काल्पनिक अवयव

मॉडल सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, संरचना का एक काल्पनिक तत्व मोटे तौर पर एक निश्चित तुल्यता वर्ग है। इनका परिचय कराया गया Shelah (1990), और कल्पनाओं का उन्मूलन शुरू किया गया था Poizat (1983).

परिभाषाएँ

• M कुछ थ्योरी (गणितीय तर्क) का एक मॉडल (मॉडल सिद्धांत) है।
• 'x' और 'y' कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए, चरों के n-टुपल्स को दर्शाते हैं।
• एक 'समतुल्यता सूत्र' एक सुगठित सूत्र φ('x', 'y') है जो एक सममित संबंध और सकर्मक संबंध द्विआधारी संबंध है। इसका डोमेन एम के तत्वों 'ए' का सेट (गणित) हैⁿ ऐसा कि φ('a', 'a'); यह अपने डोमेन पर एक तुल्यता संबंध है।
• M का एक 'काल्पनिक तत्व' 'a'/φ एक तुल्यता वर्ग 'a' के साथ एक तुल्यता सूत्र φ है।
• एम में 'कल्पनाओं का उन्मूलन' है यदि प्रत्येक काल्पनिक तत्व 'ए'/φ के लिए एक सूत्र θ('x', 'y') है जैसे कि एक अद्वितीय टपल 'बी' है ताकि 'ए' का समतुल्य वर्ग हो ' टुपल्स 'x' से मिलकर बनता है जैसे कि θ('x', 'b')।
• एक मॉडल में 'कल्पनाओं का एक समान उन्मूलन' होता है यदि सूत्र θ को 'ए' से स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।
• एक सिद्धांत में 'कल्पनाओं का उन्मूलन' होता है यदि उस सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल ऐसा करता है (और इसी तरह समान उन्मूलन के लिए भी)।

उदाहरण

• ZFC में कल्पनाओं का उन्मूलन है।
• पीनो अंकगणित में कल्पनाओं का एक समान उन्मूलन होता है।
• कम से कम 3 तत्वों वाले एक परिमित क्षेत्र पर कम से कम 2 [[आयाम (सदिश स्थल)]] के एक वेक्टर स्थान में कल्पनाओं का उन्मूलन नहीं होता है।

संदर्भ

• Hodges, Wilfrid (1993), Model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
• Poizat, Bruno (1983), "Une théorie de Galois imaginaire. [An imaginary Galois theory]", Journal of Symbolic Logic, 48 (4): 1151–1170, doi:10.2307/2273680, JSTOR 2273680, MR 0727805
• Shelah, Saharon (1990) [1978], Classification theory and the number of nonisomorphic models, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (2nd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9