अर्ध-स्थान (ज्यामिति)

ज्यामिति में, अर्ध-स्थान दो भागों में से एक है जिसमें एक विमान (ज्यामिति) त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष को विभाजित करता है। यदि स्थान द्वि-आयामी है, तो आधे स्थान को अर्ध-तल (खुला या बंद) कहा जाता है। एक-आयामी स्थान में आधे-स्थान को अर्ध-रेखा या रे (गणित) कहा जाता है।

अधिक सामान्यतः, अर्ध-स्थान उन दो भागों में से एक है जिसमें एक हाइपरप्लेन एक एफ़िन स्थान को विभाजित करता है। अर्थात्, वे बिंदु जो हाइपरप्लेन पर आपतित नहीं होते हैं, वे दो उत्तल सेटों (अर्थात, अर्ध-स्थान) में विभाजन (सेट सिद्धांत) हैं, जैसे कि एक सेट में एक बिंदु को दूसरे सेट में एक बिंदु से जोड़ने वाला कोई भी उप-स्थान हाइपरप्लेन को प्रतिच्छेद करना चाहिए .

आधा स्थान या तो खुला या बंद हो सकता है। एक खुला आधा स्थान एफ़िन स्पेस से हाइपरप्लेन के घटाव द्वारा निर्मित दो खुले सेटों में से एक है। एक बंद आधा-स्थान एक खुले आधे-स्थान और हाइपरप्लेन का मिलन है जो इसे परिभाषित करता है।

खुला (बंद) ऊपरी आधा स्थान सभी का आधा स्थान है (x₁, एक्स₂, ..., एक्स_n) ऐसा कि x_n > 0 (≥ 0). खुले (बंद) निचले आधे स्थान को x की आवश्यकता के अनुसार इसी तरह परिभाषित किया गया है_n नकारात्मक (गैर-सकारात्मक) होना।

एक अर्ध-स्थान को रैखिक असमानता द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जो रैखिक समीकरण से प्राप्त होता है जो परिभाषित हाइपरप्लेन को निर्दिष्ट करता है। एक सख्त रैखिक असमानता (गणित) एक खुले आधे स्थान को निर्दिष्ट करती है:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b$

एक गैर-सख्त व्यक्ति एक बंद आधे स्थान को निर्दिष्ट करता है:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b$

यहाँ, कोई यह मानता है कि सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं₁, ए₂, ..., ए_n शून्य हैं.

अर्ध-स्थान एक उत्तल समुच्चय है।

यह भी देखें

• रेखा (ज्यामिति)
• पोंकारे आधा-प्लेन मॉडल
• सीगल ऊपरी आधा स्थान
• नेफ बहुभुज, अर्ध-स्थानों का उपयोग करके बहुकोणीय आकृति का निर्माण।

बाहरी संबंध

• "Half-plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Half-Space". MathWorld.