा नहीं है और समस्या को एनपी कठिन के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

द्विदलीय प्रणालियों की पृथक्करण

स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले पहले मिश्रित राज्यों पर विचार करें, जिन्हें द्विदलीय राज्य कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के एक अभिधारणा द्वारा इन्हें मॉड्यूल स्पेस के टेन्सर उत्पाद में वैक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है $H_{1}\otimes H_{2}$. इस चर्चा में हम हिल्बर्ट स्थानों के मामले पर ध्यान केंद्रित करेंगे $H_{1}$ और $H_{2}$ परिमित-आयामी होना।

शुद्ध अवस्थाएँ

होने देना $\{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}$ और $\{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}$ बे ऑर्थोनॉर्मल बेसिस फॉर $H_{1}$ और $H_{2}$, क्रमश। के लिए एक आधार $H_{1}\otimes H_{2}$ तब है $\{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}$, या अधिक संक्षिप्त संकेतन में $\{|a_{i}b_{j}\rangle \}$. टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, मानक 1 के किसी भी वेक्टर, यानी समग्र प्रणाली की शुद्ध स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$|\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,$

कहाँ $c_{i,j}$ एक स्थिरांक है. अगर $|\psi \rangle$ एक साधारण टेन्सर के रूप में, अर्थात् रूप में लिखा जा सकता है $|\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle$ साथ $|\psi _{i}\rangle$ i-वें स्थान में एक शुद्ध अवस्था, इसे एक उत्पाद अवस्था कहा जाता है, और, विशेष रूप से, अलग करने योग्य। अन्यथा इसे उलझा हुआ कहा जाता है. ध्यान दें कि, भले ही उत्पाद और अलग-अलग राज्यों की धारणाएं शुद्ध राज्यों के लिए मेल खाती हैं, वे मिश्रित राज्यों के अधिक सामान्य मामले में नहीं हैं।

शुद्ध अवस्थाएँ उलझी हुई हैं यदि और केवल यदि क्वांटम ऑपरेशन के रूप में उनका आंशिक ट्रेस#आंशिक ट्रेस शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी) नहीं है। इसे देखने के लिए, श्मिट अपघटन लिखें $|\psi \rangle$ जैसा

$|\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),$

कहाँ ${\sqrt {p_{k}}}>0$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, $r_{\psi }$ की श्मिट रैंक है $|\psi \rangle$, और $\{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}$ और $\{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}$ में लंबात्मक अवस्थाओं के समूह हैं $H_{1}$ और $H_{2}$, क्रमश। राज्य $|\psi \rangle$ उलझा हुआ है यदि और केवल यदि $r_{\psi }>1$. साथ ही आंशिक अवस्था का स्वरूप होता है

$\rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.$

यह इस प्रकार है कि $\rho _{A}$ शुद्ध है --- अर्थात इकाई-रैंक के साथ प्रक्षेपण है --- यदि और केवल यदि $r_{\psi }=1$, जो के बराबर है $|\psi \rangle$ वियोज्य होना.

भौतिक रूप से, इसका मतलब यह है कि उपप्रणालियों को एक निश्चित (शुद्ध) स्थिति निर्दिष्ट करना संभव नहीं है, जिसे इसके बजाय शुद्ध राज्यों के सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए, अर्थात घनत्व मैट्रिक्स के रूप में। एक शुद्ध अवस्था $\rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |$ इस प्रकार उलझा हुआ है यदि और केवल यदि वॉन न्यूमैन आंशिक अवस्था की एन्ट्रापी है $\rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )$ शून्येतर है.

औपचारिक रूप से, राज्यों के उत्पाद को उत्पाद स्थान में एम्बेड करना सेग्रे एम्बेडिंग द्वारा दिया जाता है। अर्थात्, क्वांटम-मैकेनिकल शुद्ध अवस्था को तभी अलग किया जा सकता है जब वह सेग्रे एम्बेडिंग की छवि में हो।

उपरोक्त चर्चा को उस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जब राज्य स्थान अनंत-आयामी है और वस्तुतः कुछ भी नहीं बदला है।

मिश्रित अवस्थाएँ

मिश्रित अवस्था के मामले पर विचार करें. मिश्रित प्रणाली की मिश्रित अवस्था का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है $\rho$ अभिनय कर रहे $H_{1}\otimes H_{2}$. यदि मौजूद है तो ρ वियोज्य है $p_{k}\geq 0$, $\{\rho _{1}^{k}\}$ और $\{\rho _{2}^{k}\}$ जो कि संबंधित उपप्रणालियों की मिश्रित अवस्थाएँ हैं

$\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$

कहाँ

$\;\sum _{k}p_{k}=1.$

अन्यथा $\rho$ उलझी हुई अवस्था कहलाती है. उपरोक्त अभिव्यक्ति में व्यापकता खोए बिना हम यह मान सकते हैं $\{\rho _{1}^{k}\}$ और $\{\rho _{2}^{k}\}$ सभी रैंक-1 प्रक्षेपण हैं, यानी, वे उपयुक्त उपप्रणालियों के शुद्ध समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा से स्पष्ट है कि पृथक्करणीय अवस्थाओं का परिवार एक उत्तल समुच्चय है।

ध्यान दें कि, फिर से टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, किसी भी घनत्व मैट्रिक्स, वास्तव में समग्र राज्य स्थान पर कार्य करने वाला कोई भी मैट्रिक्स, वांछित रूप में तुच्छ रूप से लिखा जा सकता है, यदि हम आवश्यकता को छोड़ देते हैं $\{\rho _{1}^{k}\}$ और $\{\rho _{2}^{k}\}$ स्वयं राज्य हैं और $\;\sum _{k}p_{k}=1.$ यदि ये आवश्यकताएं संतुष्ट हैं, तो हम कुल स्थिति की व्याख्या असंबद्ध उत्पाद राज्यों पर संभाव्यता वितरण के रूप में कर सकते हैं।

क्वांटम चैनलों के संदर्भ में, एलओसीसी का उपयोग करके किसी अन्य राज्य से एक अलग राज्य बनाया जा सकता है जबकि एक उलझा हुआ राज्य नहीं बनाया जा सकता है।

जब राज्य स्थान अनंत-आयामी होते हैं, तो घनत्व मैट्रिक्स को ट्रेस 1 के साथ सकारात्मक ट्रेस क्लास ऑपरेटरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और एक राज्य को अलग किया जा सकता है यदि इसे उपरोक्त फॉर्म के राज्यों द्वारा, ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।

यदि केवल एक ही अशून्य है $p_{k}$, तो अवस्था को ऐसे ही व्यक्त किया जा सकता है ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ और इसे केवल वियोज्य या उत्पाद अवस्था कहा जाता है। उत्पाद स्थिति की एक संपत्ति यह है कि वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी के संदर्भ में,

$S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).$

बहुपक्षीय मामले का विस्तार

उपरोक्त चर्चा दो से अधिक उपप्रणालियों से युक्त क्वांटम प्रणाली के मामले को आसानी से सामान्यीकृत करती है। मान लीजिए कि एक सिस्टम में n सबसिस्टम हैं और स्टेट स्पेस है $H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}$. एक शुद्ध अवस्था $|\psi \rangle \in H$ यदि यह रूप ले लेता है तो अलग किया जा सकता है

$|\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .$

इसी प्रकार, H पर कार्य करने वाली एक मिश्रित अवस्था ρ वियोज्य है यदि यह एक उत्तल योग है

$\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.$

या, अनंत-आयामी मामले में, ρ वियोज्य है यदि इसे उपरोक्त फॉर्म के राज्यों द्वारा ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।

पृथक्करणीयता मानदंड

यह तय करने की समस्या कि क्या कोई राज्य सामान्य रूप से अलग किया जा सकता है, कभी-कभी पृथक्करण समस्या कहलाती है क्वांटम सूचना सिद्धांत में। यह एक कठिन समस्या मानी जाती है। इसे कई मामलों में एनपी-हार्ड दिखाया गया है और सामान्यतः ऐसा ही माना जाता है। इस कठिनाई के लिए कुछ सराहना प्राप्त की जा सकती है यदि कोई एक निश्चित आयाम के लिए प्रत्यक्ष क्रूर बल दृष्टिकोण को नियोजित करके समस्या को हल करने का प्रयास करता है। हम देखते हैं कि समस्या शीघ्र ही कठिन हो जाती है, यहां तक ​​कि कम आयामों के लिए भी। अत: अधिक परिष्कृत फॉर्मूलेशन की आवश्यकता है। पृथक्करण समस्या वर्तमान शोध का विषय है।

पृथक्करण मानदंड एक आवश्यक शर्त है जिसे राज्य को अलग होने के लिए पूरा करना होगा। निम्न-आयामी (2 एक्स 2 और 2 एक्स 3) मामलों में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड वास्तव में पृथक्करण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। अन्य पृथक्करण मानदंडों में सीमा मानदंड, कमी मानदंड और अनिश्चितता संबंधों पर आधारित (लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं) शामिल हैं। रेफरी देखें. असतत चर प्रणालियों में पृथक्करण मानदंड की समीक्षा के लिए।

सतत परिवर्तनशील प्रणालियों में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड भी लागू होता है। विशेष रूप से, साइमन विहित ऑपरेटरों के दूसरे क्रम के क्षणों के संदर्भ में पेरेस-होरोडेकी मानदंड का एक विशेष संस्करण तैयार किया और दिखाया कि यह आवश्यक और पर्याप्त है $1\oplus 1$-मोड गॉसियन राज्य (संदर्भ देखें। प्रतीत होता है कि भिन्न लेकिन अनिवार्य रूप से समतुल्य दृष्टिकोण के लिए)। यह बाद में पाया गया साइमन की स्थिति भी आवश्यक और पर्याप्त है $1\oplus n$-मोड गॉसियन राज्य, लेकिन अब इसके लिए पर्याप्त नहीं है $2\oplus 2$-मोड गॉसियन राज्य। कैनोनिकल ऑपरेटरों के उच्च क्रम के क्षणों को ध्यान में रखकर साइमन की स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है या एन्ट्रोपिक उपायों का उपयोग करके।

बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से लक्षण वर्णन

क्वांटम यांत्रिकी को प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान पर तैयार किया जा सकता है, और ऐसे दो स्थानों का श्रेणीबद्ध उत्पाद सेग्रे एम्बेडिंग है। द्विदलीय मामले में, एक क्वांटम स्थिति को अलग किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब यह सेग्रे एम्बेडिंग की छवि (गणित) में निहित हो। लीना में जॉन मैग्ने, जान मिरहेम और एरिक ओवरम ने अपने पेपर में उलझाव के ज्यामितीय पहलू समस्या का वर्णन करें और सामान्य राज्य मैट्रिक्स के सबसेट के रूप में अलग-अलग राज्यों की ज्यामिति का अध्ययन करें। इस उपसमूह का पेरेज़-होरोडेकी मानदंड रखने वाले राज्यों के उपसमूह के साथ कुछ प्रतिच्छेदन है। इस पेपर में, लीनास एट अल। सामान्य मामले में पृथक्करण के परीक्षण के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण भी दें।

पृथक्करण के लिए परीक्षण

सामान्य मामले में पृथक्करण के लिए परीक्षण एक एनपी-हार्ड समस्या है। लीनास एट अल.यदि कोई दी गई स्थिति अलग करने योग्य है तो परीक्षण के लिए एक पुनरावृत्त, संभाव्य एल्गोरिदम तैयार किया गया। जब एल्गोरिदम सफल होता है, तो यह दिए गए राज्य को एक अलग करने योग्य राज्य के रूप में एक स्पष्ट, यादृच्छिक, प्रतिनिधित्व देता है। अन्यथा यह दिए गए राज्य की निकटतम वियोज्य राज्य से दूरी बताता है जिसे वह पा सकता है।

यह भी देखें

• उलझाव का गवाह

बाहरी संबंध

• "StateSeparator" web-app