त्रिपद विस्तार

पास्कल के पिरामिड की परतें एक ट्रिनोमियल की शक्तियों के विस्तार में शब्दों के उल्टे टर्नरी प्लॉट में गुणांक से प्राप्त होती हैं - the number of terms स्पष्ट रूप से एक त्रिकोणीय संख्या है

गणित में, त्रिपद विस्तार तीन पदों के योग की घात का एकपदी में विस्तार है। द्वारा विस्तार दिया गया है

$(a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},$

कहाँ n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और योग गैर-नकारात्मक सूचकांकों के सभी संयोजनों पर लिया जाता है i, j, और k ऐसा है कि i + j + k = n. त्रिपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं

${n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.$

यह सूत्र बहुपद सूत्र का एक विशेष मामला है m = 3. गुणांकों को पास्कल के त्रिभुज के तीन आयामों के सामान्यीकरण के साथ परिभाषित किया जा सकता है, जिसे पास्कल का पिरामिड या पास्कल का टेट्राहेड्रोन कहा जाता है।

व्युत्पत्ति

त्रिपद विस्तार की गणना द्विपद प्रमेय को दो बार लागू करके, सेटिंग करके की जा सकती है $d=b+c$, जिससे होता है

${\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}.\end{aligned}}$

ऊपर, परिणामी $(b+c)^{r}$ दूसरी पंक्ति में द्विपद विस्तार के दूसरे अनुप्रयोग द्वारा मूल्यांकन किया जाता है, जो सूचकांक पर एक और योग प्रस्तुत करता है $s$.

दो द्विपद गुणांकों के गुणनफल को छोटा करके सरल बनाया जाता है $r!$,

${n \choose r}\,{r \choose s}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}{\frac {r!}{s!(r-s)!}}={\frac {n!}{(n-r)!(r-s)!s!}},$

और यहां सूचकांक संयोजनों की तुलना घातांक वाले संयोजनों से करने पर, उन्हें पुनः लेबल किया जा सकता है $i=n-r,~j=r-s,~k=s$, जो पहले पैराग्राफ में दी गई अभिव्यक्ति प्रदान करता है।

गुण

विस्तारित त्रिपद के पदों की संख्या त्रिभुजाकार संख्या होती है

$t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},$

कहाँ n वह प्रतिपादक है जिससे त्रिपद उठाया जाता है।

उदाहरण

के साथ त्रिपद विस्तार का एक उदाहरण $n=2$ है :

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

यह भी देखें

• द्विपद विस्तार
• पास्कल का पिरामिड
• बहुपद गुणांक
• त्रिनोमियल त्रिकोण