सैडलपॉइंट सन्निकटन विधि

हेनरी_डैनियल्स (1954) द्वारा शुरू में प्रस्तावित सैडलपॉइंट सन्निकटन विधि सांख्यिकी पर लागू गणितीय पद्धति_ऑफ_स्टीपेस्ट_डिसेंट तकनीक का एक विशिष्ट उदाहरण है। यह किसी वितरण के संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन या संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के लिए मोमेंट-जनरेटिंग_फ़ंक्शन के आधार पर एक अत्यधिक सटीक सन्निकटन सूत्र प्रदान करता है। वितरण के संचयी_वितरण_कार्य के लिए एक सूत्र भी है, जो लुगन्नानी और राइस (1980) द्वारा प्रस्तावित है।

परिभाषा

यदि किसी वितरण का आघूर्ण उत्पन्न करने वाला फलन इस प्रकार लिखा जाता है $M(t)$ और संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में $K(t)=\log(M(t))$ तो वितरण के पीडीएफ के लिए सैडलपॉइंट सन्निकटन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${\hat {f}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi K''({\hat {s}})}}}\exp(K({\hat {s}})-{\hat {s}}x)$ और सीडीएफ के लिए सैडलपॉइंट सन्निकटन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${\hat {F}}(x)={\begin{cases}\Phi ({\hat {w}})+\phi ({\hat {w}})({\frac {1}{\hat {w}}}-{\frac {1}{\hat {u}}})&{\text{for }}x\neq \mu \\{\frac {1}{2}}+{\frac {K'''(0)}{6{\sqrt {2\pi }}K''(0)^{3/2}}}&{\text{for }}x=\mu \end{cases}}$

कहाँ ${\hat {s}}$ का समाधान है $K'({\hat {s}})=x$, ${\hat {w}}=\operatorname {sgn} {\hat {s}}{\sqrt {2({\hat {s}}x-K({\hat {s}}))}}$ और ${\hat {u}}={\hat {s}}{\sqrt {K''({\hat {s}})}}$.

जब वितरण एक नमूना माध्य का होता है, तो संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए लुगन्नानी और राइस का सैडलपॉइंट विस्तार होता है $F(x)$ संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के लिए डेनियल के सैडलपॉइंट विस्तार को प्राप्त करने के लिए विभेदित किया जा सकता है $f(x)$ (राउटलेज और त्साओ, 1997)। यह परिणाम घनत्व फ़ंक्शन के लिए एक वैकल्पिक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन के रूप में एक काटे गए लुगन्नानी और चावल श्रृंखला के व्युत्पन्न को स्थापित करता है $f(x)$. के लिए मूल सैडलपॉइंट सन्निकटन के विपरीत $f(x)$, सामान्य तौर पर इस वैकल्पिक सन्निकटन को पुनर्सामान्यीकृत करने की आवश्यकता नहीं है।

संदर्भ

• Butler, Ronald W. (2007), Saddlepoint approximations with applications, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 9780521872508
• Daniels, H. E. (1954), "Saddlepoint Approximations in Statistics", The Annals of Mathematical Statistics, 25 (4): 631–650, doi:10.1214/aoms/1177728652
• Daniels, H. E. (1980), "Exact Saddlepoint Approximations", Biometrika, 67 (1): 59–63, doi:10.1093/biomet/67.1.59, JSTOR 2335316
• Lugannani, R.; Rice, S. (1980), "Saddle Point Approximation for the Distribution of the Sum of Independent Random Variables", Advances in Applied Probability, 12 (2): 475–490, doi:10.2307/1426607, JSTOR 1426607, S2CID 124484743
• Reid, N. (1988), "Saddlepoint Methods and Statistical Inference", Statistical Science, 3 (2): 213–227, doi:10.1214/ss/1177012906
• Routledge, R. D.; Tsao, M. (1997), "On the relationship between two asymptotic expansions for the distribution of sample mean and its applications", Annals of Statistics, 25 (5): 2200–2209, doi:10.1214/aos/1069362394