पुलबैक (कोहोमोलॉजी)

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान का एक सतत मानचित्र f:

$f^{*}:H^{*}(Y;R)\to H^{*}(X;R)$

आर में गुणांक के साथ वाई के कोहोमोलोजी रिंग से एक्स के गुणांक तक। सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग इसकी विरोधाभासी प्रकृति को इंगित करने के लिए है: यह मानचित्र की दिशा को उलट देता है। उदाहरण के लिए, यदि

कोहोमोलॉजी के होमोटॉपी इनवेरिएंस में कहा गया है कि यदि दो मानचित्र एफ, जी: एक्स → वाई एक दूसरे के लिए होमोटोपिक हैं, तो वे समान पुलबैक निर्धारित करते हैं: एफ^* = जी^*.

इसके विपरीत, उदाहरण के लिए डी राम कोहोमोलॉजी के लिए एक प्रोत्साहन एकीकरण-साथ-फाइबर द्वारा दिया जाता है।

शृंखला संकुल से परिभाषा

हम सबसे पहले एक श्रृंखला परिसर के दोहरे की सह-समरूपता की परिभाषा की समीक्षा करते हैं। मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है, C, R-मॉड्यूल का एक श्रृंखला परिसर है और G एक R-मॉड्यूल है। जैसे कोई जाने देता है $H_{*}(C;G)=H_{*}(C\otimes _{R}G)$, एक चलो

$H^{*}(C;G)=H^{*}(\operatorname {Hom} _{R}(C,G))$

जहां होम एक चेन कॉम्प्लेक्स और एक कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच होम का विशेष मामला है, जी को एक कोचेन कॉम्प्लेक्स के रूप में देखा जाता है जो डिग्री शून्य में केंद्रित होता है। (इसे कठोर बनाने के लिए, किसी को कॉम्प्लेक्स के टेंसर उत्पाद में संकेतों के समान संकेतों को चुनने की आवश्यकता है।) उदाहरण के लिए, यदि सी एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स से जुड़ा एकवचन श्रृंखला कॉम्प्लेक्स है, तो यह की परिभाषा है जी में गुणांक के साथ एक्स की एकवचन सहसंरचना।

अब, मान लीजिए f: C → C' श्रृंखला परिसरों का एक मानचित्र हो (उदाहरण के लिए, यह टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक सतत मानचित्र द्वारा प्रेरित हो सकता है)। फिर वहाँ है

$f^{*}:\operatorname {Hom} _{R}(C',G)\to \operatorname {Hom} _{R}(C,G)$

जो बदले में निर्धारित करता है

$f^{*}:H^{*}(C';G)\to H^{*}(C;G).$

यदि सी, सी' रिक्त स्थान

संदर्भ

• J. P. May (1999), A Concise Course in Algebraic Topology.
• S. P. Novikov (1996), Topology I - General Survey.