दोहरा (श्रेणी सिद्धांत)

For गणित में द्वैत की सामान्य धारणाएँ, see द्वैत (गणित).

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की शाखा, द्वंद्व श्रेणी सी के गुणों और विपरीत श्रेणी सी के दोहरे गुणों के मध्य पत्राचार है।^सेशन. श्रेणी सी के संबंध में कथन दिया गया है, फलन के डोमेन और प्रत्येक रूपवाद के कोडोमेन को आपस में बदलने के साथ-साथ फलन संरचना के क्रम को दो रूपवादों में बदलने से, विपरीत श्रेणी सी के संबंध में संबंधित दोहरा कथन प्राप्त होता है।^सेशन. द्वंद्व, इस तरह, यह प्रामाणित है कि कथनों पर इस ऑपरेशन के अनुसार सत्य अपरिवर्तनीय है। दूसरे शब्दों में, यदि कोई कथन C के बारे में सत्य है, तब उसका दोहरा कथन C के बारे में सत्य है^सेशन. साथ ही, यदि कोई कथन C के बारे में गलत है, तब उसका द्वैत C के बारे में गलत होना चाहिए^सेशन.

ठोस श्रेणी सी को देखते हुए, अधिकांशतः यह मामला होता है कि विपरीत श्रेणी सी^op वास्तव में अमूर्त है। सी^op को गणितीय अभ्यास से उत्पन्न होने वाली श्रेणी होने की आवश्यकता नहीं है। इस स्थितियों में, अन्य श्रेणी डी को भी सी के साथ द्वंद्व में कहा जाता है यदि डी और सी^opश्रेणियों की समतुल्यता है।

उस स्थिति में जब C और उसके विपरीत C^opसमतुल्य हैं, ऐसी श्रेणी स्व-द्वैत है।

औपचारिक परिभाषा

हम श्रेणी सिद्धांत की प्रारंभिक भाषा को वस्तुओं और रूपवादों के साथ दो-क्रमबद्ध प्रथम क्रम की भाषा के रूप में परिभाषित करते हैं, साथ ही वस्तु के संबंध रूपवाद का स्रोत या लक्ष्य और दो रूपवादों की रचना के लिए प्रतीक के रूप में परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए σ इस भाषा में कोई कथन है। हम दोहरी σ बनाते हैं^op इस प्रकार है:

1. σ में स्रोत की प्रत्येक घटना को लक्ष्य के साथ बदलें।
2. आकृतियों की रचना के क्रम को बदलें। अर्थात्, प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करें $g\circ f$ साथ $f\circ g$

अनौपचारिक रूप से, यह स्थितियाँ बताती हैं कि किसी कथन का द्वैत रूपवाद और कार्य संरचना को उलट कर बनता है।

द्वंद्व यह अवलोकन है कि σ कुछ श्रेणी सी के लिए सत्य है यदि और केवल यदि σ^op C के लिए सत्य है^ऊपर.

उदाहरण

• रूपवाद $f\colon A\to B$ यदि एकरूपता है $f\circ g=f\circ h$ तात्पर्य $g=h$. दोहरा ऑपरेशन करने पर हमें यह कथन मिलता है कि $g\circ f=h\circ f$ तात्पर्य $g=h.$ रूपवाद के लिए $f\colon B\to A$, एफ के लिए एपिमोर्फिज्म होने का ठीक यही कारण है। संक्षेप में, एकरूपता होने की संपत्ति एपिमोर्फिज्म होने की संपत्ति से दोहरी है।

द्वंद्व को क्रियान्वित करने पर, इसका कारण यह है कि कुछ श्रेणी सी में रूपवाद मोनोमोर्फिज्म है यदि और केवल यदि विपरीत श्रेणी सी में विपरीत रूपवाद है^op प्रतीकवाद है।

• असमानताओं की दिशा को आंशिक क्रम में उलटने से उदाहरण मिलता है। इसलिए यदि X समुच्चय (गणित) है और ≤ आंशिक क्रम संबंध है, तब हम नया आंशिक क्रम संबंध परिभाषित कर सकते हैं ≤_new द्वारा

x ≤_new y यदि और केवल यदि y ≤ x.

ऑर्डर पर यह उदाहरण विशेष मामला है, क्योंकि आंशिक ऑर्डर निश्चित प्रकार की श्रेणी से मेल खाते हैं जिसमें होम (ए, बी) में अधिकतम तत्व हो सकता है। तर्क के अनुप्रयोगों में, यह निषेध का बहुत ही सामान्य विवरण जैसा दिखता है (अर्थात, प्रमाण विपरीत दिशा में चलते हैं)। उदाहरण के लिए, यदि हम जाली सिद्धांत के विपरीत लेते हैं, तब हम पाएंगे कि मिलने और जुड़ने की भूमिकाएं आपस में बदल जाती हैं। यह डी मॉर्गन के नियमों या जालकों पर क्रियान्वित द्वैत (आदेश सिद्धांत) का अमूर्त रूप है।

• सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और सीमा (श्रेणी सिद्धांत) दोहरी धारणाएं हैं।
• बीजगणितीय टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत में कंपन और सह-फ़िब्रेशन दोहरी धारणाओं के उदाहरण हैं। इस संदर्भ में, द्वैत को अधिकांशतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

यह भी देखें

• सहायक संचालिका
• दोहरी वस्तु
• द्वैत (गणित)
• विपरीत श्रेणी
• पुल्लेशन स्क्वायर

संदर्भ

• "दोहरी श्रेणी", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "द्वैत सिद्धांत", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Duality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• मैक लेन, सॉन्डर्स (1978). कार्यरत गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ (द्वितीय ed.). न्यूयॉर्क, एनवाई: स्प्रिंगर न्यूयॉर्क. p. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
• अवोडे, स्टीव (2010). श्रेणी सिद्धांत (2nd ed.). ऑक्सफ़ोर्ड: ऑक्सफ़ोर्ड विश्वविद्यालय प्रेस. pp. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.