खोवानोव सजातीय

गणित में, खोवानोव होमोलॉजी एक उन्मुख लिंक अपरिवर्तनीय है जो कोचेन कॉम्प्लेक्स के होमोलॉजी (गणित) के रूप में उत्पन्न होती है। इसे जोन्स बहुपद का वर्गीकरण माना जा सकता है।

इसे 1990 के दशक के अंत में मिखाइल खोवानोव द्वारा विकसित किया गया था, तब कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, डेविस और अब कोलंबिया विश्वविद्यालय में।

अवलोकन

एक गाँठ (गणित) एल का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी भी लिंक आरेख डी के लिए, हम 'खोवानोव ब्रैकेट' '['D']' प्रदान करते हैं, जो कि वर्गीकृत वेक्टर रिक्त स्थान का एक कोचेन कॉम्प्लेक्स है। यह जोन्स बहुपद के निर्माण में कॉफ़मैन ब्रैकेट का एनालॉग है। इसके बाद, हम '['D']' को डिग्री शिफ्ट (श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान में) और ऊंचाई शिफ्ट (कोचेन कॉम्प्लेक्स में) की एक श्रृंखला द्वारा सामान्यीकृत करते हैं ताकि एक प्राप्त किया जा सके। नया कोचेन कॉम्प्लेक्स 'सी'(डी)। इस कोचेन कॉम्प्लेक्स की समरूपता (गणित) एल का एक अपरिवर्तनीय (गणित) बन जाती है, और इसकी वर्गीकृत यूलर विशेषता एल का जोन्स बहुपद है।

परिभाषा

यह परिभाषा ड्रॉर बार-नटन के 2002 के पेपर में दी गई औपचारिकता का पालन करती है।

मान लीजिए कि {l} ग्रेडेड सदिश स्थल पर डिग्री शिफ्ट ऑपरेशन को दर्शाता है - यानी, आयाम m में सजातीय घटक को आयाम m + l तक स्थानांतरित कर दिया गया है।

इसी तरह, मान लीजिए कि [s] कोचेन कॉम्प्लेक्स पर ऊंचाई शिफ्ट ऑपरेशन को दर्शाता है - अर्थात, कॉम्प्लेक्स में rth वेक्टर स्पेस या मॉड्यूल (गणित) को सभी अंतर (गणित) के साथ (r+s)वें स्थान पर स्थानांतरित कर दिया जाता है। तदनुसार स्थानांतरित किया जा रहा है।

मान लीजिए कि V एक ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है जिसमें डिग्री 1 का एक जेनरेटर q और एक जेनरेटर q है⁻¹डिग्री का −1.

अब एक लिंक एल का प्रतिनिधित्व करने वाला एक मनमाना आरेख डी लें। 'खोवानोव ब्रैकेट' के लिए सिद्धांत इस प्रकार हैं:

1. '['ø']' = 0 → 'Z' → 0, जहां ø खाली लिंक को दर्शाता है।
2. '['O D']' = V ⊗ '['D']', जहां O एक अनलिंक किए गए तुच्छ घटक को दर्शाता है।
3. '['डी']' = 'एफ'(0 → '['डी₀] → [डी₁]{1} → 0)

इनमें से तीसरे में, एफ 'फ़्लैटनिंग' ऑपरेशन को दर्शाता है, जहां विकर्णों के साथ सीधे योग लेकर दोहरे कॉम्प्लेक्स से एक दोहरा जटिल बनाया जाता है। इसके अलावा, डी₀ डी, और डी में चुने गए क्रॉसिंग के `0-स्मूथिंग' को दर्शाता है<sub>1</sub> कॉफ़मैन ब्रैकेट के लिए स्केन संबंध के अनुरूप, `1-स्मूथिंग' को दर्शाता है।

इसके बाद, हम 'सामान्यीकृत' कॉम्प्लेक्स C(D) = [D][−n का निर्माण करते हैं₋]{एन₊−2n₋}, जहां एन₋ डी, और एन के लिए चुने गए आरेख में बाएं हाथ से क्रॉसिंग की संख्या को दर्शाता है₊ दाएँ हाथ से क्रॉसिंग की संख्या.

एल की खोवानोव समरूपता को इस जटिल सी(डी) के सहसमरूपता एच(एल) के रूप में परिभाषित किया गया है। यह पता चला है कि खोवानोव होमोलॉजी वास्तव में एल का एक अपरिवर्तनीय है, और यह आरेख की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। H(L) की श्रेणीबद्ध यूलर विशेषता L का जोन्स बहुपद बन जाती है। हालाँकि, H(L) में जोन्स बहुपद की तुलना में L के बारे में अधिक जानकारी शामिल है, लेकिन सटीक विवरण अभी तक पूरी तरह से समझ में नहीं आया है।

2006 में ड्रोर बार-नटन ने किसी भी गाँठ के लिए खोवानोव होमोलॉजी (या श्रेणी) की गणना करने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम विकसित किया।

संबंधित सिद्धांत

खोवानोव की समरूपता के सबसे दिलचस्प पहलुओं में से एक यह है कि इसके सटीक अनुक्रम औपचारिक रूप से 3 manifolds के फ़्लोर समरूपता में उत्पन्न होने वाले अनुक्रमों के समान हैं। इसके अलावा, इसका उपयोग गेज सिद्धांत और उसके समकक्षों का उपयोग करके पहले प्रदर्शित परिणाम का एक और प्रमाण तैयार करने के लिए किया गया है: जैकब रासमुसेन का पीटर क्रोनहाइमर और टॉमाज़ म्रोवका के प्रमेय का नया प्रमाण, जिसे पहले मिल्नोर अनुमान (टोपोलॉजी) के रूप में जाना जाता था (नीचे देखें)। पीटर ओज़स्वथ और ज़ोल्टन स्ज़ाबो (गणितज्ञ) के फ़्लोर होमोलॉजी के साथ खोवानोव होमोलॉजी से संबंधित एक वर्णक्रमीय अनुक्रम है | ज़ोल्टन स्ज़ाबो (डॉवलिन 2018)। इस वर्णक्रमीय अनुक्रम ने दो सिद्धांतों (डनफील्ड एट अल. 2005) के बीच संबंधों पर पहले के अनुमान को सुलझाया। एक अन्य वर्णक्रमीय अनुक्रम (ओज़स्वथ-स्ज़ाबो 2005) खोवानोव समरूपता के एक प्रकार को एक गाँठ के साथ शाखायुक्त डबल कवर (टोपोलॉजी) के हीगार्ड फ़्लोर समरूपता से जोड़ता है। एक तिहाई (ब्लूम 2009) ब्रांच्ड डबल कवर के मोनोपोल फ़्लोर होमोलॉजी के एक प्रकार में परिवर्तित होता है। 2010 में क्रोनहाइमर और म्रोवका अपने इंस्टेंटन नॉट फ़्लोर होमोलॉजी समूह से सटे एक वर्णक्रमीय अनुक्रम का प्रदर्शन किया और इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि खोवानोव होमोलॉजी (इंस्टेंटन नॉट फ़्लोर होमोलॉजी की तरह) अनकॉट का पता लगाता है।

खोवानोव होमोलॉजी ली बीजगणित एसएल के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंधित है₂. मिखाइल खोवानोव और लेव रोज़ान्स्की ने तब से एसएल से जुड़े होमोलॉजी (गणित) सिद्धांतों को परिभाषित किया है_n सभी के लिए एन. 2003 में, कैथरीन स्ट्रॉपेल ने खोवानोव होमोलॉजी को टेंगल्स के एक इनवेरिएंट (रेशेतिखिन-तुराएव इनवेरिएंट का एक वर्गीकृत संस्करण) तक विस्तारित किया, जो sl को भी सामान्यीकृत करता है।_n सभी के लिए एन. पॉल सीडेल और इवान स्मिथ ने लैग्रेंजियन इंटरसेक्शन फ़्लोर होमोलॉजी का उपयोग करके एक एकल वर्गीकृत गाँठ होमोलॉजी सिद्धांत का निर्माण किया है, जिसे वे खोवानोव होमोलॉजी के एकल वर्गीकृत संस्करण के लिए आइसोमोर्फिक होने का अनुमान लगाते हैं। सिप्रियन मनोलेस्कु ने तब से उनके निर्माण को सरल बना दिया है और दिखाया है कि सीडेल-स्मिथ अपरिवर्तनीय के अपने संस्करण के अंतर्निहित कोचेन कॉम्प्लेक्स से जोन्स बहुपद को कैसे पुनर्प्राप्त किया जाए।

लिंक (गाँठ) बहुपद से संबंध

2006 में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में मिखाइल खोवानोव ने खोवानोव समरूपता के दृष्टिकोण से गाँठ बहुपदों के संबंध के लिए निम्नलिखित स्पष्टीकरण प्रदान किया। तीन कड़ियों के लिए स्केन संबंध $L_{1},L_{2}$ और $L_{3}$ के रूप में वर्णित है

$\lambda P(L_{1})-\lambda ^{-1}P(L_{2})=(q-q^{-1})P(L_{3}).$

स्थानापन्न $\lambda =q^{n},n\leq 0$ एक लिंक बहुपद अपरिवर्तनीय की ओर ले जाता है $P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]$, ताकि सामान्यीकृत किया जा सके

${\begin{aligned}P_{n}(unknot)&=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots +q^{1-n}&&n>0\\P_{0}(unknot)&=1\end{aligned}}$

के लिए $n>0$ बहुपद $P_{n}(L)$ क्वांटम समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के माध्यम से व्याख्या की जा सकती है $sl(n)$ और $P_{0}(L)$ क्वांटम लाई सुपरबीजगणित के माध्यम से $U_{q}(gl(1|1))$.

• सिकंदर बहुपद $P_{0}(L)$ बिगग्रेडेड नॉट होमोलॉजी सिद्धांत की यूलर विशेषता है।
• $P_{1}(L)=1$ तुच्छ है.
• जोन्स बहुपद $P_{2}(L)$ बिगग्रेडेड लिंक होमोलॉजी सिद्धांत की यूलर विशेषता है।
• संपूर्ण होमफ्लाई बहुपद|होमफ्लाई-पीटी बहुपद एक त्रिगुणित श्रेणीबद्ध लिंक होमोलॉजी सिद्धांत की यूलर विशेषता है।

अनुप्रयोग

खोवानोव होमोलॉजी का पहला अनुप्रयोग जैकब रासमुसेन द्वारा प्रदान किया गया था, जिन्होंने खोवानोव होमोलॉजी का उपयोग करके एस-इनवेरिएंट (गणित) को परिभाषित किया था। एक गाँठ का यह पूर्णांक मूल्यवान अपरिवर्तनीय स्लाइस जीनस पर एक सीमा देता है, और मिल्नोर अनुमान (टोपोलॉजी) को साबित करने के लिए पर्याप्त है।

2010 में, पीटर बी. क्रोनहाइमर और टोमाज़ म्रोवका ने साबित किया कि खोवानोव होमोलॉजी अनकॉट का पता लगाती है। वर्गीकृत सिद्धांत में गैर-वर्गीकृत सिद्धांत की तुलना में अधिक जानकारी होती है। हालाँकि खोवानोव समरूपता अनकनॉट का पता लगाती है, यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि जोन्स बहुपद#ओपन समस्याएँ होती हैं या नहीं।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Khovanov homology is an unknot-detector by Kronheimer and Mrowka
• Hand-written slides of M. Khovanov's talk
• "Khovanov Homology", The Knot Atlas.