पुलबैक (कोहोमोलॉजी)

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल समष्टियाँ का एक सतत मानचित्र f: X → Y और एक वलय R दिया गया है, कोहोमोलॉजी सिद्धांत पर f के साथ पुलबैक एक ग्रेड-संरक्षित R-बीजगणित समरूपता है:

$f^{*}:H^{*}(Y;R)\to H^{*}(X;R)$

Y के कोहोमोलोजी वलय से R में गुणांक के साथ X के गुणांक तक है। सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग इसकी विरोधाभासी प्रकृति को इंगित करने के लिए है: यह मानचित्र की दिशा को उलट देता है। उदाहरण के लिए, यदि X, Y बहुविध हैं, R वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, और सह-समरूपता डी राम सह-समरूपता है, तो पुलबैक विभेदक रूपों के पुलबैक से प्रेरित होता है।

कोहोमोलॉजी के होमोटॉपी इनवेरिएंस में कहा गया है कि यदि दो मानचित्र f, g: X → Y एक दूसरे के लिए होमोटोपिक हैं, तो वे समान पुलबैक निर्धारित करते हैं: f^* = g^*।

इसके विपरीत, उदाहरण के लिए डी राम कोहोमोलॉजी के लिए एक प्रोत्साहन एकीकरण-साथ-फाइबर द्वारा दिया जाता है।

शृंखला संकुल से परिभाषा

हम सबसे पहले एक श्रृंखला परिसर के दोहरे की सह-समरूपता की परिभाषा की समीक्षा करते हैं। मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है, C, R-मॉड्यूल का एक श्रृंखला परिसर है और G एक R-मॉड्यूल है। जैसे कोई $H_{*}(C;G)=H_{*}(C\otimes _{R}G)$ देता है, वैसे ही कोई

$H^{*}(C;G)=H^{*}(\operatorname {Hom} _{R}(C,G))$

देता है जहां होम एक चेन कॉम्प्लेक्स और एक कोचेन कॉम्प्लेक्स के बीच होम की विशेष स्थिति है, G को डिग्री शून्य में केंद्रित एक कोचेन कॉम्प्लेक्स के रूप में देखा जाता है जो डिग्री शून्य में केंद्रित होता है। (इसे कठोर बनाने के लिए, किसी को कॉम्प्लेक्स के टेंसर उत्पाद में संकेतों के समान संकेतों को चुनने की आवश्यकता है।) उदाहरण के लिए, यदि C एक टोपोलॉजिकल समष्टि X से जुड़ा एकवचन श्रृंखला कॉम्प्लेक्स है, तो यह G में गुणांक के साथ X के एकवचन सह-समरूपता की परिभाषा है।

अब, मान लीजिए f: C → C' श्रृंखला परिसरों का एक मानचित्र हो (उदाहरण के लिए, यह टोपोलॉजिकल समष्टि के बीच एक सतत मानचित्र द्वारा प्रेरित हो सकता है)। फिर वहाँ

$f^{*}:\operatorname {Hom} _{R}(C',G)\to \operatorname {Hom} _{R}(C,G)$

है जो बदले में निर्धारित करता है

$f^{*}:H^{*}(C';G)\to H^{*}(C;G).$

यदि C, C' समष्टियाँ X, Y के एकवचन श्रृंखला परिसर हैं, तो यह एकवचन कोहोमोलॉजी सिद्धांत के लिए एक बाधा है।

संदर्भ

• J. P. May (1999), A Concise Course in Algebraic Topology.
• S. P. Novikov (1996), Topology I - General Survey.